Вивчення елементів комбінаторики, статистики та теорії ймовірностей у загальноосвітній школі

Міністерство освіти, науки, молоді та спорту України

Головне управління освіти

Чернівецької  обласної державної адміністрації

Інститут післядипломної педагогічної освіти Чернівецької області

 

 

 

 

 

 

 «Вивчення елементів комбінаторики, статистики та теорії ймовірностей у загальноосвітній школі»

(індивідуальний творчий проект)

 

 

 

 

 

 

Виконаний слухачем курсів

підвищення кваліфікації

вчителів математики

Капра Анжела Іллівна

ІІ категорія

Герцаївська ЗОШ І-ІІІст.

 

 

 

 

 

 

 

 

м. Чернівці

(10.01.2012-20.01.2012; 13.02.2010-24.02.2012)

Зміст

Вступ……………………………………................................................................3

§ 1. Заради чого необхідно викладати теорію ймовірностей?............................4

§ 2. Експериментальна комбінаторика для молодших школярів.......................6

§ 3. Елементарна стохастика................................................................................13

Доданок 1. Урок комбінаторики в школі…………………………………….17

Доданок 2.Урок статистики в  школі………………........................................27

Література..............................................................................................................33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВСТУП

Завдання математики —  не навчання лічби,

а навчання прийомів

людського мислення під час  лічби.

Л. Толстой 

Поміркуємо над питаннями, що стосуються цілей, змісту та принципів шкільної математичної освіти. При цьому будемо виходити з положення про абсолютну необхідність включення математики до переліку навчальних дисциплін усіх ступенів середньої школи. Справа полягає не тільки в тому, що людина в сучасному світі має орієнтуватися у кількісних і просторових співвідношеннях, виконувати елементарні арифметичні обчислення, а, й у тому, що вивчення насамперед математики формує культуру логічного мислення.

Фахівці з методики викладання математики часто ставлять запитання про те, які саме розділи математики необхідні у тій чи іншій професії. У наш час стрімкого розвитку науки й техніки, нових технологій, коли деякі професії відмирають, а на їх місці виникають нові, відповісти на це запитання досить важко. Враховуючи широкий спектр професій, ще важче передбачити майбутні професії учнів конкретного навчального закладу. Програми мають забезпечити базову математичну підготовку на випадки різних професій, у переліку яких має бути й професія математика.

Розвиток теорії ймовірностей як науки і розширення сфери її застосування чинить вплив на формування ймовірнісно-статистичної лінії при викладанні багатьох предметів, зокрема математики, в загальноосвітній школі вже протягом понад століття. Так, елементи теорії ймовірностей і статистики викладалися в школах ряду країн вже в XIX ст. і на початок XXст.

§ 1. Заради чого необхідно викладати теорію ймовірностей?

На перший погляд здається, що точну відповідь на це питання можна дати лише в тому випадку, якщо відомо, в якій формі і на якому рівні здійснюється викладання теорії ймовірностей. Тим паче, деякі загальні твердження на цю тему можливо висловити без яких би там не було уточнюючих припущень. Мається на увазі головні цілі викладання теорії ймовірностей. Саме їх, на мою думку, повинен ставити перед собою кожний, хто викладає будь-який розділ теорії ймовірностей, хоча наголоси, зрозуміло, можуть варіюватися залежно від типу навчального закладу. Отже, я вважаю, що при виборі головних цілей будь-якого курсу теорії ймовірностей належить керуватися такими мотивами:

A)   Теорію ймовірностей  необхідно викладати тому, що  вона відіграє важливу роль  у розвитку мислення учнів.

Б) Теорію ймовірностей необхідно викладати тому, що її висновки знаходять застосування у повсякденному житті, науці, техніці тощо.

B) Теорію ймовірностей  необхідно викладати тому, що вона має важливе, ні з чим незрівнянне значення для математичної освіти.

Прокоментуємо коротко ці аргументи.

А) Ознайомлення з основними  поняттями теорії ймовірностей необхідне  для того, щоб ми могли пізнавати  оточуючий світ і створювати одну з науково обґрунтованих картин цього світу. Викладання будь-якого розділу математики благодатно позначається на розумовому розвитку учнів, оскільки прищеплює їм навички ясного логічного мислення, що оперує чітко визначеними поняттями. Все сказане про викладання будь-якого розділу математики в повному обсязі стосується і викладання теорії ймовірностей, але навчання «законам випадку» грає дещо більшу роль і виходить за межі звичайного. Слухаючи курс теорії ймовірностей, учень пізнає, як застосовувати прийоми логічного мислення в тих випадках, коли необхідно мати справу з невизначеністю (а такі випадки виникають на практиці).

