Степенные ряды

ТЕОРЕМА. Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда (1) монотонно убывают: а₁>а₂>а₃>… и общий член ряда стремится к нулю: , то ряд сходится.

       ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть дан ряд (3) и пусть а_п>а_п+1 и а_п®¥  при п®¥.

       Рассмотрим  частичную сумму ряда с четным числом членов

       S_2n= а₁ - а₂+а₃ - а₄+…+ а_2n-1 - а_2n= (а₁ - а₂)+(а₃ - а₄)+…+( а_2n-1 - а_2n).

Все разности в скобках в силу первого условия положительны, поэтому последовательность частичных сумм {S_п } является возрастающей. Докажем, что она ограничена. Для этого представим S_2n в виде

S_2n= а₁ – [(а₂ - а₃)+ ( а₄ – а₅)+ …+( а_2n-2 - а_2n-1)+ а_2n].

Отсюда  следует, что S_2n< а₁ для любого п, т. е. {S_2п} ограничена.

       Итак, последовательность {S_2п} возрастающая и ограниченная, следовательно, она имеет предел

       Покажем теперь, что и последовательность частичных сумм нечетного числа  членов сходится к тому же пределу  S. Действительно, S_2п+1= S_2п+ а_2n+1. Переходя в этом равенстве к пределу при п®¥ и используя второе условие (а_п®¥  при п®¥), получаем

       

.

       Таким образом, последовательность частичных  сумм {S_п} ряда (1) сходится к пределу S. Это и означает, что ряд (1) сходится. [6]

         Пример 4. Ряд сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница:

Заметим, что этот ряд отличается от гармонического ряда только знаками четных членов. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Признаки  сходимости рядов  с положительными числами

       Рассмотрим  ряды, все члены которых - неотрицательные действительные числа.

       ЛЕММА 1. Пусть все члены ряда а₁+ а₂+ а₃+…+а_п+...=    неотрицательны.

       а_п ³ 0,  п = 1, 2.....

       Для того чтобы этот ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы существовала хотя бы одна сходящаяся подпоследовательность последовательности его частичных сумм.

       Действительно, из условии а_п ³ 0,  п = 1, 2..... следует, что

       

,

       т. е. последовательность частичных сумм {S_n} рассматриваемого ряда является возрастающей. Монотонная же последовательность сходится в том и только в том случае, когда сходится хотя бы одна ее подпоследовательность. □

       ЛЕММА 2. Для того чтобы ряд а₁+ а₂+ а₃+…+а_п+...= с неотрицательными членами сходился, необходимо, чтобы последовательность его частичных сумм была ограниченной сверху, и достаточно, чтобы была ограниченной, сверху хотя бы одна подпоследовательность {S_nκ} последовательности {S_n} его частичных сумм, причем если

       

,

то s является суммой ряда а₁+ а₂+ а₃+…+а_п+...= .

       В самом деле, сходимость ряда означает сходимость последовательности его частичных сумм, а всякая сходящаяся последовательность ограничена, в частности ограничена сверху. Таким образом, первая часть леммы справедлива и без предположения неотрицательности членов ряда.

       Однако  в общем случае условие ограниченности даже всех частичных сумм ряда (а  не только некоторой их подпоследовательности) не является достаточным для сходимости ряда. Поэтому условие неотрицательности членов ряда существенно для справедливости второй части леммы 2. Докажем ее.

       Из  неотрицательности членов ряда, как  мы убедились при доказательстве предыдущей леммы, следует,  что последовательность его частичных сумм – возрастающая. Поэтому, если существует ограниченная сверху подпоследовательность {S_nκ} последовательности частичных сумм {S_n} рассматриваемого ряда, то она тоже возрастающая (как всякая подпоследовательность возрастающей последовательности) и, следовательно, сходится, причем

       

.

       Согласно  предыдущей лемме, из сходимости подпоследовательности частичных сумм {S_nκ} следует сходимость ряда, т. е. существование конечного предела   ,  а так как предел сходящейся последовательности совпадает с пределом любой ее подпоследовательности, то

       

       Из  леммы 2 следует, что если ряд с  неотрицательными членами расходится, то последовательность его частичных сумм не ограничена сверху и в силу ее монотонности  . Поэтому для расходящихся рядов с неотрицательными членами, пишут   [2].

