Решение задач линейного программирования и анализ чувствительности с помощью MS Excel

 

Задача 2

Предприятие выпускает четыре вида продукции и использует три типа основного оборудования: токарное, фрезерное и шлифовальное. Затраты  времени на изготовление единицы продукции для каждого из типов оборудования приведены в таблице. В ней же указаны общий фонд рабочего времени каждого из типов оборудования, а также прибыль от реализации одного изделия данного вида. Определить такой объем выпуска каждого из изделий, при котором общая прибыль от их реализации является максимальной. Что произойдет с общей прибылью, если прибыль от продажи продукции вида 4 вырастет втрое? Как изменится общая прибыль, если предприятию будет необходимо выпускать не меньше 1 единиц продукции 3? Если увеличить время использования фрезерных станков на 80 станко-часов, то можно ли будет уменьшить время использования других станков?

 

Тип оборудования	Затраты времени (станко-ч) на единицу  продукции вида				Общий фонд рабочего времени (станко-ч)
	1	2	3	4
Токарное Фрезерное Шлифовальное	2 1 1	1 - 2	1 2 1	3 1 -	300 70 340
Прибыль от реализации единицы продукции (руб.)	8	3	2±1	1

 

Задача 3

Для перевозок груза на трёх линиях могут быть использованы суда трёх типов. Производительность судов при использовании их на различных линиях характеризуются данными, приведёнными в таблице. В ней же указаны общее время, в течение которого суда каждого типа находятся в эксплуатации, и минимально необходимые объёмы перевозок на каждой линии. Определить, какие суда, на какой линии и в течение какого времени следует использовать, чтобы обеспечить максимальную загрузку судов с учётом возможного времени их эксплуатации. Как изменится общий объем перевозок, если производительность судов вида III на третьей линии возрастет вдвое, а на второй — уменьшится до 8 млн. тонномиль в сутки? Возможно ли в этом случае выполнить заданный объем перевозок? На какой линии выгоднее всего использовать суда вида I?

 

Тип судна	Производительность судов (млн. тонномиль в сутки) на линии			Общее время эксплуатации судов
	1	2	3
I II III	8 6 12	14 15 12	11 13 4	300 300 300
Заданный объём перевозок  (млн. Тонно-миль)	3000	5400	3300

 

Задача 4

Компания "Bermuda Paint" специализируется на производстве технических лаков. Представленная ниже таблица содержит информацию о ценах продажи и соответствующих издержках производства единицы полировочного и матового лаков.

 

Лак	Цена продажи	Издержки производства  1 галлона, ф. ст
	1 галлона, ф. ст.
Матовый	13,0	9,0
Полировочный	16,0	10,0

Для производства 1 галлона матового лака необходимо затратить 6 мин. трудозатрат, а для производства одного галлона полировочного лака — 12 мин. Резерв фонда рабочего времени составляет 400 чел.-ч. в день. Размер ежедневного запаса необходимой химической смеси равен 100 унциям, тогда как ее расход на один галлон матового и полировочного лаков составляет 0,05 и 0,02 унции соответственно. Технологические возможности завода позволяют выпускать не более 3000 галлонов лака в день.

В соответствии с соглашением с  основным оптовым покупателем компания должна поставлять ему 5000 галлонов матового лака и 2500 галлонов полировочного лака за каждую рабочую неделю (состоящую из 5 дней). Кроме того, существует профсоюзное соглашение, в котором оговаривается минимальный объем производства в день, равный 2000 галлонов. Администрации данной компании необходимо определить ежедневные объемы производства каждого вида лаков, которые позволяют получать максимальный общий доход.

Требуется:

а) Определить ежедневный оптимальный план производства и соответствующую ему величину дохода.

б) Для исходной задачи (не учитывающей сверхурочные работы) определить промежуток изменений показателя единичного дохода за 1 галлон полировочного лака, в котором исходное оптимальное решение остается прежним.

 

Задача 5

Найти решение, состоящее в определении  плана изготовления изделий  A, B и C, обеспечивающего максимальный их выпуск, в стоимости выраженной с учётом ограничений на возможное использование сырья трёх видов. Нормы расхода сырья каждого вида на одно изделие, цена одного изделия соответствующего вида, а также имеющегося сырья, приведены в таблице. Можно ли сэкономить сырье не уменьшая общей прибыли? Что произойдет с прибылью, если перед предприятием поставлена задача выпустить не менее пяти изделий вида A?

