Экспертные оценки в управление

      Величины  рассмотрим как реализации случайной величины и найдем оценку дисперсии. Как известно, оптимальная по критерию минимума среднего квадрата ошибки оценка дисперсии определяется формулой. [12]:

       ,                                                                                              (3.15)

      где - оценка математического ожидания, равная

                                                                                                                    (3.16)

      Дисперсионный коэффициент конкордации определяется как отношение оценки дисперсии (3.15) к максимальному значению этой оценки [12]

       .                                                                                                             (3.17)

      Коэффициент конкордации изменяется от нуля до единицы, поскольку .

      Вычислим  максимальное значение оценки дисперсии  для случая отсутствия связанных  рангов (все объекты различны). Предварительно покажем, что оценка математического ожидания зависит только от числа объектов и количества экспертов. Подставляя в (3.16) значение  из (3.14), получаем [12]

                                                                                                                (3.18)

      Рассмотрим  вначале суммированные по i при фиксированном  j. Это есть сумма рангов для j-го эксперта. Поскольку эксперт использует для ранжировки натуральные числа от 1 до n, то, как известно, сумма натуральных чисел от 1 до n  равна [12]

                                                                                                             (3.19)

      Подставляя (3.19) в (3.18), получаем [12]

                                                                                          (3.20)

      Таким образом, среднее значение зависит только от числа экспертов m и числа объектов n.

      Для вычисления максимального значения оценки дисперсии подставим в (3.15) значение из (3.14) и возведем в квадрат двучлен в круглой скобке. В результате получаем [12]

                                                                      (3.21)

      Учитывая, что из (3.18) следует

      

      получаем [12]

                                                                                          (3.22)

      Максимальное  значение дисперсии достигается  при наибольшем значении первого  члена в квадратных скобках. Величина этого члена существенно зависит от расположения рангов - натуральных чисел в каждой строке i. Пусть, например, все m экспертов дали одинаковую ранжировку для всех n объектов. Тогда в каждой строке матрицы будут расположены одинаковые числа. Следовательно, суммирование рангов в каждой i-u строке дает m-кратное повторение i-ro числа [12]:

      

      Возводя в квадрат и суммируя по i, получаем значение первого члена в (3.22) [12]:

                                                                             (3.23)

      Теперь  предположим, что эксперты дают несовпадающие  ранжировки, например, для случая n=m все эксперты присваивают разные ранги одному объекту. Тогда [12]

            

      Сравнивая это выражение с  при m=n, убеждаемся, что первый член в квадратных скобках формулы (9) равен второму члену и, следовательно, оценка дисперсии равна нулю.

      Таким образом, случай полного совпадения ранжировок экспертов соответствует максимальному значению оценки дисперсии. Подставляя (3.23) в (3.22) и выполняя преобразования, получаем [12]

                                                                                                         (3.24)

      Введем  обозначение [12]

                                                                                                        (3.25) 

      Используя (3.25), запишем оценку дисперсии (3.15) в виде [12]

                                                                                                                   (3.26)

      Подставляя (3.24), (3.25), (3.26) в (3.17) и сокращая на множитель (n—1), запишем окончательное выражение для коэффициента конкордации [12]

                                                                                                            (3.27)

      Данная  формула определяет коэффициент  конкордации для случая отсутствия связанных рангов.

      Если  в ранжировках имеются связанные  ранги, то максимальное значение дисперсии  в знаменателе формулы (3.17) становится меньше, чем при отсутствии связанных рангов. Можно показать, что при наличии связанных рангов коэффициент конкордации вычисляется по формуле [12]:

                                                                                               (3.28)

      где

                                                                                                            (3.29)

      В формуле (3.28) - показатель связанных рангов в j-й ранжировке, - число групп равных рангов в j-й ранжировке, - число равных рангов в k-й группе связанных рангов при ранжировке j-м экспертом. Если совпадающих рангов нет, то =0, =0 и, следовательно, =0. В этом случае формула (3.28) совпадает с формулой (3.27).

      Коэффициент конкордации равен 1, если все ранжировки экспертов одинаковы. Коэффициент конкордации равен нулю, если все ранжировки различны, т. е. совершенно нет совпадения.

      Коэффициент конкордации, вычисляемый по формуле  (3.27) или (3.28), является оценкой истинного значения коэффициента и, следовательно, представляет собой случайную величину. При числе объектов n>7 оценка значимости коэффициента конкордации может быть произведена по критерию . Величина Wm(n—1) имеет распределение с v=n –1 степенями свободы.

      При наличии связанных рангов распределение с v=n—1 степенями свободы имеет величина [12]:

                                                                                           (3.30) 

      Энтропийный коэффициент конкордации определяется формулой (коэффициент согласия) [12]:

                                                                                                               (3.31)

      где Н – энтропия, вычисляемая по формуле

                                                                                                    (3.32) 

      а - максимальное значение энтропии. В формуле для энтропии - оценки вероятностей j-го ранга, присваиваемого i-му объекту. Эти оценки вероятностей вычисляются в виде отношения количества экспертов , приписавших объекту ранг j к общему числу экспертов [12].

                                                                                                                      (3.33)

      Максимальное  значение энтропии достигается при  равновероятном распределении рангов, т. е. когда  . Тогда [12]

                                                                                                               (3.34)

      Подставляя  это соотношение в формулу (3.32), получаем [12]

                                                                                          (3.35)

      Коэффициент согласия изменяется от нуля до единицы. При расположение объектов по рангам равновероятно, поскольку в этом случае . При , что достигается при нулевой энтропии (H=0), все эксперты дают одинаковую ранжировку.

 

      

      ЗАКЛЮЧЕНИЕ

        Динамизм и новизна современных  народнохозяйственных задач, возможность  возникновения разнообразных факторов, влияющих на эффективность решений,  требуют, чтобы эти решения  принимались быстро и в то  же время были хорошо обоснованы. Использование метода экспертных оценок помогает формализовать процедуры сбора, обобщения и анализа мнений специалистов с целью преобразования их в форму, наиболее удобную для принятия обоснованного решения.

        Но, следует заметить, что метод  экспертных оценок не может заменить ни административных, ни плановых решений, он лишь позволяет пополнить информацию, необходимую для подготовки и принятия таких решений. Широкое использование экспертных оценок правомерно только там, где для анализа будущего невозможно применить более точные методы.

        Экспертные методы непрерывно  развиваются и совершенствуются. Основные направления этого развития  определяются рядом факторов, в  числе которых можно указать  на стремление расширить области  применения, повысить степень использования математических методов и электронно-вычислительной техники, а также изыскать пути устранения выявляющихся недостатков.

        Несмотря на успехи, достигнутые  в последние годы в разработке  и практическом использовании  метода экспертных оценок, имеется  ряд проблем и задач, требующих дальнейших методологических исследований и практической проверки. Необходимо совершенствовать систему отбора экспертов, повышение надежности характеристик группового мнения, разработку методов проверки обоснованности оценок, исследование скрытых причин, снижающих достоверность экспертных оценок.

        Однако, уже и сегодня экспертные  оценки в сочетании с другими  математико-статистическими методами  являются важным инструментом  совершенствования управления на  всех уровнях. 
 

      СПИСОК  ЛИТЕРАТУРЫ 

     1. Афанасьев, В.Г. Научное управление обществом [Текст] / В.Г. Афанасьев. - М.: Политиздат, 1968. - 183 с.

     2. Беклешев, В.К. Нормирование труда в НИИ и КБ [Текст] / В.К. Беклешев, П.Н. Завлин. - М.: Экономика, 1973. - 203 с.

     3. Берж, К. Теория графов и ее применения [Текст]  / К. Берж. - М.: Просвещение 1962. - 196 с.

     4. Бешелев, С.Д. Экспертные оценки [Текст] / С.Д. Бешелев, Ф.Г Гурвич. - М.: Наука, 1973. - 246 с.

     5. Бешелев, С.Д. Экспертные оценки в принятии плановых решений [Текст] / С.Д. Бешелев, Ф.Г Гурвич. - М.: Экономика, 1976. - 287 с.

     6. Бешелев, С.Д. Математико-статистические методы экспертных оценок [Текст] / С.Д. Бешелев, Ф.Г Гурвич. - М.: Статистика, 1980. - 263 с.

     7. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей [Текст] / Е.С. Вентцель. - М.: Наука, 1969. - 368 с.

     8. Волгин, Б.А Деловые совещания [Текст] / Б.А. Волгин. - М.: Московский рабочий, 1972. - 204 с.

     9. Диксон, Дж. Проектирование систем: изобретательство, анализ, принятие решений [Текст] / Дж. Диксон. - М.: Мир, 1969. - 323 с.

     10. Добров, Г.М. Экспертные оценки в научно-техническом прогнозировании [Текст] / Г.М. Добров, Ю.В. Ершов, Е.И. Левин, Л.П. Смирнов. - Киев: Наукова думка, 1974. - 263 с.