Абстрактная и компьютерная алгебра

Содержание

Введение………………………………………………………………………………….2

1.Абстрактная алгебра…………………………………………………………………...4

1.1.Группы………………………………………………………………………………..4

1.2.Кольца………………………………………………………………………………...6

1.3.Поля…………………………………………………………………………………...8

1.4.Векторы и матрицы…………………………………………………………………..10

2.Компьютерная алгебра.  Математические пакеты……………………………………13

2.1.Краткая характеристика  систем класса MAPLE…………………………………....13

2.2.Обзор пакетов…………………………………………………………………………14

2.3.Программа MATLAB…………………………………………………………………15

2.4.Программа SPSS……………………………………………………………………….18

Заключение………………………………………………………………………………...22

Список использованной литературы……………………………………………………..23

 

 

 

Введение  

      В настоящее  время в мире происходят постоянные  изменения стратегий и методов,  и проблематика данного исследования  по прежнему несет актуальный  характер.                                                                                                             Представляется, что анализ тематики элементы абстрактной и компьютерной алгебры достаточно актуален и представляет научный и практический интерес.

Характеризуя степень научной разработанности проблематики элементы абстрактной и компьютерной алгебры, следует учесть, что данная тема уже анализировалась у различных авторов в различных изданиях: учебниках, монографиях, периодических изданиях и в интернете. Тем не менее, при изучении литературы и источников отмечается недостаточное количество полных и явных исследований тематики элементы абстрактной и компьютерной алгебры.

    Тематика исследования получает интерес в научных кругах, в другой стороны, как было показано, существует недостаточная разработанность и нерешенные вопросы.

Будущие исследования элементы абстрактной и компьютерной алгебры также актуальны в целях постоянного и обоснованного решения проблемы данной работы.

Объект работы  - система реализации элемента абстрактной и компьютерной алгебры.

Предмет исследования – частные вопросы  деятельности системы элемента абстрактной и компьютерной алгебры.

Цель работы – изучение темы элемента абстрактной и компьютерной алгебры как с российской, так и с зарубежной точек зрения.

Поставленная цель определяет задачи исследования:

1. Рассмотреть теоретические подходы к элементам абстрактной и компьютерной алгебры;

2. Выявить основную проблему  элементов абстрактной и компьютерной алгебры в современных условиях;

3. Показать пути решения выявленных  проблем и сделать расчет путей  их решения элементов абстрактной и компьютерной алгебры;

4. Провести, обозначить тенденции развития тематики элементов абстрактной и компьютерной алгебры.

       Истоки алгебры уходят к временам глубокой древности. Ещё 4000 лет назад вавилонские учёные могли решать квадратные уравнения. Тогда никаких обозначений не было, и уравнения записывались в словесной форме. Первые обозначения появились в Древней Греции благодаря учёному Диофанту. Неизвестное число он назвал «артимос», вторую степень неизвестного — «дюнамис», третью «кюбос», четвёртую — «дюнамодюнамис», пятую — «дюнамокюбос», шестую — «кюбоккюбос». Все эти величины он обозначал сокращениями (ар, дю, кю, ддю, дкю, ккю). Ни вавилоняне, ни греки не знали и не признавали отрицательные числа.

     За 2000 лет до  нашего времени китайские учёные  решали уравнения первой степени  и их системы, а также квадратные  уравнения. Они уже знали отрицательные  и иррациональные числа. Поскольку  в китайском языке каждый символ  обозначает понятие, то сокращений  не было. В 13 веке китайцы открыли  закон образования биномиальных  коэффициентов, ныне известный  как «треугольник Паскаля». В  Европе он был открыт лишь 250 лет спустя.

     Как наука,  алгебра стала существовать благодаря  среднеазиатскому учёному ал-Хорезми. Впервые термин «алгебра» встретился в 825 году в сочинении этого учёного «Краткая книга об исчислении аль-джабра и аль-мукабалы». Слово «аль-джабр» при этом означало операцию переноса вычитаемых из одной части уравнения в другую и его буквальный смысл «восполнение».

     В 12 веке  алгебра попала в Европу. С  этого времени начинается её  бурное развитие. Были открыты  способы решения уравнений 3 и  4 степеней. Распространения получили  отрицательные и комплексные  числа. Было доказано, что любое  уравнение выше 4 степени нельзя  решить алгебраическим способом.

