СМО с ограниченным временем ожидания. Замкнутые СМО

Если  длина очереди не ограничена и  заявки «терпеливы» (не уходят из очереди), то стационарный предельный режим существует только в случае (при соответствующая бесконечная геометрическая прогрессия расходится, что физически соответствует неограниченному росту очереди при ).

Напротив, в СМО с «нетерпеливыми» заявками, уходящими рано или поздно из очереди, установившийся режим обслуживания при  достигается всегда, независимо от приведенной интенсивности потока заявок . Это следует из того, что ряд для в знаменателе формулы (24) сходится при любых положительных значениях и .

Для СМО  с «нетерпеливыми» заявками понятие  «вероятность отказа» не имеет смысла — каждая заявка становится в очередь, но может и не дождаться обслуживания, уйдя раньше времени.

Относительная пропускная способность, среднее число  заявок в очереди. Относительную  пропускную способность q такой СМО  можно подсчитать следующим образом. Очевидно, обслужены будут все  заявки, кроме тех, которые уйдут  из очереди досрочно. Подсчитаем, какое  в среднем число заявок покидает очередь досрочно. Для этого вычислим среднее число заявок в очереди:

 

 (25)

 

На каждую из этих заявок действует «поток уходов»  с интенсивностью . Значит, из среднего числа -заявок в очереди в среднем будет уходить, не дождавшись обслуживания, -заявок в единицу времени и всего в единицу времени в среднем будет обслуживаться -заявок. Относительная пропускная способность СМО будет составлять:

 

Среднее число занятых каналов  по-прежнему получаем, деля абсолютную пропускную способность А на :

 

 (26)

 

Среднее число заявок в очереди. Соотношение (26) позволяет вычислить среднее  число заявок в очереди  , не суммируя бесконечного ряда (25). Из (26) получаем:

 

,

 

а входящее в эту формулу среднее число  занятых каналов можно найти  как математическое ожидание случайной  величины Z, принимающей значения 0, 1, 2,..., n с вероятностями , :

 

.

 

В заключение заметим, что если в формулах (24) перейти  к пределу при  (или, что то же, при ), то при получатся формулы (22), т. е. «нетерпеливые» заявки станут «терпеливыми».

 

 

 

3. Замкнутые СМО

 

До сих  пор мы рассматривали системы, в  которых входящий поток никак  не связан с выходящим. Такие системы  называются разомкнутыми. В некоторых  же случаях обслуженные требования после задержки опять поступают  на вход. Такие СМО называются замкнутыми. Поликлиника, обслуживающая данную территорию, бригада рабочих, закрепленная за группой станков, являются примерами  замкнутых систем.

В замкнутой  СМО циркулирует одно и то же конечное число потенциальных требований. Пока потенциальное требование не реализовалось  в качестве требования на обслуживание, считается, что оно находится  в блоке задержки. В момент реализации оно поступает в саму систему. Например, рабочие обслуживают группу станков. Каждый станок является потенциальным  требованием, превращаясь в реальное в момент своей поломки. Пока станок работает, он находится в блоке  задержки, а с момента поломки  до момента окончания ремонта - в  самой системе. Каждый рабочий является каналом обслуживания.

Пусть n - число каналов обслуживания, s - число потенциальных заявок, n<s, - интенсивность потока заявок каждого потенциального требования, μ - интенсивность обслуживания:

ρ= .

Вероятность простоя системы определяется формулой

 

Р₀= .

 

Финальные вероятности состояний системы:

 

P_k= при k<n, P_k= при .

 

Через эти  вероятности выражается среднее  число занятых каналов

 

=P₁+2P₂+…+n(P_n+P_n+1+…+P_s) или

=P₁+2P₂+…+(n-1)P_n-1+n(1-P₀-P₁-…-P_n-1).

 

Через находим абсолютную пропускную способность системы:

 

A= ,

 

а также  среднее число заявок в системе

 

М=s- =s- .