 

Вид сырья	Нормы затрат (кг) на одно изделие			Общее количество сырья (кг)
	A	B	C
I II III	18 6 5	15 4 3	12 8 3	360 192 180
Цена одного изделия (руб.)	9±1	10±2	16	-

 

Задача 6

Полиграфическая компания выпускает  рекламные издания LinksLetter и Ragged Edge, которые покупатели могут брать в местных магазинах и ресторанах Компания получает доход, продавая место для размещения рекламы в своих изданиях. Стоимость LinksLetter составляет $50 за тысячу экземпляров, а стоимость Ragged Edge — $100 за тысячу экземпляров. Чтобы напечатать тысячу экземпляров LinksLetter требуется один час, а печать тысячи экземпляров Ragged Edge занимает всего полчаса. На следующей неделе ресурс времени печати составит 120 ч. Обе рекламные газеты складываются фальцевальной машиной, ресурс рабочего времени которой составляет 200 ч в неделю, причем она складывает обе газеты с одинаковой скоростью 1000 экземпляров в час. Компания хочет полностью использовать время печатного станка, минимизировав при этом затраты на производство печатной продукции. Определите оптимальный производственный план и его минимальную стоимость.

Предположим, что цели менеджера полиграфической компании изменились. Теперь он решил максимизировать получаемую от публикаций прибыль. Он определил, что прибыль от тысячи экземпляров LinksLetter составляет $25, а от тысячи экземпляров Ragged Edge — $45. Необходимо напечатать не менее 60000 экземпляров LinksLetter и не менее 30000 экземпляров Ragged Edge. Ограничения на ресурс рабочего времени печатного станка и фальцевальной машины остаются прежними. Каким будет оптимальный производственный план? Какие ограничения являются связывающими?

 

Задача 7

Завод может производить пять различных  продуктов в произвольном соотношении. В выпуске каждого продукта принимают участие три станка, как показано в таблице. Все цифры даны в минутах на фунт продукта.

Время работы станка, мин/фунт
Продукт	1	2	3
А	12	8	5
В	7	9	10
С	8	4	7
D	10	0	3
Е	7	11	2

Ресурс рабочего времени каждого  станка составляет 128 ч в неделю. Все продукты конкурентоспособны и все их произведенное количество может быть продано по цене $5, $4, $5, $4 и $4 за фунт продукта А, В, С, D и Е соответственно. Переменные затраты на зарплату составляют $4 в час для станков 1 и 2 и $3 в час для станка 3. Стоимость материалов, затраченных на выпуск каждого фунта продуктов А и С, составляет $2, а продуктов В, D и Е — $1. Руководство хочет максимизировать прибыль компании. Сколько часов отработает каждый станок, и в каких единицах измеряются теневые цены для ограничений, задающих ресурс рабочего времени для станков? Какую цену фирма может позволить себе заплатить за получение дополнительного часа рабочего времени станка 2? На сколько может увеличиться цена продажи продукта А, прежде чем изменится оптимальный производственный план?

 

Задача 8

На ткацкой фабрике для изготовления трёх артикулов ткани используются станки двух типов, пряжа и красители. В таблице указаны производительность станка каждого типа, нормы расхода  пряжи и красителей, цена 1 метра  ткани данного артикула, а также общий фонд рабочего времени станков каждого типа, имеющихся в распоряжении фабрики, фонды пряжи и красителей и ограничения на возможный выпуск тканей данного артикула.

Ресурсы	Нормы затрат на 1 м ткани артикула			Общее количество ресурсов
	1	2	3
Производительность станков (станко-ч): I типа II типа Пряжа (кг) Красители (кг) Цена 1м ткани (руб.) Выпуск ткани (м): Минимальный Максимальный	0,02 0,04 1,0 0,03 5   1000 2000	- 0,03 1,5 0,02 8   2000 9000	0,04 0,01 2,0 0,025 8   2500 4000	200 500 15000 450 -   - -

Составить такой план изготовления тканей, согласно которому будет произведено возможное количество тканей данного артикула, а общая стоимость всех тканей максимальна. Можно ли будет при этом сэкономить ресурсы пряжи и красителей? Будут ли полностью загружены станки?

 

Задача 9

Машиностроительное предприятие  для изготовления четырёх видов  продукции использует токарное, фрезерное, сверлильное, расточное и шлифовальное оборудование, а также комплектующие  изделия.

Кроме того, сборка изделий требует  выполнения определённых сборочно-наладочных работ. Нормы затрат всех видов на изготовление каждого из изделий приведены в таблице. В этой же таблице указаны наличный фонд каждого из ресурсов, прибыль от реализации единицы продукции данного вида, а также ограничения на возможный выпуск продукции 2-го и 3-го вида.

Найти план выпуска продукции, при  котором прибыль от её реализации является максимальной.

 

Ресурсы	Нормы затрат на изготовление одного изделия				Общий объём ресурсов
	1	2	3	4
Производительность оборудования (человек-ч):    Токарного    Фрезерного    Сверлильного    Расточного    Шлифовального Комплектующие изделия (шт) Сборочно-наладочные работы (человек-ч)	550 40 86 160 - 3 4,5	- 30 110 92 158 4 4,5	620 20 150 158 30 3 4,5	- 20 52 128 50 3 4,5	64270 4800 22360 26240 7900 520 720
Прибыль от реализации одного изделия (руб.) Выпуск (шт.):    Минимальный    Максимальный	315   - -	278   40 -	573   - 120	370   - -	-   - -