Вивчення елементів комбінаторики, статистики та теорії ймовірностей у загальноосвітній школі

Експеримент 3.

Задача: побудувати послідовність (комбінацію) з чотирьох фішок, якщо маємо:

1)  дві сині та дві  червоні;

2)  три сині та дві  червоні;

3)  три червоні та  дві сині; і таке інше.

Організація експерименту.

Діти будують послідовності  по черзі. В кінці кожного варіанту гри доцільно підрахувати всі побудовані комбінації, проаналізувати тип отриманої моделі. Можна також будувати послідовності жетонів або фішок за допомогою жеребкування: діти навмання витягають набір жетонів з ящика, потім вони повинні вирішити, чи складають ці жетони нову послідовність.

Мета експерименту.

1.  Створити характерну  модель комбінацій з повторенням.

2.  Систематизувати пошук  нових комбінацій.

3. Спробувати зробити  узагальнюючий висновок про кількість комбінацій в кожному випадку.

Провівши ці та аналогічні експерименти, учні зможуть:

- зрозуміти деякий набір  правил та визначити, чи відповідає йому задана комбінація;

- розрізняти, чи є комбінація  новою, чи повторює стару;

- виявити всі комбінації, які відповідають правилу (умові  задачі);

- намагатися зрозуміти,  чому на цій стадії неможливо  знайти нову комбінацію.

Найбільш складною та цікавою  для учнів на дослідницькому етапі  є так звана «відкрита ситуація»:

Експеримент 4.

Задача: з набору різнокольорових жетонів (наприклад, один синій, два жовтих, три білих) вибрати пару. Скількома способами це можна зробити?

Зауваження. В залежності від обраних правил, відповіддю може бути будь-яке з чисел: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 11, 15, 22, 26.

Організувати проведення експерименту можна в такий спосіб: одна команда формулює нову задачу, друга — шукає її розв'язок. Можна також створювати умову задачі за відомим результатом, попередньо проаналізувавши ситуації (в якому випадку буде більше комбінацій? а коли менше? якому типу відповідає кожна задача?). Базуючись на загальній моделі, можна скласти велику кількість цікавих завдань, залучивши фантазію учнів та вчителя.

Мета експерименту.

1.  Активізувати та  узагальнити набуті раніше знання  учнів.

2.  Закріпити вміння  встановлювати тип комбінаторної задачі та розв'язувати її.

3.  Змінити акцент у  розв'язуванні комбінаторних задач в бік пошуку кількості комбінацій.

4. Зробити узагальнюючі  висновки про структуру кількості комбінацій для різних типів задач (моделей).

Аналогічні експерименти можна проводити, використовуючи букви алфавіту, цифри, олівці, навіть самих учнів, розділяючи їх на групи за певними ознаками.

Проведений таким чином  перший етап дасть учням, крім набутих базових знань та значного розширення математичного світогляду, відчуття «приємного знайомства» з комбінаторикою, як частиною суттєво нового розділу математики.

 

 

 

 

§ 4. Елементарна стохастика

Незважаючи на те, що теорія ймовірностей та математична статистика включені до шкільних програм, дискусійним  залишається питання змісту цих розділів та методики їх викладання.

Головна мета розділу «Елементарна теорія ймовірностей» передбачає:

• сформувати розуміння  випадковості;

• ознайомити учнів з  основними поняттями та ідеями цього  розділу математики, показати його логічну будову, сформувати цілісне  уявлення про нього;

• простежити історичний розвиток теорії ймовірностей;

• допомогти усвідомити, що багато законів природи й суспільства  носять ймовірнісний характер, що багато реальних явищ і процесів можна добре описати ймовірнісними моделями;

• переконати, що теорія ймовірностей має важливе значення для математичної освіти.

Але досягти цього можна  лише базуючись на вивченні певного  навчального матеріалу. Тому наступне запитання, на яке необхідно дати відповідь, стосується змісту розділу  «Елементарна теорія ймвірнотсей”.

Досвід показує, що при  першому ознайомленні з основними поняттями теорії ймовірностей необхідно уникнути двох крайностей: не можна викладати теорію ймовірностей як абстрактну систему, яка відірвана від реальної дійсності, і не можна подавати теорію ймовірностей як систему готових правил, у які залишається лише підставити числові дані.

Тож при першому ознайомленні з основними поняттями теорії ймовірностей необхідно передбачити  розумне поєднання життєвого  досвіду, строгості й доступності.

