СМО с ограниченным временем ожидания. Замкнутые СМО

Курсовая работа

по дисциплине «Математические методы»

на тему «СМО с  ограниченным временем ожидания. Замкнутые  СМО»

 

 

 

 

 

 

 

Перевоз

2008

 

Содержание

 

Введение 2

1. Основы теории массового  обслуживания 3

1.1 Понятие случайного  процесса 3

1.2 Марковский случайный  процесс 4

1.3 Потоки событий 6

1.4 Уравнения Колмогорова  для вероятностей состояний. Финальные  вероятности состояний 9

1.5 Задачи теории массового  обслуживания 13

1.6 Классификация систем  массового обслуживания 15

2. Системы массового обслуживания  с ожиданием 16

2.1 Одноканальная СМО с  ожиданием 16

2.2 Многоканальная СМО  с ожиданием 25

3. Замкнутые СМО 37

Решение задачи 45

Заключение 50

Список литературы 51

 

 

 

Введение

 

В данном курсе мы будем рассматривать  различные системы массового обслуживания (СМО) и сети массового обслуживания (СеМО).

Под системой массового обслуживания (СМО) понимают динамическую систему, предназначенную  для эффективного обслуживания потока заявок (требований на обслуживание) при ограничениях на ресурсы системы.

Модели СМО удобны для описания отдельных подсистем современных  вычислительных систем, таких как  подсистема процессор - основная память, канал ввода-вывода и т. д. Вычислительная система в целом представляет собой совокупность взаимосвязанных подсистем, взаимодействие которых носит вероятностный характер. Заявка на решение некоторой задачи, поступающая в вычислительную систему, проходит последовательность этапов счета, обращения к внешним запоминающим устройствам и устройствам ввода-вывода. После выполнения некоторой последовательности таких этапов, число и продолжительность которых зависит от трудоемкости программы, заявка считается обслуженной и покидает вычислительную систему. Таким образом, вычислительную систему в целом можно представлять совокупностью СМО, каждая из которых отображает процесс функционирования отдельного устройства или группы однотипных устройств, входящих в состав системы.

Совокупность взаимосвязанных  СМО называется сетью массового  обслуживания (стохастической сетью).

Для начала мы рассмотрим основы теории СМО, затем перейдем к ознакомлению в подробном содержании к СМО  с ожиданием и замкнутым СМО. Также в курс включена практическая часть, в которой мы подробно познакомимся с тем, как применить теорию на практике.

 

1. Основы теории массового обслуживания

 

Теория массового  обслуживания составляет один из разделов теории вероятностей. В этой теории рассматриваются вероятностные задачи и математические модели (до этого нами рассматривались детерминированные математические модели). Напомним, что:

Детерминированная математическая модель отражает поведение объекта (системы, процесса) с позиций полной определенности в настоящем и будущем.

Вероятностная математическая модель учитывает влияние случайных факторов на поведение объекта (системы, процесса) и, следовательно, оценивает будущее с позиций вероятности тех или иных событий.

Т.е. здесь  как, например, в теории игр задачи рассматриваются в условиях неопределенности.

Рассмотрим  сначала некоторые понятия, которые  характеризуют «стохастическую  неопределенность», когда неопределенные факторы, входящие в задачу, представляют собой случайные величины (или  случайные функции), вероятностные  характеристики которых либо известны, либо могут быть получены из опыта. Такую неопределенность называют еще  «благоприятной», «доброкачественной».

 

1.1 Понятие случайного процесса

 

Строго говоря, случайные возмущения присущи любому процессу. Проще привести примеры  случайного, чем «неслучайного» процесса. Даже, например, процесс хода часов (вроде бы это строгая выверенная работа – «работает как часы») подвержен случайным изменениям (уход вперед, отставание, остановка). Но до тех пор, пока эти возмущения несущественны, мало влияют на интересующие нас параметры, мы можем ими пренебречь и рассматривать процесс как детерминированный, неслучайный.