Вивчення теорії ймовірностей належним чином впливає і на характер учнів, наприклад, розвиває хоробрість, оскільки дає змогу зрозуміти, що при певних обставинах невдачі можна віднести до випадковостей і, отже, зазнавши невдачі, зовсім не варто відмовлятися від боротьби за досягнення поставленої мети. Викладання теорії ймовірностей може принести безперечну користь, оскільки дозволяє остаточно порвати з пережитками магічного мислення кам'яного століття. Вивчаючи теорію ймовірностей, люди стають більш доброзичливими і толерантними до оточуючих, і, отже, легше вписуються в життя суспільства.

Б) У повсякденному житті  нам постійно доводиться зустрічатися з випадковістю, і теорія ймовірностей вчить нас, як діяти раціонально з урахуванням ризику, пов'язаного з прийняттям окремих рішень. Гарним прикладом застосування теорії ймовірностей у повсякденному житті може слугувати вибір найбільш доцільної форми страхування. При плануванні сімейного бюджету або подорожі за кордон часто доводиться оцінювати витрати, які, у певній мірі, мають випадковий характер. Ці приклади показують, що ознайомлення на тому чи іншому рівні із законами випадку необхідні кожному.

Застосування теорії ймовірностей у науці, техніці, економіці тощо набуває раз у раз зростаючого значення. Саме тому у все більшого числа людей в процесі роботи виникає необхідність у вивченні теорії ймовірностей. Зрозуміло, обсяг курсу теорії ймовірностей залежить від типу навчального закладу. Але не треба забувати и про інше: сучасна освічена людина, незалежно від професії і роду діяльності, повинна мати принаймні загальне уявлення про те, що таке атомна енергія, радіоактивність, генетика і т. ін. Перелік необхідних знань включає в себе і ознайомлення, нехай навіть суто поверхове, з найпростішими поняттями теорії ймовірностей. Нині, коли прогноз погоди містить повідомлення про ймовірність дощу завтра, кожен повинен знати, що власне це означає.

В) Вивчення теорії ймовірностей сприяє кращому розумінню взаємозв'язків між дійсністю і математикою, математичних моделей дійсності. Якщо в курсі математики теорія ймовірностей обминається повною мовчанкою, то в учнів складається невірне уявлення про істинний характер математики та її застосування. Люди, не знайомі з теорією ймовірностей, поділяють помилкову думку, нібито математичні методи можна застосовувати лише в тих випадках, коли йдеться про прості й точні залежності між величинами, які можна точно виміряти і обчислити. Нерідко можна почути і твердження, наче математичні методи непридатні для вивчення і опису тих або інших явищ, через те що ті «дуже складні». Цілком очевидно, що викладання теорії ймовірностей спрощується, якщо учні заздалегідь ознайомлені з теорією множин. З іншого боку, вивчення теорії ймовірностей дає чудову нагоду для більш ґрунтовного і глибокого ознайомлення як з теорією множин.

 

§ 3.Експериментальна комбінаторика для молодших школярів

З цим важко не погодитись, адже навіть на рівні середніх школярів вивчення ймовірності вносить багато свіжих та плідних ідей. Не маючи ймовірнісних понять, діти мають деформовану уяву про математику, вважаючи, що між «істинним» та «хибним» більше нічого немає! Але ж пізніше вони обов'язково виявляють існування цілої області математики, яка базується на понятті «Може бути!». Саме тут математика торкається повсякденного життя набагато тісніше, ніж цьому традиційно вчать у школі, і саме тому більшість фахівців у галузі шкільної математики вважають, що вивчення елементів комбінаторики, теорії ймовірностей та математичної статистики є дуже доцільним. Звичайно, це питання досить складне і не може бути вирішене одностайно та миттєво, адже ймовірність — розділ вищої математики і доступність її для школярів — питання сумнівне. Тут слід звернутися до світового досвіду, і неможливе стане ймовірним! Все, що необхідно зробити — це майстерно пов'язати теорію ймовірності зі світом дитини... Насправді, зробити це неважко, адже навкруги нас легко знайти безліч ситуацій, які можуть послужити поштовхом до глибоких міркувань, досліджень, висновків. Мета вчителя — використати ці ситуації для навчання, і, зрозумівши необхідність та можливість вивчення ймовірності, продумати кожен крок цього шляху.

