Газодинамические основы теории турбокомпрессоров

3. Газодинамические основы теории турбокомпрессоров

 

3.1. Трехмерный характер  потока в проточной части турбокомпрессора

 

Подвод энергии к  газу от вращающихся лопаточных аппаратов, а также преобразование энергии  в неподвижных аппаратах, происходит в результате силового взаимодействия потока газа с элементами  проточной части турбомашин. Характер этого взаимодействия определяется распределением параметров газового потока ( ).

В реальной проточной части турбокомпрессора поток газа является пространственным (трехмерным) и нестационарным.

В теории турбокомпрессоров для описания распределения параметров газового потока в проточной части пользуются либо цилиндрической , либо прямоугольной системой координат (рис. 3.1):

  ;     ,

где z – ось вращения; r – радиус; u – направление вращения; – угловая координата; – радиус-вектор точки А.

Координата вдоль оси u связана с угловой координатой q соотношением u=rдq .

Поскольку проточная часть турбокомпрессора представляет собой систему неподвижных  и вращающихся аппаратов (лопаточных и безлопаточных), то частицы газа, движущиеся во вращающихся элементах, будут одновременно участвовать в двух движениях – относительном (относительно стенок вращающегося лопаточного аппарата) и переносном (вращательном движении вокруг оси вращения z).

Переносная (окружная) скорость точки А связана с угловой скоростью вращения ω [рад/с] и расстоянием от оси вращения до точки А соотношением:

.       (3.1)

По отношению к вращающейся системе координат, связанной с рабочим колесом, частицы газа движутся с относительной скоростью , которая направлена по касательной к траектории (линии тока) частицы газа во вращающемся канале.

В неподвижной системе  координат, связанной с корпусом компрессора, частицы газа имеют абсолютную скорость , которая является векторной суммой переносной и относительной скоростей.

 .    

Если вектор скорости , разложить на проекции, на оси координат (рис. 3.2), то

     ,    (3.2)

где – меридиональная (расходная) составляющая абсолютной скорости, она определяет количество газа прошедшего через проточную часть; – окружная составляющая абсолютной скорости (закрутка потока).

   а)       б)

Рис. 3.1. Пространственный поток в цилиндрической системе  координат:

а) рабочее колесо осевого  компрессора; б) рабочее колесо центробежного  компрессора

 

Рис. 3.2. Разложение вектора абсолютной скорости на оси координат

 

 

В проточной части  осевого компрессора расход газа в основном определяется осевой составляющей абсолютной скорости , а радиальная составляющая , тогда .

В проточной части центробежного компрессора движение газа происходит, в основном, от центра к периферии, и расход определяется радиальной составляющей , а осевая , т.е. .

Однако, строго говоря, пренебрежение одной из компонент меридиональной скорости не всегда является справедливым.

 

3.2. Основные уравнения механики жидкости и газа

 

На частицу газа в  потоке действуют поверхностные, массовые силы и силы инерции. К поверхностным относятся силы давления и силы трения, к массовым – сила тяжести, силы магнитного и электрического взаимодействия.

1. Уравнение движения

Согласно принципу Даламбера, сила инерции равна и противоположно направлена сумме всех сил, действующих на частицу газа:

,      (3.3)

где – сила инерции; – сумма внешних сил (массовых и поверхностных ).

В механике сплошных сред сила инерции, отнесенная к единице массы частицы газа, Н/кг:

.      (3.4)

При течении газа в  проточной части турбокомпрессора массовые силы (сила тяжести) незначительны  по сравнению с силами трения и силами давления

.    (3.5)

Сила давления

,     (3.6)

где – градиент давления ( – единичные векторы положительных направлений осей z, r, u.

Сила трения представляет собой дивергенцию тензора скоростей  деформации

,     (3.7)

где – для оси r; – для оси z; – для оси u; – коэффициент кинематической вязкости, м²/с; μ – коэффициент динамической вязкости, Па·с.

Из уравнений (3.3), (3.6) и (3.7) можно получить основное уравнение  движение вязкого газа – уравнение  Навье-Стокса. Запишем его в проекциях  на оси координат, используя форму математической записи через оператор Гамильтона [3]:

,    (3.8)

где ( – оператор Гамильтона, D= ²= · – оператор Лапласа).

Стоящие в левой части  уравнения (3.8) силы инерции в проекциях  на оси координат расписываются через частные производные

,

,

.

Для идеального газа (без  учета вязкости) уравнения Навье-Стокса (3.8) преобразуются к уравнениям Эйлера:

.      (3.9)

В проекциях на оси:

.      (3.10)

Неизвестными в уравнениях Навье-Стокса и Эйлера являются 5 величин: проекции абсолютной скорости C_r, C_u, C_z, давление Р и плотность ρ.

 

2. Уравнение неразрывности (сохранения массового расхода):

,     (3.11)

где

В случае стационарного  потока , тогда

=0.

В случае одномерного  потока для струйки тока

.

Для ступени турбокомпрессора

.

 

3. Уравнение энергии:

.    (3.12)

 

4. Уравнение состояния:

– идеального газа   

 ;       (3.13)

– реального газа   

 .

