Содержание

Введение

       Решение задачи, представленной в математических терминах, например, в виде комбинации различных функций, их производных  и интегралов, нужно уметь “довести до числа”, которое чаще всего и служит окончательным ответом. Для этого в различных разделах математики выработаны различные методы.

       Раздел  математики, позволяющий решить любую  корректно поставленную задачу с  достаточной для практического  использования точностью, называется теорией рядов.

       Даже  если некоторые тонкие понятия математического  анализа появились вне связи  с теорией рядов, они немедленно применялись к рядам, которые  служили как бы инструментом для  испытания значимости этих понятий.

       Целью данной работы ознакомиться с основными теоретическими сведениями о теории рядов, рассмотреть вопросы использования рядов для приближенного вычисления. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Ряд, его сходимость и  расходимость, необходимый  признак сходимости, свойства рядов

1. Ряд, его сходимость и  расходимость

       Пусть дана числовая последовательность а₁, а₂, а₃,…,а_п,.. Выражение вида

                                      а₁+ а₂+ а₃+…+а_п+...=         (1)

называется  числовым рядом или просто рядом.

       Числа а₁, а₂,…,а_п,.. называются членами ряда, член а_п с произвольным номером – общим членом ряда.

       Суммы конечного числа членов ряда

       S₁=a₁, S₂=a₁+a₂, S₃=a₁+a₂+a₃,…, S_n= a₁+a₂+a₃+…+a_n,…

Называются  частичными суммами ряда (1). Так как  число членов ряда бесконечно, то частичные  суммы ряда образуют бесконечную последовательность частичных сумм

                                       S₁, S₂, S₃,…,  S_n,…         (2)

       Ряд (1) называется сходящимся, если последовательность его частичным сумм (2) сходится к  какому – нибудь числу S, которое в этом случае называется суммой ряда (1). Символически это записывается так:

                                   S= a₁+a₂+a₃+…+a_n+… или   .

       Если  же последовательность частичных сумм (2) расходится, то ряд (1) называется расходящимся.[1]

       Часто нумерацию членов ряда производят не натуральными числами, а целыми, начиная с нуля, т. е. числами 0, 1, 2,…, а иногда – начиная с некоторого целого п₀, т. е. числами п₀, п₀+1,…

       Пример 1. Примером сходящегося ряда является ряд

       

,

       Членами которого являются элементы геометрической прогрессии {qⁿ}, qÎС, çqï< 1. В самом деле, в этом случае

        , п=0, 1, 2,…,

и потому

       

.

Следовательно, ряд  при çqï< 1 сходится и

.

       Пример 2. Примером расходящегося ряда является ряд, все члены которого равны единице: а_п=1, п=1, 2,…В этом случае поэтому

       

.[2]

2. Необходимый признак сходимости рядов

       При рассмотрение рядов возникают две  задачи:

• исследовать ряд на сходимость;
• зная, что ряд сходится, найти его сумму.

Будем решать в основном первую задачу, имеющую  теоретический характер. Приведем необходимое  условие сходимости рядов.

ТЕОРЕМА. Если ряд  сходится, то его общий член стремится к нулю, т. е. .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По условию ряд  сходится. Обозначим через S его сумму. Рассмотрим частичные суммы ряда  S_n= a₁+a₂+…+а_п-1+a_n и S_n-1= a₁+a₂+…+а_п-1. Отсюда a_n= S_n - S_n-1. Так как S_n®S и S_n-1®S при п®¥, то

.

       Условие является необходимым, но не достаточным условием сходимости ряда.

       Пример 3.  Рассмотрим ряд

       

Который называют гармоническим рядом. Очевидно, что для гармонического ряда выполнено необходимое условие сходимости, так как . Докажем, что этот ряд расходится. Действительно, если бы этот ряд сходился, то, обозначая его сумму через S, мы бы имели

.

Но 

,

т. е. Отсюда следует, что равенство невозможно, т .е. гармонический ряд расходится.

       Таким образом, если общий член ряда стремится  к нулю, то еще нельзя сделать  вывод о сходимости ряда. Необходимо дополнительное исследование, которое может быть проведено с помощью достаточных условий (признаков) сходимости ряда.

       Если  же для некоторого ряда его общий  член не стремится к нулю, то теорема  позволяет сразу сказать, что  такой ряд расходится. [1]

3. Свойства  рядов

ТЕОРЕМА 1. Если ряды и сходятся и их суммы соответственно равны S и σ, то и ряд сходится и его сумма равна S ± σ.[1]

       Эта теорема означает, что сходящиеся ряды «можно складывать и вычитать почленно» (п – й член с п – м), «можно» в том смысле, что справедливо равенство

. [2]

       ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть S_п и σ_п – частичные суммы рядов и , а t_п – частичная сумма ряда . Тогда

       t_п=(а₁±b₁)+ (а₂±b₂)+...+ (а_n±b_n)=

       =(a₁+ a₂+…+ a_n)± (b₁+ b₂+…+ b_n)= S_п ± σ_п.

       Отсюда, переходя к пределу при п®¥, получаем

       

,

т. е. последовательность частичных сумм {t_п } ряда сходится к

S ± σ. Следовательно, = S ± σ.[1]

ТЕОРЕМА 2. Если ряд  сходится и его сумма равна S, то и ряд , где с – некоторое число, также сходится, и его сумма равна с S. [1]

       Эта теорема означает, что числовой множитель «можно выносить за скобку» и в случае бесконечного множества слагаемых, если они образуют сходящийся ряд. «Можно» в том смысле, что справедливо равенство:

       

=с .[2]

       ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть S_п – частичная сумма ряда , а s_п – частичная сумма ряда . Тогда

       s_п=са₁+са₂+са₃+…+са_п=с(а₁+а₂+а₃+…+а_п)=с S_п.

Отсюда, переходя к пределу при п®¥, получаем

,

т. е. последовательность частичных сумм {s_п } ряда , сходится к сS. Следовательно, = сS. [1]

ТЕОРЕМА 3. Если сходится ряд

                       (3)

       то  сходится и ряд

                                                               (4)

       и обратно, если сходится ряд (4), то сходится и ряд (3).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть ряд (3) сходится и имеет сумму S,   т.   е.  .   Обозначим   через   S_k   сумму   отброшенных членов ряда (3), а через s_п-к сумму n – k первых членов ряда (4). Тогда

       S_n=S_k+ s_п-к ,                                      (5)

где S_к — некоторое число, не зависящее от п. Из равенства (5) следует

       

т.  е.  последовательность частичных сумм {s_п-к }   ряда   (4)   имеет предел, что означает сходимость ряда (4).

       Пусть теперь ряд (4) сходится и имеет сумму s, т. е. . Тогда из (5) следует

       

что означает сходимость ряда (3). [1]

       Из  этой теоремы следует, что отбрасывание или добавление конечного числа членов к данному ряду не влияет на его сходимость. [2] 
 
 
 

2. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся  рядов

       Ряды  с неположительными членами отличаются от соответствующих рядов с неотрицательными членами только множителем – 1. Перейдем теперь к рассмотрению знакочередующихся рядов, члены которых имеют чередующиеся знаки. Для удобства будем считать, что первый член такого ряда положителен. Тогда знакочередующийся ряд можно записать в виде

       а₁-а₂+а₃-а₄+…+(-1)^п+1а_п+…,                         (1)

где а_п>0.

       Для знакочередующихся рядов имеет  место следующий очень простой  достаточный признак сходимости – признак Лейбница.