Пусть имеется  некоторая система S (техническое устройство, группа таких устройств, технологическая система – станок, участок, цех, предприятие, отрасль промышленности и т.д.). В системе S протекает случайный процесс, если она с течением времени меняет свое состояние (переходит из одного состояния в другое), причем, заранее неизвестным случайным образом.

Примеры:

1. Система S – технологическая система (участок станков). Станки время от времени выходят из строя и ремонтируются. Процесс, протекающий в этой системе, случаен.

2. Система S – самолет, совершающий рейс на заданной высоте по определенному маршруту. Возмущающие факторы – метеоусловия, ошибки экипажа и т.д., последствия – «болтанка», нарушение графика полетов и т.д.

 

1.2 Марковский случайный процесс

 

Случайный процесс, протекающий в системе, называется Марковским, если для любого момента времени t₀ вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t₀ и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

Пусть в настоящий  момент t₀ система находится в определенном состоянии S₀. Мы знаем характеристики состояния системы в настоящем и все, что было при t<t₀ (предысторию процесса). Можем ли мы предугадать (предсказать) будущее, т.е. что будет при t>t₀? В точности – нет, но какие-то вероятностные характеристики процесса в будущем найти можно. Например, вероятность того, что через некоторое время система S окажется в состоянии S₁ или останется в состоянии S₀ и т.д.

Пример. Система S – группа самолетов, участвующих в воздушном бою. Пусть x – количество «красных» самолетов, y – количество «синих» самолетов. К моменту времени t₀ количество сохранившихся (не сбитых) самолетов соответственно – x₀, y₀. Нас интересует вероятность того, что в момент времени численный перевес будет на стороне «красных». Эта вероятность зависит от того, в каком состоянии находилась система в момент времени t₀, а не от того, когда и в какой последовательности погибали сбитые до момента t₀ самолеты.

На практике Марковские процессы в чистом виде обычно не встречаются. Но имеются процессы, для которых влиянием «предыстории»  можно пренебречь. И при изучении таких процессов можно применять  Марковские модели (в теории массового  обслуживания рассматриваются и  не Марковские системы массового  обслуживания, но математический аппарат, их описывающий, гораздо сложнее).

В исследовании операций большое значение имеют  Марковские случайные процессы с  дискретными состояниями и непрерывным  временем.

Процесс называется процессом с дискретным состоянием, если его возможные состояния S₁, S₂, … можно заранее определить, и переход системы из состояния в состояние происходит «скачком», практически мгновенно.

Процесс называется процессом с непрерывным временем, если моменты возможных переходов из состояния в состояние не фиксированы заранее, а неопределенны, случайны и могут произойти в любой момент.

Далее рассматриваются  только процессы с дискретным состоянием и непрерывным временем.

Пример. Технологическая система (участок) S состоит из двух станков, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя (отказать), после чего мгновенно начинается ремонт узла, тоже продолжающийся заранее неизвестное, случайное время. Возможны следующие состояния системы:

S₀ - оба станка исправны;

S₁ - первый станок ремонтируется, второй исправен;

S₂ - второй станок ремонтируется, первый исправен;

S₃ - оба станка ремонтируются.

Переходы  системы S из состояния в состояние происходят практически мгновенно, в случайные моменты выхода из строя того или иного станка или окончания ремонта.

При анализе  случайных процессов с дискретными  состояниями удобно пользоваться геометрической схемой – графом состояний. Вершины графа – состояния системы. Дуги графа – возможные переходы из состояния в состояние. Для нашего примера граф состояний приведен на рис. 1.

 

Рис. 1. Граф состояний  системы

 

Примечание. Переход из состояния S₀ в S₃ на рисунке не обозначен, т.к. предполагается, что станки выходят из строя независимо друг от друга. Вероятностью одновременного выхода из строя обоих станков мы пренебрегаем.

 

1.3 Потоки событий

 

Поток событий – последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени.

