Развитие пространственных представлений учащихся в курсе геометрии 7-9 класса

Исследования  свидетельствуют о том, что процесс  формирования

обобщенных, достаточно подвижных, действенных  пространственных представлений характеризуется определенной этапностью. Каждому этапу соответствует своя специфика, своя система эффективных средств (методов). Этапность формирования пространственных представлений можно представить следующим образом:

1. Создание целостного образа на наглядной или абстракно-логической основе путем опоры на ранее сформированные пространственные представления и ранее усвоенные понятия. Узнавание, различение и воспроизведение образа в основном в тех же условиях, в которых проходило его формирование.

  На  этом этапе наиболее эффективны такие  методические средства: создание у  учащихся положительных мотивов  совершенствования представлений; уточнения и систематизация представлений, сформированных жизненным опытом; применение естественных наглядных пособий и неподвижной наглядности; обучение изображению неплоских фигур на плоскости; выполнение чертежей; сопоставление чертежей и моделей.

2. Оперирование образом в односложных связях в несколько измененных условиях, закрепление его существенных признаков путем варьирования несущественных.
3. Оперирование образом в сильно измененных условиях, логическое установление таких отношений, как конгруэнтность, подобие между элементами образа при простой проблемной ситуации без наглядной опоры и при сложной с полной и неполной наглядной опорой.
4. Активное оперирование образом в существенно измененных условиях с раскрытием внутрипредметных и межпредметных связей и зависимостей.
5. Творческое конструирование новых образов и отношений на базе сформированных ранее обобщенных, подвижных и действенных образов.

      Приведенная система методических средств позволяет  активно управлять процессом  формирования пространственных представлений  учащихся, если эта система практически  реализуется через целенаправленную систему упражнений.

      Для определения возможных путей изменения содержания и методики изучения геометрического материала школьниками необходимо знать, как происходит процесс усвоения знаний, какими особенностями он характеризуется на каждом этапе обучения. В последнее время психологами и педагогами осуществлена попытка более глубоко проникнуть в процесс развития геометрического мышления, раскрыть и выявить его специфику. С этой целью можно определить несколько уровней мышления в области геометрии, которые условно называют «уровнями геометрического развития».

      Каждому уровню соответствует свой язык, содержащий определенную геометрическую логическую терминологию, своя символика своя глубина логической обработки изучаемого геометрического материала. Переход  от одного уровня к другому связан с изменением языка, символики, глубины логической обработки геометрических объектов. Переход от одного уровня к другому не является процессом самопроизвольным, идущим одновременно с биологическим развитием человека и зависящим лишь от его возраста. Этот переход протекает под влиянием целенаправленного обучения, а по тому зависит от содержания и методов обучения. Их изменение может содействовать ускорению перехода к следующему, более высокому, уровню или тормозить этот переход.

      Первый, исходный, уровень характеризуется тем, что геометрическая фигура рассматривается как «целое». На этом уровне при восприятии ученики еще не выделяют ее элементов, не замечают, например, сходства между квадратом и прямоугольником. Фигуры различаются по своему внешнему виду. Ученик, мыслящий на первом уровне, может легко научиться узнавать такие фигуры, как прямоугольник, квадрат, ромб, параллелограмм, хорошо запоминает их название, но не видит общих признаков в этих фигурах, не видит в квадрате ромба, в ромбе – параллелограмм и т.д. Для ученика каждая из этих фигур существенно индивидуальна.

      Учащиеся, достигшие второго уровня, умеют  устанавливать отношения между  элементами фигур или самими фигурами. Они выполняются только экспериментальным  путем. Усвоение свойств фигур происходит в процессе наблюдений, измерений, вычеркивания, моделирования (например, вырезание из бумаги). Эти свойства используются при узнавании фигур. Но свойства не выводятся и логически не упорядочены. Учащиеся еще не понимают структуры логического следования. На этом уровне фигуры выступают носителями своих свойств и распознаются учащимися по этим свойствам. Но эти свойства еще не связаны друг с другом. Например, учащиеся довольно быстро замечают, что у прямоугольника, и у параллелограмма общего вида противоположные стороны попарно равны, но учащиеся еще не приходят к выводу. Что прямоугольник есть параллелограмм.

      Учащиеся, достигшие третьего уровня геометрического  развития, уже умеют устанавливать  связи между свойствами фигур  и самими фигурами. На третьем уровне происходит логическое упорядочение свойств. Уясняется возможность следования одного свойства из другого. Логические связи между свойствами устанавливаются с помощь определений. Но порядок логического следования дается учителем или учебником, и сам ученик еще не видит возможностей изменять этот порядок. На третьем уровне начинают понимать, что дедукция позволяет устанавливать свойства фигур более экономно и обще, чем с помощью эксперимента: выяснив экспериментально одни свойства фигуры, путем логического рассуждения-вывода можно получить другие свойства. На этом уровне квадрат уже считается прямоугольником, параллелограммом.

      Четвертый уровень геометрического развития характеризуется тем, что учащиеся осознают значения функций в целом  как способа построения всей геометрической теории.

      Переходу  на этот уровень способствует усвоение (понимание) роли и сущности аксиом, определений, теорем, логической структуры  доказательств, анализа логических связей понятий и предложений. Учащиеся на этом уровне легко видят различные возможности развитии теории, исходя из различных посылок, и могут использовать дедуктивные построения не только в области изучения свойств одной какой-нибудь фигуры.

      Например, ученик может рассмотреть всю  систему свойств и признаков  параллелограмма, взяв за основу определение параллелограмма, данное в учебнике. Но может построить и другую систему, взяв за ее основу такое определение параллелограмма: «параллелограммом называется четырехугольник, две противоположные стороны которого равны и параллельны».

      Пятый уровень мышления в области геометрии  соответствует современному (Гильбертовскому) эталону строгости. На этом уровне достигается  отвлечение от конкретной природы объектов и конкретного смысла отношений, связывающих эти объекты. Человек, мыслящий на этом уровне, развивает теорию вне всякой конкретной интерпретации. Геометрия здесь приобретает общий характер и более широкие применения, когда, например, точками служат некоторые объекты, явления или состояния, фигурами любые совокупности таких точек и т.д.

      Переход одного уровня к другому, более высокому, осуществляется постепенно и последовательно. При этом элементы более высокого уровня зарождаются «внутри» предшествующего, появляются до того, как осуществлен  переход к этому новому уровню. Причем и после этого перехода мы часто возвращаемся к более низкому уровню с целью обеспечения лучшего понимания изучаемых на новом уровне вопросов. Все это дает возможность на каждом этапе обучения определить (выявить) основной уровень, на котором ведется обучение, а также элементы предшествующего и последующего уровней геометрического развития. 
 

§3. Возможности традиционных учебных пособий  по развитию пространственного  представления. 

      Целью изучения курса геометрии в 7-9 классах  является систематическое изучение свойств геометрических фигур на плоскости, формирование пространственных представлений, развитие логического мышления и подготовка аппарата, необходимого для изучения смежных дисциплин (физика, черчение и т.д.) и курса стереометрии в старших классах.

      Учебники:

1. Л.С. Атанасян;
2. А.В. Погорелов;
3. И.Ф. Шарыгин;
4. И.М. Смирнова.

     Курс  геометрии в средней школе  традиционно состоит из двух основных разделов: планиметрии, изучающей плоские  фигуры и их свойства, и стереометрии, изучающей пространственные фигуры и их свойства. Такой подход к построению школьного курса геометрии имеет как положительные, так и отрицательные стороны.

      Некоторые отрицательные моменты:

• геометрия – наука, опирающаяся на наглядность, возникшая из опыта человека, из его наблюдений за окружающим миром, в котором нет ни одного плоского объекта, изучаемого планиметрией;
• при раздельном изучении планиметрии и стереометрии очень много повторов, очень много дублирования;
• раздельное изучение свойств фигур на плоскости и в пространстве не позволяет ученику увидеть многих общих закономерностей геометрии, ему представляется, что планиметрия и стереометрия это две различные науки;
• приложения планиметрии достаточно искусственны или упрощены, они не в достаточной мере отражают связь геометрии с окружающим миром, тем более что многое об окружающем мире изучается достаточно рано, параллельно c курсом  геометрии 5-9 классов;
•   многие задачи, связанные с измерениями геометрических величин или с измерениями на местности, развертками или конструированием многогранников и т.д., решаются традиционно в таком возрасте, когда это совершенно неестественно, неинтересно и не нужно;
• в настоящее время многие учащиеся завершают или прерывают математическое образование в 9 классе, а изучением пространства и всех окружающих нас объектов традиционно начинают заниматься с 10 класса. Это приводит к тому, что базовое образование не дает необходимого эффекта для развития личности ученика, не готовит его к жизни, к практической деятельности;
• изучаемый в основной школе курс черчения не имеет никакой поддержки, и о чем там говорится, иногда совершенно непонятно учащимся. Это же относится и к взаимосвязи с курсами физики, географии, химии, где не может быть планиметрических образов, так как эти предметы заняты изучением свойств окружающего нас мира, а он трехмерен.

     Некоторые положительные стороны традиционного  изучения геометрии состоят в  следующем:

• учащимся трудно изображать пространственные объекты, а соответствующих средств наглядности в школах пока недостаточно;
• раздельное изучение геометрии идет долго, 7 лет, и ученик, медленно работающий, может более успешно изучать отдельные темы;
• взаимосвязанное изучение свойств плоских и пространственных фигур выдвигает рассмотрение многочисленных возможностей их взаимного расположения, что иногда вызывает трудности у ученика (это обстоятельство для многих учащихся становится положительной стороной обучения).

     Опыт  показывает, что убедительно побеждают  плюсы совместного изучения свойств  геометрических фигур на плоскости  и в пространстве. За последнее время в различных вариантах учебников для начальной школы, во-первых, помещается все больше геометрического материала вообще, во-вторых, среди этого материала преобладает изучение свойств фигур в пространстве. Было бы странно отбросить все эти попытки (эксперименты подтверждают их успешность) и перейти к изучению свойств только плоских фигур. Возникает основная методическая линия курса геометрии – взаимосвязанное изучение свойств плоских и пространственных фигур. Плоские фигуры и их свойства чаще всего изучаются не сами по себе, а как части пространственных геометрических фигур. В связи с этим возникает комплексный подход к изучению этих свойств, продиктованный единственным основанием – взаимным расположением объектов в окружающем нас мире (с позиции геометрии).

      Учебники  Л.С. Атанасяна и А.В. Погорелова проанализированы на наличие задач, развивающих наблюдательность, внимание и воображение, должный  уровень развития которых позволяет  говорить о уровне  развития пространственных представлений школьников необходимом для последующего изучения стереометрии.