 

Пример 1. На вход трехканальной СМО с отказами поступает поток заявок с интенсивностью =4 заявки в минуту, время обслуживания заявки одним каналом t_обсл=1/μ =0,5 мин. Выгодно ли с точки зрения пропускной способности СМО заставить все три канала обслуживать заявки сразу, причем среднее время обслуживания уменьшается втрое? Как это скажется на среднем времени пребывания заявки в СМО?

Решение. Находим вероятность простоя трехканальной СМО по формуле

 

ρ = /μ =4/2=2, n=3,

Р₀= = = 0,158.

 

Вероятность отказа определяем по формуле:

Р_отк=Р_n= =

P_отк= 0,21.

 

Относительная пропускная способность системы:

 

Р_обсл=1-Р_отк 1-0,21=0,79.

 

Абсолютная  пропускная способность системы:

 

А= Р_обсл 3,16.

 

Среднее число занятых каналов определяем по формуле:

 

 

• 1,58, доля каналов, занятых обслуживанием, 

q= 0,53.

 

Cреднее  время пребывания заявки в  СМО находим как вероятность  того, что заявка принимается  к обслуживанию, умноженную на  среднее время обслуживания: t_СМО 0,395 мин.

Объединяя все три канала в один, получаем одноканальную систему с параметрами μ=6, ρ=2/3. Для одноканальной системы вероятность простоя:

Р₀= = =0,6,

вероятность отказа:

 

Р_отк=ρ Р₀= =0,4,

 

относительная пропускная способность:

 

Р_обсл=1-Р_отк=0,6,

 

абсолютная  пропускная способность:

 

А= Р_обсл=2,4.

Среднее время пребывания заявки в СМО:

 

t_СМО=Р_обсл = =0,1 мин.

 

В результате объединения каналов в один пропускная способность системы снизилась, так как увеличилась вероятность  отказа. Среднее время пребывания заявки в системе уменьшилось.

Пример 2. На вход трехканальной СМО с неограниченной очередью поступает поток заявок с интенсивностью =4 заявки в час, среднее время обслуживания одной заявки t=1/μ=0,5 ч. Найти показатели эффективности работы системы.

Для рассматриваемой  системы n=3, =4, μ=1/0,5=2, ρ= /μ=2, ρ/n=2/3<1. Определяем вероятность простоя по формуле:

 

Р = .

P₀= =1/9.

 

Среднее число заявок в очереди находим  по формуле:

 

L= .

L= = .

 

Среднее время ожидания заявки в очереди  считаем по формуле:

t= .

t= = 0,22 ч.

Среднее время пребывания заявки в системе:

 

Т=t+ 0,22+0,5=0,72.

 

Пример 3. В парикмахерской работают 3 мастера, а в зале ожидания расположены 3 стула. Поток клиентов имеет интенсивность =12 клиентов в час. Среднее время обслуживания t_обсл=20 мин. Определить относительную и абсолютную пропускную способность системы, среднее число занятых кресел, среднюю длину очереди, среднее время, которое клиент проводит в парикмахерской.

Для данной задачи n=3, m=3, =12, μ=3, ρ=4, ρ/n=4/3. Вероятность простоя определяем по формуле:

 

Р₀= .

P₀= 0,012.

 

Вероятность отказа в обслуживании определяем по формуле

 

Р_отк=Р_n+m= .

P_отк=P_n+m 0,307.

 

Относительная пропускная способность системы, т.е. вероятность обслуживания:

 

P_обсл=1-P_отк 1-0,307=0,693.

 

Абсолютная  пропускная способность:

 

А= Р_обсл 12 .

 

Среднее число занятых каналов:

 

.

Средняя длина очереди определяется по формуле:

 

L=

L= 1,56.

 

Среднее время ожидания обслуживания в очереди:

 

t= ч.

 

Среднее число заявок в СМО:

 

M=L+ .

Среднее время пребывания заявки в СМО:

 

Т=М/ 0,36 ч.

 

Пример 4. Рабочий обслуживает 4 станка. Каждый станок отказывает с интенсивностью =0,5 отказа в час, среднее время ремонта t_рем=1/μ=0,8 ч. Определить пропускную способность системы.

Эта задача рассматривает замкнутую СМО, μ=1,25, ρ=0,5/1,25=0,4. Вероятность простоя рабочего определяем по формуле:

 

Р₀= .

P₀= .

 

Вероятность занятости рабочего Р_зан=1-Р₀ . Если рабочий занят, он налаживает μ-станков в единицу времени, пропускная способность системы: А=(1-P₀)μ=0,85μ станков в час.

 

 

 

Решение задачи

 

Задача:

Два рабочих  обслуживают группу из четырех станков. Остановки работающего станка происходят в среднем через 30 мин. Среднее  время наладки составляет 15 мин. Время работы и время наладки  распределено по экспоненциальному  закону.

Найдите среднюю  долю свободного времени для каждого  рабочего и среднее время работы станка.

Найдите те же характеристики для системы, в которой:

а) за каждым рабочим закреплены два станка;

б) два рабочих  всегда обслуживают станок вместе, причем с двойной интенсивностью;

в) единственный неисправный станок обслуживают  оба рабочих сразу (с двойной  интенсивностью), а при появлении  еще хотя бы одного неисправного станка они начинают работать порознь, причем каждый обслуживает один станок (вначале  опишите систему в терминах процессов  гибели и рождения).

Решение:

Возможны  следующие состояния системы  S:

S₀ – все станки исправны;

S₁ – 1 станок ремонтируется, остальные исправны;

S₂ – 2 станок ремонтируется, остальные исправны;

S₃ – 3 станок ремонтируется, остальные исправны;

S₄ – 4 станок ремонтируется, остальные исправны;

S₅ – (1, 2) станки ремонтируются, остальные исправны;

S₆ – (1, 3) станки ремонтируются, остальные исправны;

S₇ – (1, 4) станки ремонтируются, остальные исправны;

S₈ – (2, 3) станки ремонтируются, остальные исправны;

S₉ – (2, 4) станки ремонтируются, остальные исправны;

S₁₀ – (3, 4) станки ремонтируются, остальные исправны;

S₁₁ – (1, 2, 3) станки ремонтируются, 4 станок исправен;

S₁₂ – (1, 2, 4) станки ремонтируются, 3 станок исправен;

S₁₃ – (1, 3, 4) станки ремонтируются, 2 станок исправен;

S₁₄ – (2, 3, 4) станки ремонтируются, 1 станок исправен;

S₁₅ – все станки ремонтируются.

Граф состояний  системы…

 

 

Данная система  S является примером замкнутой системы, так как каждый станок является потенциальным требованием, превращаясь в реальное в момент своей поломки. Пока станок работает, он находится в блоке задержки, а с момента поломки до момента окончания ремонта – в самой системе. Каждый рабочий является каналом обслуживания.

 

 

 

 

 

 

 

 

Вероятность простоя рабочего определяется по формуле:

 

 

 

.

 

Вероятность занятости рабочего:

 

.

Если  рабочий занят, он налаживает μ-станков  в единицу времени, пропускная способность  системы:

 

.

 

Ответ:

Средняя доля свободного времени для каждого  рабочего ≈ 0,09.

Среднее время работы станка ≈ 3,64.

а) За каждым рабочим закреплены два станка.

 

 

 

 

 

 

 

 

Вероятность простоя рабочего определяется по формуле:

 

 

 

.

 

Вероятность занятости рабочего:

 

.

 

Если  рабочий занят, он налаживает μ-станков  в единицу времени, пропускная способность  системы:

 

.

 

Ответ:

Средняя доля свободного времени для каждого  рабочего ≈ 0,62.

Среднее время работы станка ≈ 1,52.

б) Два  рабочих всегда обслуживают станок вместе, причем с двойной интенсивностью.

в) Единственный неисправный станок обслуживают  оба рабочих сразу (с двойной  интенсивностью), а при появлении  еще хотя бы одного неисправного станка они начинают работать порознь, причем каждый обслуживает один станок (вначале  опишите систему в терминах процессов  гибели и рождения).

Сравнение 5 ответов:

Наиболее  эффективным способом организации  рабочих за станками будет являться начальный вариант задачи.