На наш погляд, при вивченні елементарної теорії ймовірностей доцільно починати вивчати і випадкові величини, ознайомитися з розподілом таких величин та з їхніми числовими характеристиками.

Під стохастикою розуміють два розділи математики: теорію ймовірностей і математичну статистику — це розділи, за допомогою яких можна вивчати випадкові явища. Стохастика виникла в результаті аналізу азартних ігор, переписів населення, питань страхування майна. У XVII ст. цими питаннями цікавилися видатні французькі математики Паскаль і Ферма. Першим великим дослідженням із теорії ймовірностей був трактат Гюйгенса (1657 р.) «Про розрахунки в азартній грі». Та тільки праця Якоба Бернуллі «Ars conjectandi (Мистецтво передбачень)», яка була опублікована в 1713 р. (через 8 років після смерті автора), поклала початок теорії ймовірностей як строгої математичної дисципліни.

Первісним поняттям стохастики є поняття стохастичного експерименту. Це дослід, експеримент, випробування, в широкому розумінні цих слів, результат якого заздалегідь передбачити не можна — він випадковий. Та не всякі експерименти з випадком називають стохастичними, й дати точне означення цього поняття не просто. Одна з основних властивостей стохастичного експерименту полягає в тому, що його можна повторювати багато разів без зміни умов проведення і що при багаторазовому повторенні експерименту наслідки попередніх експериментів не впливають на наслідки наступних експериментів. Наслідки стохастичних експериментів називають випадковими подіями або просто подіями. Найпростішим прикладом стохастичного експерименту є підкидання монети, в якому може відбутися одна з двох подій: випадає герб, випадає цифра.

Розглянемо детальніше приклад  стохастичного експерименту, який розглядав Бернуллі. Нехай в урні сховано 5 тисяч камінців: 3 тисячі білих і 2 тисячі чорних. Але вважатимемо, що нам не відома кількість білих і чорних камінців. Будемо виймати з урни по черзі камінець за камінцем, відмічати їх колір і повертати назад до урни. Підрахуємо, скільки буде вийнято білих камінців і скільки чорних. Виникає питання, чи можемо ми, повторюючи цей дослід багато разів, дізнатися, скільки в урні камінців того чи іншого кольору?

На перший погляд здається, що відповісти на це запитання неможливо. Та насправді якщо випробувань із витягуванням камінців провести досить багато, то виявиться, що частка білих камінців буде приблизно дорівнювати , а чорних дорівнювати   від усієї кількості камінців. Отже, якщо буде відома загальна кількість камінців, то ці частки допоможуть зробити висновок про кількість камінців кожного кольору.

Уважніше проаналізуємо  результати нашого експерименту. Цей  експеримент не простий. Він складається  з простіших експериментів —  одноразового виймання камінця. Такі прості експерименти, з яких складаються складні, часто називають стохастичними випробовуваннями. У нашому випадку в результаті окремого випробовування відбувається одна з двох подій: вийнятий камінець — білий, вийнятий камінець — чорний. Для скорочення подальших записів першу з цих подій позначатимемо літерою А, другу — В.

При проведенні великої кількості  випробувань бачимо, що подія А відбувалася частіше, ніж подія В. Отже, часткою білих камінців (від усіх випробувань) можна оцінити ступінь ймовірності події А. А часткою чорних камінців — ймовірність події В. Якби ми заздалегідь знали, скільки білих камінців сховано в урні, то, природно, за ймовірність події А потрібно було б взяти число , а за ймовірність події В — .

Оцінка ймовірності події  на основі експериментальних даних є однією із задач математичної статистики.

Важливо зазначити, що зі збільшенням  кількості випробувань частка білих камінців (від усіх випробувань) все менше і менше відрізнятиметься від числа , а чорних — від числа . У цьому проявляється дія давно відомого людям закону — закону великих чисел або, інакше, закону стійкості частот.

Можна навести й інші приклади, в яких би ми виявили дію закону великих чисел. Так, якщо багато разів  підкидати новеньку монету, то десь у половині випадків випадає герб, а в інших випадках — цифра. Тому ймовірністю випадання герба вважають число .

Ще одним прикладом  прояву закону великих чисел може бути частка хлопчиків серед новонароджених дітей. Люди давно помітили, що хлопчиків народжується  більше, ніж дівчаток. Їх частка серед новонароджених залежить від країни, регіону, року, та вважається, що в середньому ця частка складає приблизно 51,4 %.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Додаток 1. Урок комбінаторики в школі

Teмa: Комбінаторне правило множення. Перестановки.