       Перейдем  теперь к рассмотрению некоторых  достаточных условий сходимости рядов с неотрицательными членами. Рассмотрим теорему, которая будет использована в последующих рассуждениях.

       ТЕОРЕМА 1.  Для того  чтобы ряд с неотрицательными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм этого ряда была ограничена.

       Достаточные условия сходимости ряда. Установим  ряд признаков, позволяющих сделать вывод о сходимости (расходимости) рассматриваемого ряда.

       Признак   сравнения.

       ТЕОРЕМА 2.   Пусть даны  два ряда  с неотрицательными членами    и    и для всех  п   выполняется неравенство a_{n £} b_n.  Тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда   следует расходимость ряда .

       Существуют  признаки сходимости рядов, позволяющие  непосредственно судить о сходимости (или расходимости) данного ряда, не сравнивая его с другим рядом, о котором известно, сходится он или расходится. Рассмотрим два из них.

       Признак   Даламбера.

       ТЕОРЕМА 3.   Пусть   дан   ряд    с   положительными членами   и  существует  предел  .   Тогда  а)   при  r < 1 ряд сходится; б) при r > 1 ряд расходится.

       Интегральный   признак.

       ТЕОРЕМА 4. Пусть дан ряд

       f(1) + f (2) + f(3) +...+ f(n)+...=

.

члены   которого  являются   значениями   некоторой  функции   f (х), положительной,   непрерывной   и   убывающей   на   полуинтервале [1; +¥). Тогда,  если   сходится,  то  сходится  и ряд ;   если же расходится,  то  ряд   также расходится[1].

       Признак Коши.

       ТЕОРЕМА 5. Пусть для ряда

       

,  a_n³0,

существует  предел

       

.

Тогда если r < 1,  то ряд сходится, а если r > 1,  то расходится.

       Среди рядов  с неотрицательными членами, для которых ^{, соответственно} , имеются как сходящиеся, так и расходящиеся ряды[2]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4. Степенной ряд и его область  сходимости

       Ряд вида

                                      а₀+ а₁х+ а₂х²+ а₃ х³+…+а_п х^п+...=        (1)

называется степенным рядом.

       Числа а₀, а₁, а₂, а₃,…,а_п,… называются коэффициентами степенного ряда.

       Придавая  х различные числовые значения, будем  получать различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или расходящимися. Множество тех значений х, при которых ряд (1) сходится, называется областью его сходимости. Это множество всегда не пусто, так как любой степенной ряд сходится при х = 0.

       Очевидно, что частичная сумма степенного ряда S_n(x)= а₀+ а₁х+ а₂х²+ а₃ х³+…+а_п х^п является функцией переменной х. Поэтому и сумма ряда S также является некоторой функцией переменной х, определенной    в    области    сходимости    ряда:    S=S(x)= [1]

       Интервал  сходимости степенного ряда.

       Докажем теорему, имеющую важное значение в  теории степенных рядов и касающуюся области сходимости степенного ряда.

       ТЕОРЕМА 1 (теорема Абеля). 1) Если степенной ряд (1) сходится при х=х₀ (х₀¹0), то он сходится, и притом абсолютно, для всех х, удовлетворяющих условию |х|<|х₀|; 2) если ряд (1) расходится при х = х₁, то он расходится для всех х, удовлетворяющих условию |х|>|х₁|.

       Отсюда  вытекает следующая теорема.

       ТЕОРЕМА 2.   Если   ряд    сходится   не   при   всех значениях х и не только при х=0, то существует число R>0 такое, что ряд абсолютно сходится при |х|<R и расходится при |х|>R.

       Таким образом, решен вопрос об области  сходимости степенного ряда. Интервал (—R, R) называется интервалом сходимости степенного ряда. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда.

       Отметим, что интервал сходимости некоторых рядов охватывает всю числовую прямую (в этом случае пишут R = ¥), у других вырождается в одну точку R = 0).

       Итак, всякий степенной ряд имеет свой радиус сходимости R.

       При х = ± R ряд может либо сходиться, либо расходиться. Этот вопрос решается для каждого конкретного ряда[6]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5. Ряды  Тейлора и Маклорена, разложение элементарных функций в ряд  Маклорена

       Пусть имеется полином от степени :

       

       Сосчитаем все производные от этого полинома до -го порядка включительно: