Абстрактная и компьютерная алгебра

     Матрицы используются и при решении систем дифференциальных уравнений, которые возникают в большинстве наук: такую систему можно заменить одним матричным дифференциальным уравнением.

     Одно из главных применений матриц в общественных науках связано с построением моделей различных ситуаций. Например, экономическую ситуацию в стране часто моделируют с помощью матрицы с примерно 100 строками и столбцами. На основании операций над такой матрицей экономисты создают свои прогнозы. Пример использования матриц в деловом мире – линейное программирование, которое можно использовать при составлении производственных планов, схем распределения сырья и готовой продукции и в других сложных операциях. Не вдаваясь в подробности, можно сказать, что линейная программа состоит из очень большого числа утверждений о взаимосвязях между различными факторами, которые необходимо учесть перед тем, как принять окончательное решение.   Эти утверждения сводятся в некоторую матрицу, операции над которой позволяют программисту решить, какая из нескольких имеющихся процедур оптимальна для решения рассматриваемой проблемы. Это позволяет найти процедуру, обеспечивающую максимальную прибыль или максимальную экономию времени.

 

2.Компьютерная алгебра. Математические пакеты.

2.1.Краткая характеристика систем класса Maple

Назначение и место  систем Maple

       Maple — система компьютерной математики, рассчитанная на широкий круг пользователей. До недавнего времени ее называли системой компьютерной алгебры, Ито указывало на особую роль символьных вычислений и преобразований, которые способна осуществлять эта система. Но такое название сужает сферу применения системы. На самом деле она уже способна выполнять быстро и эффективно не только символьные, но и численные расчеты, причем сочетает это с превосходными средствами графической визуализации и подготовки электронных документов.

         Казалось бы, нелепо называть такую мощную систему, как Maple 7 математической системой «для всех». Однако по мере ее распространения она становится полезной для многих пользователей ПК, вынужденных в силу обстоятельств (работа, учеба, хобби) заниматься математическими вычислениями и всем, что с ними связано. А все это простирается от решения учебных задач в вузах до моделирования сложных физических объектов, систем и устройств, и даже создания художественной графики (например, фракталов).

        Для наших читателей (в том числе и для математиков-профессионалов) возможности систем символьной математики, реализованных на массовых ПК класса IBM PC, порой являются полной неожиданностью и вызывают вполне заслуженное удивление и восхищение, но иногда и резкое отрицание. Впрочем, последнее характерно скорее для тех, кто с системой Maple просто не работал и относится к ней, как дама из анекдота о паровозе — увидев паровоз впервые, она воскликнула: «Не может быть, что он едет без лошадей!» Maple — тщательно и всесторонне продуманная система компьютерной математики. Она с равным успехом может использоваться как для простых, так и для самых сложных вычислений и выкладок. Заслуженной популярностью системы Maple (всех версий) пользуются в университетах — свыше 300 самых крупных университетов мира (включая и наш МГУ) взяли эту систему на вооружение. А число только зарегистрированных пользователей системы уже давно превысило один миллион. Ядро системы Maple используется в ряде других математических систем, например в MATLAB и Mathcad, для реализации в них символьных вычислений.

        Добавьте к этому куда большее число незарегистрированных пользователей — ведь система записана на многих компакт-дисках, лихо продаваемых в России  по вполне доступным ценам. Если учесть все это, то оказывается, что популярность системы Maple ничуть не ниже, а то и выше, чем у гораздо более простых систем, таких как Derive и Mathcad. Вот и решайте, какая из систем и впрямь рассчитана на всех!

       Maple — типичная интегрированная система. Она объединяет в себе: 

мощный язык программирования (он же язык для интерактивного общения  с системой); 

редактор для подготовки и редактирования документов и программ;  

современный многооконный пользовательский интерфейс с возможностью работы в диалоговом режиме;

- мощную справочную систему со многими тысячами примеров;

- ядро алгоритмов и правил преобразования математических выражений;

- численный и символьный процессоры;  

-систему диагностики;

- Библиотеки встроенных и дополнительных функций; 

-пакеты функций сторонних производителей и поддержку некоторых других языков программирования и программ.

      Ко всем этим средствам имеется полный доступ прямо из программы. Maple — одна из самых мощных и «разумных» интегрированных систем символьной математики, созданная фирмой Waterloo Maple, Inc. (Канада).

      Во многих обзорах систем компьютерной алгебры Maple справедливо считается одним из первых кандидатов на роль лидера среди них. Это лидерство она завоевывает в честной конкурентной борьбе с другой замечательной математической системой — Mathematica.        Каждая из данных двух систем имеет свои особенности, но в целом эти две лидирующие системы практически равноценны. Однако надо отметить, что появление новейшей версии Maple 7 означает очередной виток в соревновании этих систем за место лидера мирового рынка. Причем виток на этот раз раньше сделала система Maple 7.

