Классификация задач линейного программирования

     Содержание

     Введение

     Термин линейное программирование появился в Америке в середине 40-х годов (первая американская работа по частной задаче линейного программирования опубликована в 1941 г.). В Советском Союзе исследования в этой области начались ранее. В конце 30-х годов целый ряд существенных результатов по линейному программированию был установлен Л.В. Канторовичем.

     Задача  линейного программирования – это  задача нахождения значений параметров, обеспечивающих экстремум функции  при наличии ограничений на аргументы.

     Задачи  линейного программирования являются самыми простыми и лучше изученными задачами. Для них характерно: показатель эффективности (целевая функция) выражается линейной зависимостью; ограничения  на решения – линейные равенства  или неравенства.

     Трудности решения задач линейного программирования зависят от: вида зависимости, связывающей  целевую функцию с элементами решения; размерности задачи, то есть от количества элементов решения  х1, х2,…, xn; вида и количества ограничений  на элементы решений. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     1. Параметрическое программирование

     ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ [parametrical programming] — раздел математического программирования, изучающий задачи, отличие которых от других задач состоит в следующем. Коэффициенты их целевой функции, или числовые характеристики ограничений, или и те и другие, предполагаются не постоянными величинами (как, напр., в линейном программировании), а функциями, зависящими от некоторыхпараметров. Причем чаще всего эта зависимость носит линейный характер.

     Параметрическое программирование позволяет в ряде случаев приблизить к реальности условия задач линейного программирования. Например, если коэффициенты целевой функции представляют собой цены некоторых продуктов, то вполне естественно бывает предположить, что эти цены не постоянны, а являются функциями параметра времени. Такая зависимость встречается при планировании производства в сельском хозяйстве, где цены на продукцию носят ярко выраженный сезонный характер.

     При оптимизации экономических систем, сочетающей гибкое использование детерминированных моделей со специальными методами учета случайных факторов, параметрическое программирование используется для выявления семействаоптимальных решений (каждое из которых соответствует некоторому сочетанию условий задачи), зависящих от изменения одного или нескольких параметров. Такое семейство оптимальных решений составляет зону неопределенности, анализ которой позволяет отказаться от части вариантов и тем самым упростить решение задачи.

     Важной  областью параметрическое программирование является также анализ устойчивости решений оптимизационных задач. Цель такого анализа состоит в определении интервала (области) значений того или иного параметра, в пределах которого решение остается оптимальным.

     2. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА

     - один из наиболее важных частных  случаев общей задачи линейного программирования. Содержательно транспортная задача формулируется следующим образом.  
Пусть в пунктах A1, А2, . . ., А т производится некоторый однородный продукт, причем объем производства лого продукта в пункте Аi составляет а i единиц, i=1, . . ., т. Произведенный в пунктах производства продукт должен быть доставлен в пункты потребления B1, В2, . . ., В n, причем объем потребления в пункте В j составляет bj единиц продукта. Предполагается, что транспортировка готовой продукции возможна из любого пункта производства в любой пункт потребления и транспортные издержки, приходящиеся на перевозку единицы продукта из пункта Ai в пункт Bj, составляют cij денежных единиц. Задача состоит в организации такого плана перевозок, при к-ром суммарные транспортные издержки были бы минимальными.  
Формально задача ставится следующим образом. Пусть xij - количество продукта, перевозимого из пункта Ai в пункт Bj.Требуется определить совокупность из тп величин х ij, удовлетворяющих условиям

     

     и обращающих в минимум линейную форму

     

     Группа  ограничений (1) связана с тем обстоятельством, что объем вывезенного из каждого  пункта производства продукта в точности равен объему произведенного в этом пункте продукта, а объем ввезенного в пункт потребления продукта в точности соответствует его  потребности. При этих ограничениях необходимым и достаточным условием для разрешимости является выполнение условия баланса

     

     Специфическими  для транспортной задачи являются следующие два обстоятельства: а) каждое из переменных xij входит в два уравнения системы (1); б) все коэффициенты при переменных xij принимают лишь два значения 0 или 1. Условия а) и б) позволили разработать для решения транспортной задачи алгоритмы, существенно более простые, чем симплексный метод, который является одним из основных методов решения задач линейного программирования.  
Наиболее известными из этих алгоритмов являются метод потенциалов и т. н. венгерский метод. Метод потенциалов - это метод последовательного улучшения плана (перевозок) с использованием второй теоремы двойственности для проверки оптимальности [1]. Венгерский метод - это метод последовательного построения допустимого плана, к-рый автоматически оказывается оптимальным. В основе венгерского алгоритма лежит метод чередующихся цепей [2].  
Известны следующие два обобщения классической транспортной задачи, являющиеся отражением встречающихся на практике ситуаций. Открытая модель Т. э.- это транспортная задача с нарушенным условием баланса (2), что означает либо превышение объема производства над объемом потребления, либо наоборот. Такая задача сводится к классическим транспортным задачам путем введения фиктивного пункта производства (или потребления) с мощностью производства (или потребления), равной разности объемов производства и потребления.  
Много индексные транспортные задачи при сохранении общей проблемы минимизации транспортных издержек учитывают неоднородность груза (продуктов производства) и неоднородность транспортных средств.  
За рубежом транспортная задача иногда называется проблемой Хичкока. 