Мета: Ознайомити учнів з правилом множення, ввести поняття факторіала та перестановки, показати розв'язування простіших задач на застосування цих понять; формувати математичну культуру; розвивати вміння спілкування в умовах навчальної діяльності; виховувати вміння працювати й колективі, почуття відповідальності за спільну справу, інтерес до розв’язування математичних задач.

Тип: комбінований.

ХІД УРОКУ

I.  Організаційний  момент

II.  Перевірка домашнього завдання

III.  Фронтальне опитування

1) Для вирішення яких  проблем є корисним знання  комбінаторики? Наведіть приклад  відповідної задачі.

2) Які видатні математики  створювали та розвивали комбінаторику?

3)  Наведіть приклади  використання правила суми.

IV. Дидактична гра

Формуються імпровізовані  команди (учні на передніх партах повертаються до тих, хто сидить за ними, команда складається з 4—6 чоловік).

— «Ви — експертна  група банку, який погодився фінансувати проект благодійного фонду. Благодійний фонд подав 3 проекти: «Обдарована дитина—2003», «Допомога в реконструкції храму», «Реконструкція пам'ятки культури». Ці проекти були захищені на засіданні правління банку. Усього членів банку — 16. За перший проект проголосувало 8, за другий — 9, за третій — 9, за перший та другий — 5, за другий та третій — 3, за перший та третій — 4. Ви як експерти повинні з'ясувати, скільки членів проголосувало тільки за один проект і за який. Результати будуть представлені президентові банку, який і вирішить, який проект фінансувати.

Порада експертам: щоб  робота була виконана швидко, розподіліть обов'язки. Тобто є експерти, які розробляють математичну модель задачі, а є експерти, які розробляють схематичну модель задачі».

Розв'язання. Нехай U— множина всіх членів правління банку, А — множина членів правління банку, які проголосували за перший проект, В — множина членів правління банку, які проголосували за другий проект, С — множина членів правління банку, які проголосували за третій проект.

n(А) = 8,  n(В) = 9,  n(С) = 9,  n(U)= 16,

n(А В) = 5, n(А C) = 4, n(В C) = 3.

n(U) - n(В) - n(С) + n(В C) = 16 - 9 -9 + 3=1 чоловік проголосував тільки за перший проект.

n(U) - n(А) - n(С) + n(А C) = 16 - 8 - 9 + 4 = 3 чоловіки проголосували тільки за другий проект.

n(U) - n(А) - n(В) + n(А В) = 16 - 8 - 9 + 5 = 4 чоловіки проголосували тільки за третій проект (мал. 1).

 

 

 

Розв'язання захищають представники команди, що першою розв'яже задачу, представники інших команд виступають у ролі опонентів. Члени команди, що першою правильно розв’яже задачу, отримують 10 балів, другою — 9 балів, третьою — 8 балів.

V. Зміст нового матеріалу

1. Правило множення.

Вправа 1. З міста А до В ведуть п'ять доріг, з міста В до С — три. Скільки доріг, які проходять через В, ведуть з А до С?

Учитель робить схематичний  малюнок (мал. 2) та коментує розв'язання.

Розв'язання. Як видно на малюнка, з А до В можна обрати будь-яку з 5 доріг, тобто є 5 можливих способів, а з В до С можна вибрати дорогу трьома способами, тобто всього маємо 5 х 3 = 15 можливих способів, щоб потрапити з А до С, проходячи через В.

 

 

 

 

Вправа 2. Скільки двоцифрових чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3 так, щоб:

а) цифри в числі не повторювалися;

б) цифри в числі могли  повторюватися. Учитель розв'язує на дошці та коментує пункт

а) за допомогою  дерева логічних можливостей. Для розв'язання пункту б) можна викликати учня.

Розв'язання. а) На перше місце можна поставити будь-яку з трьох цифр, а на друге — з двох цифр, що залишаться. Будуємо дерево логічних можливостей. З нього видно, що таких чисел буде 6 (мал. 3).

 

б) Розв'язується аналогічно (мал. 4).

 

 

Вправа 3. У класі з 28 учнів треба обрати старосту та заступника старости. Скількома способами це можна зробити?

Учні розв'язують усно за допомогою питань учителя:

1)  Скількома способами  можна обрати старосту?