Знайомство з теорією ймовірностей починається з вивчення комбінаторики. Комбінаторика — важливий інструмент для підготовки до формування ймовірнісного мислення учня. Вона не потребує ніяких попередніх знань і може бути легко пов'язана з цікавими заняттями.

Перше знайомство з комбінаторикою буває для учнів досить складним та неприродним, якщо воно починається з введення одночасно багатьох далеко не елементарних понять і визначень, базується на теорії множин, розуміння якої традиційно складне навіть для старшокласників.

Вивчення комбінаторики можна розбити на етапи:

I етап: експеримент — дослідження та узагальнення отриманих результатів. Побудова та визначення різних комбінаторних моделей відповідно до змісту задачі.

II етап: розв'язання найпростіших задач дедуктивним методом. Вивчення принципів додавання та множення. Означення основних понять комбінаторики.

III етап:  вивчення основних формул комбінаторики та   застосування їх до розв'язання задач різних рівнів складності.

Почнемо з першого, експериментально-дослідницького етапу.

В зв'язку з можливістю експерименту комбінаторика займає, безумовно, привілейоване становище в математичній освіті. Але для того, щоб дати поштовх дитині до певних ідей, потрібні специфічні засоби. По-перше, необхідно добрати цікаві задачі експериментального характеру; по-друге, ввести елемент змагання. Перші заняття повинні бути живими і збуджувати природну цікавість дитини, не відриваючи її від дійсності.

Вивчення комбінаторних  задач доцільно розпочинати з  введення загального поняття комбінаторної  моделі. На цьому етапі, звичайно, слід уникати означень та формулювань; дітям досить зрозуміти, що модель — це «переклад» задачі з літературної мови на мову комбінаторних понять.

Метою вчителя є ознайомити учнів з тим, що комбінаторні моделі розрізняються за такими типами :

1.   Розміщення без  повторень (зокрема перестановки).

2. Розміщення з повтореннями.

3.  Комбінації (сполучення) без повторень.

4. Комбінації з повтореннями.

Моделі можна наповнити  життям, конкретизувавши їх. Для цього можна використати фішки, жетони, бусинки, букви алфавіту, цифри, різнокольорові малюнки, точки, тощо.

Експеримент 1.

Задача: побудувати якомога  більше послідовностей (наборів) трьох  точок, використовуючи три кольори: червоний, жовтий, синій. Додаткова  умова: в кожній послідовності повинно бути використано

1)  всі три кольори;

2)  не всі три кольори;

3)  лише один колір;

4)  не більше двох  кольорів;

5)  всі три кольори,  але починаючи з червоного;

6)  не обов'язково всі  кольори, але другий жовтий; і  т.д.

Проводити цей експеримент  пропонується у вигляді командної  гри. Для нанесення точок можна  використовувати спеціальні невеликі дошки, або аркуші паперу. Виграє та команда, яка побудує найбільшу кількість послідовностей, задовольняючих умові (а краще — всі), швидше за інших. Результат бажано записувати на дошці і зберігати до кінця гри.

Мета проведення експерименту:

1.  Організувати систематичний  пошук елементів певної моделі.

2.  Спробувати знайти  всі елементи моделі.

3.   Навчитися групувати  елементи загальної моделі за певними характеристиками.

4.  Перше знайомство  з поняттям «відношення порядку».

5.   Спробувати визначити  тип кожної моделі.

6.   Проаналізувати результат експерименту, порівнюючи кількість побудованих послідовностей для кожної моделі та спробувати зробити висновки.

Експеримент 2.

Задача: скласти всі можливі  послідовності з жетонів трьох кольорів за таких умов:

Використано три         жетони	Порядок кольорів           враховуємо	Кольори можуть повторюватись
Використано два        жетони	Порядок кольорів не       враховуємо	Кольори не можуть повторюватись

 

Ця загальна схема дає  можливість сформулювати вісім задач різних типів.

Мета проведення експерименту:

1.   Навчитися чітко  визначати тип моделі за   умовою задачі.

2.   Навчитися  визначати   всю множину розв'язків задачі.

3. Порівняти результати (кількість послідовностей) для кожної моделі та зробити висновки. Якій моделі відповідає найбільша кількість послідовностей? Чому?

На цьому етапі вже  можна ввести поняття комбінації елементів, замінюючи ним поняття «послідовність» або «набір» та «кількість комбінацій». Дуже швидко перерахування кількості можливих комбінацій стане задачею більш важливою, ніж ефективна побудова самих комбінацій.

Іншим типом експерименту є гра з фішками двох кольорів.