     3. Целочисленное программирование.

     1.1.Основные понятия.           

     При рассмотрении целого ряда задач финансового  менеджмента и бизнеса необходимо учитывать требование целочисленности используемых переменных. Такие задачи называются задачами целочисленного программирования.

     Целочисленным (иногда его называют также дискретным) программированием

     называется  раздел математического программирования, изучающий экстремальные

     задачи, в которых на искомые переменные накладывается условие

     целочисленности, а область допустимых решений  конечна. Огромное количество

     экономических задач носит дискретный, чаще всего  целочисленный характер, что

     связано, как правило с физической неделимостью многих элементов расчета:

     например, нельзя построить два с половиной  завода, купить полтора автомобиля

     и т.д. В ряде случаев такие задачи решаются обычными методами, например,

     симплексным методом, с последующим округлением  до целых чисел. Однако такой

     подход  оправдан, когда отдельная единица  составляет очень малую часть  всего

     объема (например, товарных запасов); в противном  случае он может внести

     значительные  искажения в действительно оптимальное  решение. Поэтому

     разработаны специальные методы решения целочисленных  задач.

     Рекомендации  по формулировке и решению ЦП

         

1. Количество целочисленных переменных уменьшать насколько возможно.
2. Например, целочисленные переменные, значения которых должно быть не менее 20, можно рассматривать как непрерывные.
3. В отличие от общих задач ЛП,добавление новых ограничений особенно включающих целочисленные переменные,обычно уменьшают время решения задач ЦП.  
4. Если нет острой необходимости в нахождении точного оптимального целочисленного решения, отличающегося от непрерывного решения, например, 3%. Тогда реализацию метода ветвей и границ для задачи максимизации можно заканчивать, если отношение разницы      между верхней и нижней границ к верхней границы меньше 0,03.

      

     Метод ветвей и границ можно применять  для решения задач нелинейного

     программирования.

      

      1.2.Метод Гомори                              

     Задача  целочисленного программирования может  быть сформулирована следующим

     образом: найти максимум или минимум функции

                                           (7.1)                                     

     при условиях

     (7.2)

          _Xj > 0,    j = 1, 2, ..., n,  а также при дополнительном условии

         

 

          х_j — целые числа.

     В некоторых случаях условие (7.4) распространяется только на часть переменных,

     такие задачи называются частично целочисленными.

     Для решения задач целочисленного программирования разработаны специальные

     методы. К ним относятся метод отсечений (метод Гомори) и метод ветвей и

     границ.

     В основе метода Гомори заложена идея, состоящая  в том, что сначала решается

     задача  линейного программирования (7.1)—(7.3) без учета условий

     целочисленности. Если полученное таким образом решение целочисленное, то оно

     принимается за оптимальный план задачи (7.I)—(7.4). Если решение

     нецелочисленное, то система ограничений дополняется  условием, которое

     отсекает  от множества планов задачи нецелочисленный  оптимальный план, но при

     этом  сохраняет целочисленные вершины множества планов. Затем решается задача

     линейного программирования с дополнительным условием. Если полученное таким

     образом решение целочисленное, то оно оптимально и для задачи (7.1)—(7.4).

     Если  же и после этого не для всех переменных выполняется условие

     целочисленности, то вводится новое условие-отсечение. Условия-отсечения

     выбираются  таким образом, чтобы за конечное число шагов прийти к

     целочисленному  решению, если оно у данной задачи существует. Один из

     алгоритмов  построения таких условий-отсечений  был предложен Гомори.

     Рассмотрим  указанный алгоритм. Пусть получено решение задачи (7.1)-(7.3) без

     учета целочисленности и пусть в  строке r симплексной таблицы с  оптимальным

     решением  содержится нецелочисленная компонента опорного плана х_r0. 

     В этом случае к условиям (7.1)—(7.3) добавляют условие, порожденное строкой г.

     Для составления этого условия-отсечения  используем г-е уравнение из последней