       Система Maple прошла долгий путь развития и апробации. Она реализована на больших ЭВМ, рабочих станциях Sun, ПК, работающих с операционной системой Unix, ПК класса IBM PC, Macintosh и др. Все это самым положительным образом повлияло на ее отработку и надежность (в смысле высокой вероятности правильности решений и отсутствия сбоев в работе). Не случайно ядро системы Maple V используется целым рядом других мощных систем компьютерной математики, например системами класса Mathcad и MATLAB. А совсем недавно упрощенная версия Maple для операционной системы Windows СЕ стала использоваться в миниатюрных компьютерах фирмы Casio — Cassiopeia. 

 

2.2.Обзор пакетов 

DEtools — решение дифференциальных уравнений; 

Domains — создание областей определений в вычислениях; 

GF — поля Галуа; 

Gausslnt — работа с целыми числами Гаусса; 

Groebner — вычисления в базисе Гробнера;  

LREtools — манипуляции с линейными рекуррентными отношениями; 

LinearAlgebra — линейная алгебра; 

Matlab — интеграция с MATLAB; 

Ore_algebra — основные вычисления в алгебре линейных операторов; 

PDEtools — решение дифференциальных уравнений в частных производных; 

Spread — работа с таблицами; 

algcurves — работа с алгебраическими кривыми; 

codegen — генерация кодов; 

combinat — функции комбинаторики;   

combstruct — структуры комбинаторики;  

context — контекстно-зависимые меню; 

diffalg — дифференциальная алгебра;  

difforms — дифференциальные формы;  

finance — финансовые расчеты; 

genfunc — рациональные функции;  

geom3d — трехмерная геометрия Евклида; 

geometry — евклидова геометрия;  

group — представление бесконечных групп; 

inttrans — интегральные преобразования;  

liesymm — симметрия Ли; 

linalg — линейная алгебра и структуры данных массивов; 

networks — графы; 

numapprox — численная аппроксимация;  

numtheory — теория чисел; 

orthopoly — ортогональные полиномы;  

padic — Пи-адические числа; 

plots — расширения графики; 

plottools — создание дополнительных графических объектов; > 

polytools — действия с полиномами;  

powseries — формальные степенные ряды; 

process — мультипроцессы (для операционной системы Unix); 

simplex — линейная оптимизация (симплекс-метод); ' 

stats — статистика; 

student — функции в помощь студентам;  

sumtools — определенные и неопределенные суммы; 

tensor — тензоры и теория относительности.

Как следует из просмотра  этого обширного списка, пакеты Maple 7 охватывают многие крупные разделы  математики и существенно дополняют  возможности системы, предоставляемые  средствами ее ядра. Пакеты расширения пишутся на Maple-языке программирования, поэтому они могут легко модернизироваться  и пополняться. Этим, в частности, объясняется тот факт, что набор  пакетов расширения в Maple 7 существенно  пополнен по сравнению с предшествующими  реализациями системы.

2.3.Программа MATLAB

История появления  системы MATLAB                               Современная компьютерная математика предлагает целый набор интегрированных программных систем и пакетов программ для автоматизации математических расчетов: Eureka, Gauss, TK Solver!, Derive, Mathcad, Mathematica, Maple V и др. Возникает вопрос: «А какое место занимает среди них система MATLAB?»  
  MATLAB — одна из старейших, тщательно проработанных и проверенных временем систем автоматизации математических расчетов, построенная на расширенном представлении и применении матричных операций. Это нашло отражение в названии системы — MATrix LABoratory — матричная лаборатория. Однако синтаксис языка программирования системы продуман настолько тщательно, что эта ориентация почти не ощущается теми пользователями, которых не интересуют непосредственно матричные вычисления.  
     Матрицы широко применяются в сложных математических расчетах, например при решении задач линейной алгебры и математического моделирования статических и динамических систем и объектов. Они являются основой автоматического составления и решения уравнений состояния динамических объектов и систем. Примером может служить расширение MATLAB — Simulink. Это существенно повышает интерес к системе MATLAB, вобравшей в себя лучшие достижения в области быстрого решения матричных задач.  
  Однако в настоящее время MATLAB далеко вышла за пределы специализированной матричной системы и стала одной из наиболее мощных универсальных интегрированных СКМ. Слово «интегрированная» указывает на то, что в этой системе объединены удобная оболочка, редактор выражений и текстовых комментариев, вычислитель и графический программный процессор. В новой версии используются такие мощные типы данных, как многомерные массивы, массивы ячеек, массивы структур, массивы Java и разреженные матрицы, что открывает возможности применения системы при создании и отладке новых алгоритмов матричных и основанных на них параллельных вычислений и крупных баз данных.  
    В целом MATLAB — это уникальная коллекция реализаций современных численных методов компьютерной математики, созданных за последние три десятка лет. Она вобрала в себя и опыт, правила и методы математических вычислений, накопленные за тысячи лет развития математики. Это сочетается с мощными средствами графической визуализации и даже анимационной графики. Систему с прилагаемой к ней обширной документацией вполне можно рассматривать как фундаментальный многотомный электронный справочник по математическому обеспечению ЭВМ — от массовых персональных компьютеров до супер-ЭВМ.  
      Система MATLAB была разработана Молером (С. В. Moler) и с конца 70-х гг. широко использовалась на больших ЭВМ. В начале 80-х гг. Джон Литл (John Little) из фирмы MathWorks, Inc. разработал версии системы PC MATLAB для компьютеров класса IBM PC, VAX и Macintosh. В дальнейшем были созданы версии для рабочих станций Sun, компьютеров с операционной системой UNIX и многих других типов больших и малых ЭВМ. Сейчас свыше десятка популярных компьютерных платформ могут работать с системой MATLAB. К расширению системы были привлечены крупнейшие научные школы мира в области математики, программирования и естествознания. И вот теперь появилась новейшая версия этой системы — MATLAB 6. Одной из основных задач системы было предоставление пользователям мощного языка программирования, ориентированного на математические расчеты и способного превзойти возможности традиционных языков программирования, которые многие годы использовались для реализации численных методов. При этом особое внимание уделялось как повышению скорости вычислений, так и- адаптации системы к решению самых разнообразных задач пользователей.  
     Возможности MATLAB весьма обширны, а по скорости выполнения задач система нередко превосходит своих конкурентов. Она применима для расчетов практически в любой области науки и техники. Например, очень широко используется при математическом моделировании механических устройств и систем, в частности в динамике, гидродинамике, аэродинамике, акустике, энергетике и т. д. Этому способствует не только расширенный набор матричных и иных операций и функций, но и наличие пакета расширения (toolbox) Simulink, специально предназначенного для решения задач блочного моделирования динамических систем и устройств, а также десятков других пакетов расширений.  
     В обширном и постоянно пополняемом комплексе команд, функций и прикладных программ (пакетов расширения, пакетов инструментов, (toolbox)) [Пакет инструментов, пакет расширения, прикладная программа — почти синонимы при переводе термина toolbox, но пакет инструментов собственно MATLAB 6 рассматривается как один из toolbox всей системы, включающей MATLAB 6, Simulink и другие пакеты. Редакция старалась максимально сохранить авторский стиль, но следует помнить, что и под прикладной программой, и иод пакетом расширения автор имеет в виду toolbox в терминах MATLAB. 
     В системе MATLAB содержатся специальные средства для электротехнических и радиотехнических расчетов (операции с комплексными числами, матрицами, векторами и полиномами, обработка данных, анализ сигналов и цифровая фильтрация), обработки изображений, реализации нейронных сетей, а также средства, относящиеся к другим новым направлениям науки и техники. Они иллюстрируются множеством практически полезных примеров. К разработкам расширений для системы MATLAB привлечены многие научные школы мира и руководящие ими крупные ученые и педагоги университетов.  
      Важными достоинствами системы являются ее открытость и расширяемость. Большинство команд и функций системы реализованы в виде текстовых m-файлов (с расширением .m) и файлов на языке Си, причем все файлы доступны для модификации. Пользователю дана возможность создавать не только отдельные файлы, но и библиотеки файлов для реализации специфических задач.  
     Поразительная легкость модификации системы и возможность ее адаптации к решению специфических задач науки и техники привели к созданию десятков пакетов прикладных программ (toolbox), намного расширивших сферы применения системы. Некоторые из них, например Notebook (интеграция с текстовым процессором Word и подготовка «живых» электронных книг), Symbolic Math и Extended Symbolic Math (символьные вычисления с применением ядра системы Maple V R5) и Simulink (моделирование динамических систем и устройств, заданных в виде системы блоков), настолько органично интегрировались с системой MATLAB, что стали ее составными частями.

 

                              Возможности систем MATLAB

 

     Уже первые ориентированные на Microsoft Windows версии системы (MATLAB 4.x) обладали мощными средствами. В области математических вычислений: 

-матричные, векторные, логические операторы;

-элементарные и специальные функции;

-полиномиальная арифметика;

-многомерные массивы;

-массивы записей;

-массивы ячеек.

         В области реализации численных методов:

-дифференциальные уравнения;

-вычисление одномерных и двумерных квадратур;

-поиск корней нелинейных алгебраических уравнений;

-оптимизация функций нескольких переменных;

-одномерная и многомерная интерполяция.

 
В области программирования:

-свыше 500 встроенных математических функций;

-ввод/вывод двоичных и текстовых файлов;

-применение программ, написанных на Си и ФОРТРАН;

-автоматическая перекодировка процедур MATLAB в тексты программ на языках Си и C++;

-типовые управляющие структуры. 

В области визуализации и  графики:

-возможность создания двумерных и трехмерных графиков;

-осуществление визуального анализа данных. 

      Эти средства сочетались с открытой архитектурой систем, позволяющей изменять уже существующие функции и добавлять свои собственные. Входящая в состав MATLAB программа Simulink дает возможность имитировать реальные системы и устройства, задавая их моделями, составленными из функциональных блоков. Simulink имеет обширную и расширяемую пользователями библиотеку блоков и простые средства задания и изменения их параметров.

2.4.Программа SPSS

История SPSS

       Два студента Норман Най (Norman Nie) и Дейл Вент (Dale Bent), специализировавшиеся в области политологии в 1965 году пытались отыскать в Стенфордском университете Сан-Франциско компьютерную программу, подходящую для анализа статистической информации. Вскоре они разочаровались в своих попытках, так как имеющиеся программы оказывались более или менее непригодными, неудачно построенными или не обеспечивали наглядность представления обработанной информации. К тому же принципы пользования менялись от программы к программе.

       Так, не долго думая, они решили разработать собственную программу, со своей концепцией и единым синтаксисом. В их распоряжении тогда был язык программирования FORTRAN и вычислительная машина типа IBM 7090. Уже через год была разработана первая версия программы, которая, еще через год, в 1967, могла работать на IBM 360. К этому времени к группе разработчиков присоединился Хэдлай Халл (Hadlai Hull).

       Как известно из истории развития информатики, программы тогда представляли собой пакеты перфокарт. Как раз на это указывает и исходное название программы, которое авторы дали своему продукту: SPSS — это аббревиатура от Statistical Package for the Social Science.

      В 1970 году работа над программой была продолжена в Чикагском университете, а Норман Най основал соответствующую фирму — к тому моменту уже было произведено шестьдесят инсталляций. Первое руководство для пользователей описывало одиннадцать различных процедур.

      Спустя пять лет SPSS была уже инсталлирована шестьсот раз, причём под разными операционными системами. С самого начала версиям программы присваивали соответствующие порядковые номера. В 1975 была разработана уже шестая версия (SPSS6). До 1981 последовали версии 7, 8 и 9.

     Командный язык (синтаксис) SPSS в то время был ещё не так хорошо развит, как сейчас, и естественно ориентирован на перфокарты. Поэтому так называемые управляющие карты SPSS состояли из идентификационного поля (столбцы 1-15) и из поля параметров (столбцы 16-80).

    В 1983 году командный язык SPSS был полностью переработан, синтаксис стал значительно удобней. Что бы отметить этот факт, программа была переименована в SPSSX, где буква X должна была служить как номером версии в римскими числами, так и сокращением для extended (расширенный).

    Так как применение перфокарт к этому моменту уже стало историей, то программа SPSS и информация, подлежащая обработке, сохранялись в отдельных файлах на винчестерах больших ЭВМ, которые тогда использовались повсеместно. Год от года постоянно увеличивалось и количество процедур.

    С появлением персональных компьютеров была разработана также и PC-версия SPSS, с 1983 года появилась PC-версия SPSS\PC+. рассчитанная на MS-DOS. Позже, с момента основания в 1984 году европейского торгового представительства в Горинхеме в Нидерландах, SPSS стал широко применяться и в Европе. В настоящее время это самое распространённое программное обеспечение для статистического анализа во всём мире.

Для того, чтобы отразить возможность использования программы  во всех областях, имеющих отношение  к статистическому анализу, буква X вновь была удалена из названия марки, а исходной аббревиатуре присвоено  новое значение: Superior Performance Software System (система программного обеспечения  высшей производительности).

     Если PC версия SPSS/PC+ была чуть усовершенствованной версией для больших ЭВМ, то SPSS для операционной системой Windows (SPSS for Windows) стала большим шагом вперёд. Во первых эта версия SPSS обладает всеми возможностями версии для больших ЭВМ, во вторых, за некоторыми немногочисленными исключениями, программой можно пользоваться без особых знаний в области прикладного программирования. Вызов необходимых процедур статистического анализа происходит при помощи стандартной техники, применяемой в Windows, то есть с помощью мыши и соответствующих диалоговых окон.

     Первая версия SPSS для Windows имела порядковый номер 5. Затем последовали версии 6.0 и 6.1 с некоторыми нововведениями в статистической и графической областях; версия 6.1 была первой статистической программой для Windows, которая использовала 32 битную архитектуру Windows 3.1. Это можно было заметить по более высокой скорости выполнения вычислений. Усовершенствования коснулись также и интерфейса пользователя. В конце концов, была выпущена версия 6.1.3, которая уже могла работать и под Windows 95 и под NT.