Абстрактная и компьютерная алгебра

      Примерами колец могут служить уже упоминавшееся множество всех целых чисел с обычными операциями сложения и умножения и множество всех многочленов f (x) = a₀+ a₁x + ... + a_nxⁿ, где a_i – действительные числа, а x – переменная. Два многочлена являются одним и тем же элементом кольца в том и только в том случае, когда коэффициенты при одинаковых степенях переменной x равны. Сумма многочленов

определяется так:

а их произведение – так:

где c_j = a₀b_j + a₁b_{j – 1} + ... + a_{j – 1}b₁ + a_jb₀. Проверка пяти условий из определения кольца – занятие утомительное, но не сопряженное с какими-либо реальными трудностями. Она опирается на тот факт, что эти условия выполняются для действительных чисел. В обоих примерах умножение коммутативно (т.е. ab = ba), и оба эти кольца не содержат делителей нуля. Пример некоммутативного кольца с делителями нуля мы приведем в заключительном разделе.

     Как и в случае групп, хотелось бы описать кольца более полно. Эта проблема частично решена, и мы вернемся к ней чуть позже. Коммутативные кольца без делителей нуля типа приведенных выше встречаются в различных теоретико-числовых проблемах, и существует хорошо разработанная теория колец этого класса.

     Самой знаменитой теоретико-числовой проблемой, немало способствовавшей развитию теории колец, по праву следует считать так называемую великую теорему Ферма: «Если n – натуральное число, большее двух, то не существует таких отличных от нуля целых чисел x, y, z, что xⁿ + yⁿ = zⁿ».  ( На полях своего экземпляра АрифметикиДиофанта П.Ферма сформулировал эту теорему, отметив, что нашел ее «поистине чудесное доказательство», но не привел его.) К настоящему времени эта теорема доказана, но не элементарными методами, которые могли быть доступны Ферма, а с помощью теории эллиптических кривых. Однако значительная часть теории колец возникла в результате попыток доказать теорему Ферма. В частности, эти попытки привели к введению понятия идеала. Подкольцо S кольца R (т.е. некоторое подмножество элементов кольца R, такое, что разность и произведение любых двух элементов из S суть снова элементы из S) называется идеалом кольца R, если для каждого элемента s из S и каждого элемента r из R оба произведения rs и sr принадлежат S. Поскольку подробное изложение теории идеалов увело бы нас далеко в сторону от цели статьи, упомянем лишь, что в коммутативных кольцах некоторые типы идеалов играют такую же роль, как простые числа в кольце целых чисел, и что такие геометрические объекты, как алгебраические кривые на плоскости, могут быть полностью описаны идеалами в кольце многочленов от двух переменных.

      При проектировании электронных схем очень полезными оказываются кольца R, каждый элемент r которых удовлетворяет соотношению r² = r. Вычисления в рамках таких «булевых колец» в точности соответствуют некоторым правилам проектирования схем, так что задача построения схемы, удовлетворяющей заданным условиям, сводится к более простой задаче упрощения соответствующего выражения в булевом кольце.

1.3 Поля

      Полем F называется коммутативное кольцо, в котором ненулевые элементы образуют абелеву группу по умножению. Это означает, что над элементами поля все четыре рациональные операции (сложение, вычитание, умножение и деление на ненулевые элементы) могут проводиться так же, как над обычными числами, и что для полей остаются в силе все правила элементарной алгебры. Приведем несколько примеров полей.

Множество всех действительных чисел  с обычными операциями сложения, вычитания, умножения и деления.

Множество всех комплексных чисел (всех чисел вида a + bi, где a и b – действительные числа и i² = –1) также дает пример поля. Четыре рациональные операции в этом случае определяются следующим образом:

Нетрудно проверить, что все  условия из определения поля при  таком задании операций на указанном  множестве выполняются.

Еще один пример поля – множество всех чисел вида  , где a, b – рациональные числа, с операциями сложения, вычитания, умножения и деления, очень похожими на операции, введенные на множестве комплексных чисел в предыдущем примере, с той разницей, что i заменяется на  , а равенство i² = –1 – на равенство  .

Более удивительный пример поля получается следующим образом. Любое целое  число при делении на 3 дает один из остатков 0, 1, 2. Разделим множество  всех целых чисел на три класса так, чтобы все числа, принадлежащие  к одному классу, давали при делении  на 3 один и тот же остаток. Обозначим  эти классы через {0}, {1} и {2}. Тогда  число 9 попадает в класс {0}, число 185 – в класс {2}, а число 73 – в  класс {1}. Определим сложение и умножение  двух классов следующим образом: из каждого класса выберем по одному представителю, произведем сложение или  умножение представителей и в  качестве результата возьмем класс, которому принадлежит соответственно сумма или произведение представителей (можно проверить, что полученный класс не зависит от выбора представителей и что класс {0} играет роль нулевого элемента). Например, {2} + {2} = {1}, {0} + {1} = {1}, {2}×{2} = {1} и {1}×{2} = {2}. Те же соображения остаются в силе, если вместо числа 3 мы выберем любое целое число m. Однако поле мы получим только в том случае, когда число m простое (т.е. делится только на себя и на 1). Причина этого очевидна: в поле всегда отсутствуют делители нуля, ибо если ab = 0, но при этом a ¹ 0, то 0 = (1/a)(ab) = b, так как в поле всегда существует элемент 1/a, хотя его, разумеется, может не быть в кольце. Таким образом, в любом поле произведениеab может быть равно нулю только в том случае, когда a или b равно нулю. Если m = m₁m₂, где m₁ ¹ m, m₂ ¹ m, то {m₁} ¹ 0, {m₂} ¹ 0, но {m₁m₂} = 0 (так как m₁m₂ дает при делении на m остаток 0). Таким образом, мы можем ожидать, что получится поле – и всегда в действительности получаем поле – только в том случае, когда m – простое число (см. также ЧИСЕЛ ТЕОРИЯ).

Последний пример – поле всех рациональных функций одной переменной, т.е. множество  всех отношений многочленов (a₀ + a₁x + ... + a_nxⁿ) ¸ (b₀ + b₁x + ... + b_mx^m) при обычном определении операций сложения и умножения. Это поле имеет очевидную связь с упоминавшимся выше кольцом многочленов и получается из него взятием всех формальных отношений. Разумеется, аналогичным образом из кольца целых чисел получается поле всех рациональных чисел. Для всех коммутативных колец R без делителей нуля ситуация здесь общая. Мы всегда можем построить поле F формальных отношений элементов кольца R, в котором само R будет содержаться как множество всех элементов вида a ¸ 1.

В отличие от ситуации с группами и кольцами мы располагаем довольно полным описанием всех возможных  полей. Этим описанием мы обязаны, главным  образом, Э.Штейницу (1871–1928). Приведенные  выше примеры иллюстрируют все возможные  типы полей. Разумеется, и в теории полей осталось еще много нерешенных проблем, однако они значительно  тоньше, чем простое описание.

Поля важную роль играют при исследовании алгебраических уравнений. Пусть

– уравнение относительно x с коэффициентами из некоторого поля F. Может случиться так, что ни один элемент из F при подстановке вместо x не обращает левую часть формулы (*) в нуль. Однако можно доказать, что всегда существует более широкое поле F¢, содержащее F, такое, что один из его элементов обращает левую часть (*) в нуль. Этот элемент называется корнем уравнения (*). Например, пусть F – поле рациональных чисел и x² – 2 = 0 – уравнение, которое требуется решить. Тогда в F не существует корня этого уравнения, но поле из третьего примера содержит такой корень, а именно число  , и содержит поле F как множество всех элементов вида  . Возвращаясь к общему случаю, заметим, что всегда можно найти еще более широкое поле F², которое содержит все корни уравнения (*) и является наименьшим из полей, обладающих этим свойством. Изучением взаимосвязи между F и F² занимается теория Галуа, названная так в честь Э.Галуа (1811–1832). Лучше всего эта взаимосвязь выражается в терминах некоторых групп, что может служить ярким примером взаимопроникновения двух разделов алгебры. Галуа построил свою теорию в связи с исследованием следующей задачи. Давно было известно, что корни уравнения (*) первой, второй, третьей и четвертой степеней (т.е. корни уравнений a₀ + a₁x = 0, a₀ + a₁x+ a₂x² = 0, a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ = 0, a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + a₄x⁴ = 0) могут быть явно выражены через коэффициенты a_i; например, для уравнений второй степени корни имеют вид

     Естественно, что делались попытки вывести аналогичные формулы для корней уравнений пятой и более высоких степеней. Н.Абелю в 1824 удалось показать, что для общего (т.е. с буквенными коэффициентами) уравнения пятой и более высоких степеней такой формулы не существует, т.е. что общее уравнение степени n ³ 5 неразрешимо в радикалах. После этого встал вопрос об условиях, которым должны удовлетворять коэффициенты уравнения, чтобы оно было разрешимо в радикалах. Ответ на этот вопрос был найден Галуа. В частности, согласно теории Галуа, неразрешимость в радикалах общего уравнения степени n, n ³ 5, связана со строением группы S_n (определенной нами ранее).

Теория полей сыграла выдающуюся роль в доказательстве неразрешимости трех знаменитых проблем древности: удвоения куба, квадратуры круга и  трисекции угла.

Наконец, упомянем о том, что для  любого поля F всегда существует поле F₀, которое содержит все корни всех уравнений вида (*) с коэффициентами из F при всех возможных n. Если F – поле действительных или комплексных чисел, то F₀ – поле комплексных чисел (наш второй пример). Эту теорему часто называют основной теоремой алгебры. Она имеет иную, эквивалентную, формулировку: любой многочлен с комплексными коэффициентами имеет корень в поле комплексных чисел. Доказательства этой теоремы давали многие известные математики (включая Эйлера и Лапласа), но К.Гаусс (1777–1855) первым доказал ее совершенно строго, без предварительного предположения о существовании корней многочлена.

1.4.Векторы и матрицы  

Знакомые всем физические векторы, используемые для представления  объектов, характеризуемых величиной  и направлением (наглядно их изображают символами со стрелкой), можно рассматривать  и на более абстрактном уровне. Такой подход позволяет понять более  сложные операции над векторами, распространить векторную алгебру  на случай n-мерного пространства и расширить область применения понятия «вектор».

Пусть F – поле. Строка (a₁, a₂, ..., a_n) или столбец

из n элементов называется n-мерным вектором-строкой или n-мерным вектором-столбцом v. Два n-мерных вектора-строки v, v¢ равны в том и только в том случае, если равны все их соответствующие элементы. Векторы можно складывать и вычитать по правилу (a₁, ..., a_n) ± (b₁, ..., b_n) = (a₁ ± b₁, ..., a_n ± b_n). Нетрудно проверить, что при таких определениях векторы образуют абелеву группу. Важное значение имеет еще одна операция над векторами: если v = (a₁, ..., a_n) – вектор, а a – элемент из F, то по определению av = (aa₁, aa₂, ..., aa_n). Векторы допускают и более абстрактное определение, которое, как можно показать, эквивалентно приведенному выше и существенно увеличивает применимость векторов в различных областях науки.

Можно определить произведение двух векторов-строк, но гораздо полезнее следующее определение произведения n-мерного вектора-строки на n-мерный вектор-столбец:

Следует заметить, что такое произведение будет уже не вектором, а просто элементом из F.

Матрицей A размера n´n называется множество n-мерных векторов-строк, записанных один под другим (или n-мерных векторов-столбцов, записанных рядом). Например,

Две матрицы A и A¢ равны в том и только в том случае, когда у них равны все элементы, стоящие на одинаковых местах. Сумма двух матриц размера n´n по определению получается сложением соответствующих векторов-строк, а произведение AA¢ определяется по следующему правилу: в качестве j-го элемента i-й строки берется произведение i-й строки матрицы A на j-й столбец матрицы A¢. Например, при n = 2 и

имеем

и

Нетрудно проверить, что при  таких определениях множество матриц размера n´n образует кольцо. Это кольцо некоммутативно и имеет делители нуля, как показывает следующий пример:

так как нулевым элементом кольца матриц 2´2 служит матрица

Кольцо матриц размера n´n с элементами из некоммутативного поля (системы, обладающей всеми свойствами поля за исключением коммутативности умножения и называемой телом) допускает более абстрактное представление. Точнее говоря, справедлива теорема, которая утверждает, что любое кольцо, удовлетворяющее некоторым двум условиям, обязательно должно быть множеством матриц размера n´n над некоторым телом. Эту теорему можно даже несколько усилить и тем самым получить описание более широкого класса колец.

Для некоторых матриц A существуют обратные матрицы; это означает, что для матрицы A существует матрица A¢, такая, что AA¢ = A¢A = I, где I – единичная матрица

которая обладает тем свойством, что  для любой матрицы B справедливо соотношение IB = BI = B. Множество всех таких матриц размера n´n образует группу, и это обстоятельство имеет важное значение для изучения более абстрактных групп, поскольку большой их класс допускает матричное представление.

     Векторы и матрицы находят все более широкое применение и вне математики. Они были изобретены в середине 19 в. в связи с изучением n-мерной геометрии. С тех пор их стали использовать везде, где приходится иметь дело с обработкой больших массивов данных. С использованием матриц решаются многие технические задачи, связанные с расчетом напряжений, деформаций, колебаний. Решение системы линейных уравнений с несколькими переменными по существу является задачей матричного исчисления. Например, систему уравнений

можно записать в виде

и затем, чтобы найти x, y, z, нужно умножить матрицу, обратную матрице