     Вплоть до  второй половины XX века практическое  применение алгебры ограничивалось, в основном, решением алгебраических уравнений и систем уравнений с несколькими переменными.     Во второй половине XX века началось бурное развитие ряда новых отраслей техники. Появились электронно-вычислительные машины, устройства для хранения, переработки и передачи  информации, системы наблюдения типа радара. Проектирование новых видов техники и их использование немыслимо без применения современной алгебры. Так, электронно-вычислительные машины устроены по принципу конечных автоматов. Для проектирования электронно-вычислительных машин и электронных схем используются методы булевой алгебры. Современные языки программирования для ЭВМ основаны на принципах теории алгоритмов. Теория множеств используется в системах компьютерного поиска и хранения информации. Кодирование и декодирование информации производится методами теории групп. Теория рекуррентных последовательностей используется в работе радаров.  Экономические расчетыневозможны без использования теории графов. Математическое моделирование широко использует все разделы алгебры.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.Абстрактная алгебра

   АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ (общая алгебра), раздел современной математики, выросший из исследования уравнений и теории чисел. Свою теперешнюю форму абстрактная алгебра начала приобретать лишь в двадцатом веке. Занимается главным образом изучением систем, элементы которых можно сочетать по различным правилам, получая в результате новые элементы, вне зависимости от конкретной природы самих элементов. В последние десятилетия абстрактная алгебра все глубже проникает в различные разделы математики, становясь неоценимым средством исследования в столь различных ее областях, как геометрия, топология, математический анализ и дифференциальные уравнения. Даже у социологов и аналитиков, работающих в сфере бизнеса, возникает необходимость хотя бы в поверхностном знакомстве с теорией матриц, являющейся частью абстрактной алгебры. Фактически в настоящее время сложилась такая ситуация, что наиболее важными являются не те достижения абстрактной алгебры, которые способствуют углублению наших знаний в самой этой области, а те, что предлагают новые средства исследования для других ветвей математики.

Абстрактная алгебра оказалась  полезной не только в математике. Ее средства и методы используются всюду, где возникает потребность в  организации больших объемов  данных. Абстрактная алгебра нашла  применение при решении широкого круга проблем – от проектирования электронных схем до составления  суточных графиков работы нефтеперегонных  заводов, позволяющих максимизировать  прибыль. Кратко остановимся на некоторых  основных алгебраических системах. 

1.1.Группы. 

Группой G называется множество, или набор, элементов a, b, ... (относительно их природы не делается никаких предположений), в котором задана операция, ставящая в соответствие каждой паре элементов a, b из G третий элемент, ab, называемый их произведением, причем

(i) (ab) c = a (bc), т.е. произведение элемента ab и еще одного элемента c из G равно произведению элементов a и bc;

(ii) для любой пары элементов a, b из G существуют элементы x и y из G, такие, что xa = b, ay = b.

(Такая операция обычно называется  умножением.) Следует заметить, что  условие (ii) означает возможность деления в группе. Действительно, в силу условий (i) и (ii) в Gвсегда существует такой элемент 1 (называемый единицей или единичным элементом), что 1a = a1 = a для всех элементов a группы G, и для каждого элемента a из G в Gсуществует элемент 1/a, называемый его обратным, такой, что a (1/a) = (1/a) a = 1. Тогда мы можем записать x = b (1/a), y = (1/a) b. Различать элементы x и y необходимо, поскольку не предполагалось, что ab = ba. Следует ясно сознавать, что слова «умножение» и «деление» используются в теории групп просто для операции, ставящей в соответствие двум элементам a и b исходного множества третий элемент той же группы, для которого с тем же успехом можно было бы использовать символы a * b, a + bили a Ù b.

Таким образом, для того чтобы задать конкретную группу, нужно указать  множество ее элементов, определить на нем операцию умножения и, наконец, проверить, что введенное умножение  удовлетворяет условиям (i) и (ii). Приведем несколько примеров групп.

(A) Множество всех положительных и отрицательных целых чисел, включая нуль, ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..., где в качестве произведения двух чисел берется их обычная сумма. Условие (i) – просто закон ассоциативности сложения a + (b + c) = (a + b) + c; что касается условия (ii), то можно положить x = y = b – a.

(B) Множество всех отличных от нуля рациональных чисел (дробей p/q, где p и q – положительные или отрицательные целые числа) с произведением, определенным, как обычно: (p/q)(p¢/q¢) = pp¢/qq¢. Условие (i), как и в предыдущем примере, – это одно из основных свойств чисел, а условие (ii) удовлетворяется, если для a = p/q, b = p¢/q¢положить x = y = b : a = p¢q/q¢p.

(C) Более абстрактным примером может служить так называемая циклическая группа порядка n: множество ее элементов составляют n символов a⁰, a¹, a², ..., a^n – 1, а произведение определяется соотношением a^ka^l = a^r, где r = k + l, если k + l < n; если же k + l ³ n, то r – остаток от деления числа k + l на n. Условия (i) и (ii) проверяются без труда, a⁰ играет роль единичного элемента, а 1/a^k = a^n – k.

В этих трех примерах умножение коммутативно, т.е. ab = ba. Группы с таким умножением называются коммутативными или абелевыми в честь Н.Абеля (1802–1829).

(D) Пусть H – множество всех вращений плоскости вокруг некоторой неподвижной точки P, а также ее отражений относительно заданной прямой l, проходящей через P. Если a и b – два элемента из H, то под ab условимся понимать преобразование плоскости, получаемое при выполнении сначала преобразования b, а затем преобразования a. Взяв все возможные произведения элементов из H, мы получим группу G, называемую двумерной ортогональной группой. Слово «ортогональная» в названии группы указывает на то, что преобразования из G сохраняют прямые углы. Нетрудно видеть, что условие (i) выполняется; что же касается условия (ii), то если определить 1/a для любого элемента a из G как преобразование, которое уничтожает действие преобразования a, то x = (1/a) b, y = b (1/a) будут удовлетворять условию (ii). Эта группа неабелева. Действительно, пусть a – поворот на 45° вокруг точки P, а b – отражение относительно заданной прямой. Рассматривая, что произойдет с произвольно выбранной точкой, не лежащей на этой прямой, нетрудно убедиться, что ab ¹ ba.

(E) Наш последний пример – так называемая симметрическая группа, S_n, n-й степени. Это множество всех подстановок на n символах 1, 2, 3, ..., n. В данном случае подстановка – это замена каждого целого числа i от 1 до n другим числом, f(i), также заключенным между 1 и n, причем так, что f(i) ¹ f(j), если i ¹ j. Под f×g здесь понимается подстановка, которая получается при выполнении сначала подстановки g, а затем подстановки f. Условия (i) и (ii) проверяются так же, как мы проверяли их в примере (D). При n > 2 группа S_n неабелева. Например, в S₃, если f и g заданы соотношениями f (1) = 2, f (2) = 3, f(3) = 1, g(1) = 3, g(2) = 2, g(3) = 1, то (fg)(1) = f(g(1)) = f(3) = 1, но (gf) (1) =g(2) = 2; поэтому fg ¹ gf.

      Одна из основных задач теории групп – более явное описание структуры некоторых классов групп. Как показывают приведенные примеры, существует огромное количество самых разных типов групп: группы бывают конечные ((C) и (E)) и бесконечные ((A), (B) и (D)), абелевы и неабелевы, и можно указать еще множество других типов, отличающихся во многих важных отношениях. Таким образом, нужно доказывать утверждения типа: «если группа G удовлетворяет некоторым предположениям, она должна выглядеть таким-то и таким-то образом». Примером таких утверждений является следующая теорема: любая абелева группа, состоящая из конечного числа n элементов, где n– простое число, является циклической группой порядка n.

        Теория групп находит применение почти во всех разделах математики, играя роль связующего звена между многими, на первый взгляд совсем разными, ее областями. Пример групп (D) показывает, что эта теория очень полезна при рассмотрении геометрических задач, но она оказывает неоценимую помощь и в чисто аналитических разделах математики. Все шире используют теорию групп в своей работе и физики-теоретики. Чтобы еще раз продемонстрировать, как используется теория групп в геометрии, отметим, что различные геометрии (евклидова, гиперболическая, эллиптическая и т.д.) на плоскости можно охарактеризовать их группами движений. Иначе говоря, эти группы различаются своей структурой, и все геометрические факты допускают переформулировку в виде чисто теоретико-групповых теорем. Группы имеют также очень важное значение в топологии – разделе геометрии, изучающем общие соотношения формы и пространства, не обращая внимания на метрические характеристики размера. Например, топологическая задача о том, сколькими способами одна резиновая сфера может быть обернута вокруг другой, сводится к вычислению некоторых групп – так называемых гомотопических групп.

1.2 Кольца

    Множество R элементов a, b, c, ... называется кольцом, если каждой паре элементов a, b из R поставлен в соответствие некоторый элемент из R, называемый их суммой и обозначаемый a + b, и еще один элемент из R, называемый их произведением и обозначаемый ab. Кроме того, должны выполняться следующие условия:

(1) a + (b + c) = (a + b) + c;

(2) a + b = b + a;

(3) для любых двух элементов a, b из R существует элемент x из R, такой, что a + x = b;

(4) (ab) c = a (bc);

(5) a (b + c) = ab + ac, (b + c) a = ba + ca.

   Внимательный читатель заметит, что выполнение условий (1), (2) и (3) означает, что R – абелева группа по сложению. Единственный элемент x, такой, что a + x = a(существование которого может быть доказано), называется нулевым элементом кольца R и обозначается 0. Исходя из свойств (1)–(5), нетрудно доказать, что для каждого элемента a из кольца R справедливо равенство a×0 = 0×a = 0. Однако есть кольца, в которых нулем может оказаться произведение ненулевых элементов, т.е. в таких кольцах существуют элементы a, b, ни один из которых не равен 0, но для которых ab = 0. Такие кольца называются кольцами с делителями нуля. (Мы встретимся с ними в разделах, посвященных полям и матрицам.) Многие тождества, известные из обычной алгебры, выполняются и в произвольных кольцах: все обычные тождества, содержащие только сложение и вычитание, а также тождества, не использующие коммутативность умножения или возможность деления, сохраняют силу и в произвольном кольце R. Например, тождество a [(b + c) + (e + f)] = (ae + ac) + (ab + af) остается верным в любом кольце R.