В предыдущем примере – это поток отказов  и поток восстановлений. Другие примеры: поток вызовов на телефонной станции, поток покупателей в магазине и т.д.

Поток событий  можно наглядно изобразить рядом  точек на оси времени O t – рис. 2.

 

Рис. 2. Изображение  потока событий на оси времени

 

Положение каждой точки случайно, и здесь изображена лишь какая-то одна реализация потока.

Интенсивность потока событий ( ) – это среднее число событий, приходящееся на единицу времени.

Рассмотрим  некоторые свойства (виды) потоков  событий.

Поток событий  называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени.

В частности, интенсивность  стационарного потока постоянна. Поток событий неизбежно имеет сгущения или разрежения, но они не носят закономерного характера, и среднее число событий, приходящееся на единицу времени, постоянно и от времени не зависит.

Поток событий  называется потоком без последствий, если для любых двух непересекающихся участков времени и (см. рис. 2) число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой. Другими словами, это означает, что события, образующие поток, появляются в те или иные моменты времени независимо друг от друга и вызваны каждое своими собственными причинами.

Поток событий  называется ординарным, если события в нем появляются поодиночке, а не группами по нескольку сразу.

Поток событий  называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он обладает сразу тремя свойствами:

1) стационарен;

2) ординарен;

3) не имеет  последствий.

Простейший  поток имеет наиболее простое  математическое описание. Он играет среди  потоков такую же особую роль, как  и закон нормального распределения  среди других законов распределения. А именно, при наложении достаточно большого числа независимых, стационарных и ординарных потоков (сравнимых  между собой по интенсивности) получается поток, близкий к простейшему.

Для простейшего  потока с интенсивностью интервал T между соседними событиями имеет так называемое показательное (экспоненциальное) распределение с плотностью:

 

 

где - параметр показательного закона.

Для случайной  величины T, имеющей показательное распределение, математическое ожидание есть величина, обратная параметру, а среднее квадратичное отклонение равно математическому ожиданию:

 

 

1.4 Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний. Финальные вероятности состояний

 

Рассматривая  Марковские процессы с дискретными  состояниями и непрерывным временем, подразумевается, что все переходы системы S из состояния в состояние происходят под действием простейших потоков событий (потоков вызовов, потоков отказов, потоков восстановлений и т.д.). Если все потоки событий, переводящие систему S из состояния в состояние простейшие, то процесс, протекающий в системе, будет Марковским.

Итак, на систему, находящуюся в состоянии  , действует простейший поток событий. Как только появится первое событие этого потока, происходит «перескок» системы из состояния в состояние (на графе состояний по стрелке ).

Для наглядности  на графе состояний системы у  каждой дуги проставляют интенсивности  того потока событий, который переводит  систему по данной дуге (стрелке). - интенсивность потока событий, переводящий систему из состояния в . Такой граф называется размеченным. Для нашего примера размеченный граф приведен на рис. 3.

 

Рис. 3. Размеченный  граф состояний системы

 

На этом рисунке  - интенсивности потока отказов; - интенсивности потока восстановлений.

Предполагаем, что среднее время ремонта  станка не зависит от того, ремонтируется  ли один станок или оба сразу. Т.е. ремонтом каждого станка занят отдельный  специалист.

Пусть система  находится в состоянии S₀. В состояние S₁ ее переводит поток отказов первого станка. Его интенсивность равна:

 

 

где - среднее время безотказной работы первого станка.

Из состояния S₁ в S₀ систему переводит поток «окончаний ремонтов» первого станка. Его интенсивность равна:

 

 

где - среднее время ремонта первого станка.

Аналогично  вычисляются интенсивности потоков  событий, переводящих систему по всем дугам графа. Имея в своем  распоряжении размеченный граф состояний  системы, строится математическая модель данного процесса.

Пусть рассматриваемая  система S имеет -возможных состояний . Вероятность -го состояния - это вероятность того, что в момент времени , система будет находиться в состоянии . Очевидно, что для любого момента времени сумма всех вероятностей состояний равна единице: