Управление товарными запасами на торговом предприятии

     Підносимо обидві частини (6) до квадрату та використовуємо залежності (2) і (4):

                                  

                                                 (7) 

     Залежність (7) показує, що мінімум витрат досягається  за умови, коли витрати на формування запасу дорівнюють витратам на його зберігання. За цих умов мінімальні сумарні витрати  складають:

                                         

                                                         (8) 

     Кількість оптимальних поставок за проміжок Ø дорівнює:

. 

      Оптимальний період поставок (термін використання поставки оптимального обсягу) становить:

                         

                                              (9) 

      Обчислимо оптимальні витрати на функціонування системи постачання за проміжок Ø. Скориставшись  залежностями (5), (2), (4) та (6), маємо:

     

             (10). 
 

Статична  детермінована модель з дефіцитом

Розглянемо  одну з можливих моделей управління одно номенклатурними запасами, допускаючи можливість дефіциту. Це означає, що при відсутності запасу попит зберігається, і дефіцит накопичується з деякого швидкістю b, тобто з тією ж інтенсивністю. Якщо період між поставками сталий і дорівнює  
, то його необхідно розділити на два проміжки - термін, коли є можливість скористатися наявним запасом; - термін, коли запас відсутній і накопичується дефіцит, який потім буде ліквідований у момент чергової поставки.

      Необхідність  компенсації дефіциту обумовлюється  тим, що максимальний рівень запасу S* в момент виконання поставки не дорівнює її обсягу S, а менший на величину дефіциту S-S*, який виник за час _.

   Оскільки  користуємося гіпотезою про лінійну  залежність обсягу споживання запасу від часу, то

    ;                                  .                                 (11) 

   Функція сумарних витрат С буде визначатися трьома доданками: витратами Сn і Сз, обумовленими необхідністю поставки та зберігання запасу, та обсягами С_с штрафів через дефіцит:

                             

                                         (12) 

      Витрати Сn обчислюємо за формулою (2), витрати Сз – за формулою (4), враховуючи, що зберігається запас в обсязі S* терміном :

         (13) 

     Обчислення  стягнення за дефіцит С_с виконується за умови, що за кожну одиницю продукції в дефіциті сплачується штраф с₃ за кожну одиницю   часу. Оскільки середній рівень дефіциту за термін дорівнює  
, то штраф за вказаний період становить  
, а за весь період Ø, враховуючи (11), маємо:

      (14) 

      Таким чином, сумарні витрати С з  урахуванням формул (2), (13) і (14) обчислюються так:

                            

                             (15) 

   Якщо  S дорівнює S*, то формули (15) і (5) тотожні, коли не враховувати дефіцит. Досліджувана задача управління запасами за умови дефіциту приведена до визначення таких значень S та S*, за яких функція С (15) досягає найменшого значення.

      Значення  функції С(15) може бути екстремальним  лише в стаціонарній точці, тобто  якщо частинні похідні та дорівнюють нулю.

 

Виконавши алгебраїчні перетворення, систему  рівнянь перепишемо так:

                                                                     (16)

   Розв'язавши систему (16) та переконавшись за допомогою необхідної умови, що стаціонарна точка функції С(15) буде точкою мінімуму, одержуємо величини параметрів оптимального управління для пропонованої моделі. Обсяг оптимальної поставки дорівнює:

                                    

                                 (17) 

а обсяг  оптимального запасу -

                                  

                                (18) 

      Величина    називається коефіцієнтом збитків через дефіцит і має суттєве значення в управлінні запасами. Коли - мала величина відносно , величина близька до нуля; якщо ж суттєво перевищує значення , то має значення близьке до одиниці. У загальному випадку виконується умова: . Недопустимість дефіциту рівносильна вимозі, що  .

   Скориставшись формулою (11), маємо .

      Порівнюючи  формули (17) та (6), ми побачимо, що оптимальні обсяги поставок для задач з дефіцитом  і без дефіциту за однакових параметрів пов’язані залежністю:

                                        

                                         (19) 

      Таким чином, оптимальний обсяг поставки за умов дефіциту завжди більший в  разів, ніж у задачі без дефіциту.

2.2. Статична модель  управління багатономенклатурними  запасами 

   Господарська  діяльність у багатьох випадках визначається потоком обсягів різноманітної  продукції, тому важливе значення мають  задачі управління багатономенклатурними запасами.

   На  мою думку, оптимізацію управління запасами доцільно проводити лише на ті найменування, які складають за вартістю не менше 60% загального потоку запасів. Наголосимо, що в деяких випадках багатономенклатурну задачу можна привести до однієї або кількох задач одно номенклатурних за таких умов:

• поставки різної продукції виконуються незалежно;
• поставки виконуються упорядкованими комплектами, завдяки чому комплекти можна вважати як одну номенклатуру;
• попит на певний набір продукції суттєво взаємопов'язаний, і таку множину можна вважати за одну номенклатуру.

Розглянемо  задачі управління багатономенклатурними  запасами за умов:

• періоди поставок тотожні;
• наявними є певні обмеження.

   Припустимо, що досліджуємо задачу на проміжку Ø і всі m-номенклатур мають один і той же період поставки Т. За таких умов сумарні витрати на зберігання запасу дорівнюватимуть:

                         

                                            (20) 

( - обсяг i-тої продукції в поставці; - витрати на зберігання одиниці i-ої продукції протягом одиниці часу) 

Врахувавши що:

                        

,                                       (21)

обчислимо                                                                   (22)

( - обсяг поставок i-ої продукції за контрольований термін Ø).

      Припустимо, що оцінку витрат на одну поставку можна  виконати за такою залежністю:

                                     

                                          (23)

( - величина витрат на поставку, яка не залежить від обсягів поставки; - величина, яка дозволяє врахувати вплив кількості номенклатур, що входять у поставку, на її вартість).

      За  таких умов вартість всіх поставок на проміжку Ø дорівнюватиме:

              

                     (24)

      Сумарні витрати  на управління запасами на проміжку Ø дорівнюють:

        

              (25)

     Обчислимо оптимальні параметри управління запасами. Знайдемо :

      Оптимальна  величина періоду поставки дорівнює:

                                                                                       (26)

Оптимальні  кількість  та обсяги поставок будуть відповідно дорівнювати:

                                 

,                          (27)

                            

                                 (28) 

   Підставивши у функцію витрат D(25) оптимальне значення періоду поставки (26), одержимо величину оптимальних витрат на функціонування системи постачання:

                                

                     (29) 

     Виконані  дослідження в межах побудованих  математичних моделей дали можливість визначити оптимальні параметри функціонування системи постачання за критерієм мінімальної вартості витрат. За умови управління одно номенклатурними запасами  функція витрат   С(S)   у бездефіцитній  моделі

визначається  залежністю (5):

 

   Тепер з'ясуємо питання функціонування системи  постачання за умови її фінансування в сумі D:

                                              

                                          (30) 

   Обчислимо обсяг поставок S, який задовольнятиме умові (30), тобто ця величина має бути коренем відповідного квадратного рівняння:

 

     Дійсні  корені (30) (реальні обсяги поставок) можуть існувати за умови . Порівнявши (10) й одержану умову, доходимо висновку, що система