Степенные ряды

       

       

       

       

       

       

Положим во всех этих выражениях . Тогда получим

        ; ; ; ; ;

Отсюда  получаем

        ; ; ; ;

и поэтому  исходный полином может быть записан  в виде

        =

аналогичным образом можно получить

        =

Эта формула  носит название формулы Тейлора[5].

При х₀=0, получаем ряд Маклорена, рассмотрим это в следующей теореме.

       ТЕОРЕМА 1. Если функция f{x) на интервале (— R, R) разлагается в степенной ряд

       f (x)=а₀+ а₁х+ а₂х²+ а₃ х³+…+а_п х^п+…    (1)

то это  разложение единственно.

       ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.  По условию ряд (1) сходится на интервале

(-R, R) и функция f (x) — его сумма. Следовательно, ряд (1) можно почленно дифференцировать на интервале (—R, R) любое число раз. Дифференцируя, получаем

……………………………………….

……………………………………….

       Полагая в полученных равенствах и в равенстве (1) х=0, имеем

         

откуда  находим

…,      (2) 

       Таким образом, все коэффициенты ряда (1) определяются единственным образом формулами (2), что и доказывает теорему.

       Подставляя  полученные выражения коэффициентов в равенство (1), получаем

 

       Итак, если функция  f(х) разлагается в степенной ряд, то этот ряд имеет вид

                            (3) 

       Ряд (3) называется рядом Маклорена для функции f (x).

       Разложение  функции   f(x)= e^х. 

       Имеем:   f’(х)= f " (х) = ...= f^(п) (х) = е^х,   откуда   при   х = 0 получаем:   f (0) = f’(0)= f " (0) = ...= f^(п) (0) =1.   По   формуле (3)   для   функции е^х составим ряд Маклорена:

       

             (4)

       Найдем  интервал сходимости ряда (4)

       

Следовательно, ряд абсолютно сходится на всей числовой прямой.

       Докажем теперь, что функция е^х - сумма ряда (4).

       Отметим, что в силу необходимого условия  сходимости ряда для любого х справедливо равенство

       

                 (5)

       Так как f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)=e ^ξ, то

       

где  ξ=θx, 0 < θ < 1. Отсюда, учитывая, что e ^ξ < e^|х|, получаем

Так как  в силу (5)

, то и 

       Поэтому, переходя к пределу в последнем  неравенстве при п®¥, получаем, что при любом х, и, следовательно, функция е^х является суммой ряда (4).

       Таким образом, при любом х имеет место разложение

       

       Разложение  функции f(х)= sin х.

       Имеем: f (x)=cos x= , f " (х) = - sin х = , ..., f^{n)(x) = = , полагая х=0, получаем: f (0) = 0, f '(0) = 1, f "(0) = 0, f"'(0) = -1, f ⁽⁴⁾(0) = 0,… Составим по формуле (1) для функции sin x ряд Маклорена:

       

       Легко проверить, что полученный ряд сходится абсолютно на всей числовой прямой. Исследуем остаточный член

       

       Следовательно,

при любом х. А это означает, что функция sin x является суммой построенного ряда, т. е. имеет место разложение

       

       Разложение  функции f(x) = cos x.

       Аналогично  предыдущему, можно получить разложение функции

cos x в ряд Маклорена, справедливое при любом х. Однако еще проще разложение cos х получается почленным дифферецированием ряда для sin x:

откуда

       Кроме рассмотренных функций е^х sin x, cos x в ряд Маклорена могут быть разложены и многие другие функции[1].  
 

6. Приложение  рядов к приближенным вычислениям

       Простейшая  элементарная функция — это многочлен

       Р_п(х) = а₀ + а_хх + ... + а_пх^п.

       Вычисление  этой функции при х = х₀ сводится к производству конечного числа сложений и умножений. Значение этой функции в точке х₀ может быть легко найдено с любой степенью точности. Если использовать ЭВМ (электронную вычислительную машину), то это можно сделать весьма быстро.

       Погрешность, которую мы допускаем при замене функции (суммы ряда), на многочлен Тейлора, можно узнать, оценивая остаточный член ряда.

       Рассмотрим  степенной ряд

       f(x) = с₀ + с₁х + с₂х² + ...     (-R < х < R)         (1)

       с интервалом сходимости (-R, R). Строго внутри интервала сходимости он сходится к f(х) со скоростью убывающей геометрической прогрессии.

       В самом деле, пусть q₁ и q — произвольные числа, удовлетворяющие неравенствам 0 < q_l <q < R. Тогда ряд (1) сходится в точке х = q его члены образуют ограниченную последовательность . Поэтому для всех х

       

,

       где .

       Мы  видим, что степенным рядом выгодно  пользоваться для вычисления значений функции f(х) в точках, лежащих строго внутри интервала сходимости.

       Если  же точка x есть один из концов интервала (-R, R), то в этой точке, если ряд и сходится, то медленнее, чем убывающая геометрическая прогрессия. Обычно настолько медленнее, что нецелесообразно пользоваться непосредственно степенным рядом (1) для вычисления значения f в указанной концевой точке. Проиллюстрируем эти факты на конкретных примерах.

       Начнем  с вычисления числа π.

       

      (-1<x<1)          

       Рассмотрим  тождество

       

       Интегрируя  это тождество на [0,1], имеем

       

где

.

Легко видеть, что

 п→∞.

       Откуда  следует, что

       

, п→∞,

т.е. arctg 1 является суммой ряда 

или

                (2)

       Мы  видим, что этот ряд сходится медленнее  любой убывающей геометрической прогрессии.

       Для того чтобы вычислить число π с помощью ряда (2), с точностью до 10-6, надо взять столько слагаемых ряда (2), чтобы остаток был меньше 10-6. Так как ряд (2) есть ряд Лейбница, то его остаток меньше модуля первого его члена

       

.

       Отсюда  видно, что при п = 2·10⁶, . Таким образом, нужно взять два миллиона слагаемых ряда (2), чтобы гарантировать значение числа π с требуемой точностью.

       Вручную такую работу выполнять бессмысленно. На ЭВМ эту работу можно выполнить, но и на ЭВМ эта работа будет непроизводительной, если мы будем пользоваться рядом (2).

       Укажем  ряд, более быстро сходящийся к числу  π. С этой целью рассмотрим число α такое, что

       

Тогда

       Отсюда

       

       Используя  теперь ряд (2), получаем

       

       Последние два ряда сходятся довольно быстро (быстрее убывающей геометрической прогрессии).

       Легко проверить, что остаток первого  ряда уже при п=4 меньше 10^-6. Поэтому, вычисляя четыре слагаемых первого ряда и два слагаемых второго ряда (с точностью до седьмого знака), в результате получим

       π=3,141592,

причем  первые пять десятичных знаков точные.

       Вычисление  логарифма

       Ряд Тейлора для функции у=ln(1+ х) можно получить, интегрируя тождество

       

                          (3)

       При х=1 данный ряд сходится и притом к In 2. В самом деле, интегрируя тождество

       

по [0,1], получаем

где

             п→∞.

       Заменяя в (3) х на – х , получаем 

       

                         (4)

       Вычитая (4) из (3), имеем

       

                            (5)