 

Система уравнений (3.8), (3.11), (3.12), (3.13) включает в себя 6 уравнений с шестью неизвестными. Кроме С_r, C_u, C_z, P, ρ, уравнение состояния вносит шестую неизвестную – температуру Т. Если учитывать теплообмен с окружающей средой, то появляется седьмое неизвестное – количество подведенной (отведенной) теплоты q_вн. Дополнительный уравнением будет условие теплообмена с окружающей средой, описываемое уравнением Ньютона:

,      (3.14)

где α – коэффициент теплоотдачи, Вт/(м²·К); Т_окр – температура окружающей среды, К; F – площадь поверхности теплообмена, м².

Таким образом, система уравнений получается замкнутой. И сформулировав граничные (а в случае нестационарного движения и начальные) условия теоретически эта система может быть решена. Однако в настоящее время отсутствует возможность интегрирования уравнений Навье-Стокса, Эйлера и Рейнольдса [3] в полной форме. На практике идут на различные упрощения: считают процесс стационарным, переходят к двух и одномерным моделям течения, не учитывают вязкость. Обоснованность этих допущений должна быть оговорена для каждой конкретной задачи и опираться на опытные данные.

 

3.3. Преобразование  уравнений движения методами  теории подобия

 

В большинстве важных практических случаев применение уравнений Навье-Стокса и Эйлера возможно путем преобразования этих уравнений методами теории подобия.

Напомним основные понятия и  определения теории подобия, известные  из дисциплины «Механика жидкости и  газа».

Теория подобия – учение о методах научного обобщения эксперимента. Применение теории подобия позволяет вместо дорогостоящих опытов на промышленной аппаратуре выполнять исследования на моделях значительно меньшего размера.

Подобными называют явления, для которых постоянны отношения характеризующих их сходственных величин.

Константами подобия называются безразмерные масштабные множители, выражающие отношения однородных сходственных величин подобных систем.

Инвариантами подобия называются безразмерные отношения каких-либо двух размеров одной системы, равные отношению сходственных размеров подобной системы.

 

Например: a, b, l – размеры модели; A, B, L – размеры натуры.

 – константа геометрического подобия;

 – инвариант геометрического подобия.

 

Константы и инварианты подобия, полученные отношением линейных размеров, являются условиями геометрического подобия. Другими словами, геометрическое подобие соблюдается при равенстве отношений всех сходственных линейных размеров натуры и модели.

Инварианты подобия  не обязательно могут быть выражены отношением линейных размеров модели и натуры. В них могут фигурировать любые физические величины процессов, протекающих в модели и натуре.

Инварианты подобия, выраженные отношениями двух однородных физических величин, называются симплексами.

Инварианты подобия, выраженные отношениями разнородных физических величин, представляют собой безразмерные комплексы.

Динамическим  подобием называют условия подобия сил, действующих на сходственные частицы в натуре и модели. Динамическое подобие обеспечивается равенством безразмерных комплексов в модели и натуре.

Кинематическим  подобием называют условие подобия траектории движения сходственных частиц в натуре и модели.

Основные положения  теории подобия обобщаются теоремами  подобия.

1-я теорема  подобия (теорема Ньютона): При подобии систем всегда могут быть найдены такие безразмерные комплексы величин, которые для сходственных точек данных систем одинаковы.

2-я теорема  подобия (теорема Бэкингема): Решение любого дифференциального уравнения может быть представлено в виде зависимости между безразмерными комплексами этих величин, то есть между критериями подобия.

3-я теорема  подобия (Кирпичев): Подобны те явления, определяющие критерии которых численно равны .

Теория подобия позволяет  преобразовать уравнения Навье–Стокса и получить из них некоторую общую  функциональную зависимость между критериями подобия, характеризующими силы, действующие при движении вязкого газа или жидкости.

Запишем уравнение Навье–Стокса для оси z (с учетом массовых сил – сил тяжести)

.

Критерии подобия можно  получить путем деления левой части дифференциального уравнения на правую (или наоборот) и последующего отбрасывания знаков математических операторов.

Если поток стационарный, то .

Если течение одномерное, то

.

Отбрасывая знаки дифференциалов и заменяя текущую координату z на некоторый определяющий линейный размер l, получим

.

Разделим правую часть  уравнения на левую, которая представляет собой силу инерции

.

В правой части мы получили выражения, характеризующие соотношения между соответствующими силами и силой инерции, то есть за масштаб принята сила инерции.

Комплекс  называется критерием Фруда. Чтобы избежать чисел < 1, пользуются обратным выражением

. 

Критерий Фруда представляет собой меру отношения сил инерции к силе тяжести в подобных потоках.

Комплекс  называется критерием Эйлера. Обычно вместо давления Р используется перепад давлений DР:

.

Критерий Эйлера представляет собой отношение изменения силы гидростатического давления к силе инерции в подобных потоках.

Комплекс величин  называется критерием Рейнольдса. Чтобы избежать чисел меньше 1, используют обратное отношение:

.

Критерий Рейнольдса представляет собой отношение силы трения к силе инерции в подобных потоках.

При неустановившемся движении . Заменив член, отражающий влияние нестационарности движения

,

получаем критерий гомохронности (Но) или критерий Струхала (Sh)

.

Критерий Струхала учитывает неустановившийся характер движения в подобных потоках.

В турбокомпрессорах  вместо критерия Эйлера обычно пользуются двумя другими безразмерными параметрами – числом Маха ( ) и показателем изоэнтропы . Они связаны между собой. Если вместо перепада давлений ΔР  взять абсолютное давление Р и заменив , получим

.

Следовательно, число  Маха и показатель изоэнтропы также  могут считаться критериями динамического  подобия.