СМО с ограниченным временем ожидания. Замкнутые СМО

Площадка  при станции допускает пребывание в очереди на заправку не более  трех машин одновременно (m = 3). Если в очереди уже находятся три  машины, очередная машина, прибывшая  к станции, в очередь не становится. Поток машин, прибывающих для  заправки, имеет интенсивность  =1 (машина в минуту). Процесс заправки продолжается в среднем 1,25 мин.

Определить:

вероятность отказа;

относительную и абсолютную пропускную способности  АЗС;

среднее число машин, ожидающих заправки;

среднее число машин, находящихся на АЗС (включая обслуживаемую);

среднее время ожидания машины в очереди;

среднее время пребывания машины на АЗС (включая  обслуживание).

Иначе говоря, среднее время ожидания равно  среднему числу заявок в очереди, деленному на интенсивность потока заявок.

Находим вначале приведенную интенсивность  потока заявок: =1/1,25=0,8; =1/0,8=1,25.

По формулам (8):

 

 

Вероятность отказа 0,297.

Относительная пропускная способность СМО: q=1- =0,703.

Абсолютная  пропускная способность СМО: A= =0,703 машины в мин.

Среднее число машин в очереди находим  по формуле (12):

,

т.е. среднее  число машин, ожидающих в очереди  на заправку, равно 1,56.

Прибавляя к этой величине среднее число  машин, находящихся под обслуживанием:

 

 

получаем  среднее число машин, связанных  с АЗС.

Среднее время ожидания машины в очереди  по формуле (15):

 

 

Прибавляя к этой величине , получим среднее время, которое машина проводит на АЗС:

 

 

Системы с неограниченным ожиданием. В таких  системах значение т не ограничено и, следовательно, основные характеристики могут быть получены путем предельного  перехода в ранее полученных выражениях (5), (6) и т.п.

Заметим, что при этом знаменатель в  последней формуле (6) представляет собой сумму бесконечного числа  членов геометрической прогрессии. Эта сумма сходится, когда прогрессия бесконечно убывающая, т.е. при <1.

Может быть доказано, что  <1 есть условие, при котором в СМО с ожиданием существует предельный установившийся режим, иначе такого режима не существует, и очередь при будет неограниченно возрастать. Поэтому в дальнейшем здесь предполагается, что <1.

Если , то соотношения (8) принимают вид:

 

 (16).

 

При отсутствии ограничений по длине очереди  каждая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, поэтому q=1, .

Среднее число заявок в очереди получим  из (12) при  :

 

.

 

Среднее число заявок в системе по формуле (13) при  :

 

.

 

Среднее время ожидания получим из формулы (14) при :

 

.

 

Наконец, среднее время пребывания заявки в СМО есть:

.

 

2.2 Многоканальная СМО с ожиданием

 

Система с ограниченной длиной очереди. Рассмотрим

канальную СМО с ожиданием, на которую поступает поток заявок с интенсивностью ; интенсивность обслуживания (для одного канала) ; число мест в очереди .

Состояния системы нумеруются по числу заявок, связанных системой:

нет очереди:

 — все каналы свободны;

 — занят один канал, остальные  свободны;

 — заняты  -каналов, остальные нет;

— заняты все  -каналов, свободных нет;

есть  очередь:

 — заняты все n-каналов;  одна заявка стоит в очереди;

 — заняты все n-каналов, r-заявок  в очереди;

 — заняты все n-каналов, r-заявок  в очереди.

ГСП приведен на рис. 17. У каждой стрелки проставлены  соответствующие интенсивности  потоков событий. По стрелкам слева  направо систему переводит всегда один и тот же поток заявок с  интенсивностью , по стрелкам справа налево систему переводит поток обслуживании, интенсивность которого равна , умноженному на число занятых каналов.

 

Рис. 17. Многоканальная СМО с ожиданием

 

Граф  типичен для процессов размножения  и гибели, для которой решение  ранее получено. Напишем выражения  для предельных вероятностей состояний, используя обозначение  : (здесь используется выражение для суммы геометрической прогрессии со знаменателем ).

Таким образом, все вероятности состояний найдены.

Определим характеристики эффективности системы.

Вероятность отказа. Поступившая заявка получает отказ, если заняты все n-каналов и  все m-мест в очереди:

 

 (18)

 

Относительная пропускная способность дополняет  вероятность отказа до единицы:

 

 

Абсолютная  пропускная способность СМО:

 (19)

 

Среднее число занятых каналов. Для СМО  с отказами оно совпадало со средним  числом заявок, находящихся в системе. Для СМО с очередью среднее  число занятых каналов не совпадает  со средним числом заявок, находящихся  в системе: последняя величина отличается от первой на среднее число заявок, находящихся в очереди.

Обозначим среднее число занятых каналов  . Каждый занятый канал обслуживает в среднем -заявок в единицу времени, а СМО в целом обслуживает в среднем А-заявок в единицу времени. Разделив одно на другое, получим:

 

.

 

Среднее число заявок в очереди можно  вычислить непосредственно как  математическое ожидание дискретной случайной  величины:

 

 (20)

 

где .

Здесь опять (выражение в скобках) встречается  производная суммы геометрической прогрессии (см. выше (11), (12) — (14)), используя  соотношение для нее, получаем:

 

 

Среднее число заявок в системе:

 

 

Среднее время ожидания заявки в очереди. Рассмотрим ряд ситуаций, различающихся  тем, в каком состоянии застанет систему вновь пришедшая заявка и сколько времени ей придется ждать обслуживания.

Если  заявка застанет не все каналы занятыми, ей вообще не придется ждать (соответствующие  члены в математическом ожидании равны нулю). Если заявка придет в  момент, когда заняты все n-каналов, а очереди нет, ей придется ждать в среднем время, равное (потому что «поток освобождений» -каналов имеет интенсивность ). Если заявка застанет все каналы занятыми и одну заявку перед собой в очереди, ей придется в среднем ждать в течение времени (по на каждую впереди стоящую заявку) и т. д. Если заявка застанет в очереди -заявок, ей придется ждать в среднем в течение времени . Если вновь пришедшая заявка застанет в очереди уже m-заявок, то она вообще не будет ждать (но и не будет обслужена). Среднее время ожидания найдем, умножая каждое из этих значений на соответствующие вероятности:

 

 (21)

 

Так же, как и в случае одноканальной  СМО с ожиданием, отметим, что  это выражение отличается от выражения  для средней длины очереди (20) только множителем , т. е.

 

.

 

Среднее время пребывания заявки в системе, так же, как и для одноканальной  СМО, отличается от среднего времени  ожидания на среднее время обслуживания, умноженное на относительную пропускную способность:

 

.

 

Системы с неограниченной длиной очереди. Мы рассмотрели  канальную СМО с ожиданием, когда в очереди одновременно могут находиться не более m-заявок.

Так же, как и ранее, при анализе систем без ограничений необходимо рассмотреть  полученные соотношения при  .

Вероятности состояний получим из формул предельным переходом (при  ). Заметим, что сумма соответствующей геометрической прогрессии сходится при и расходится при >1. Допустив, что <1 и устремив в формулах величину m к бесконечности, получим выражения для предельных вероятностей состояний:

 

 (22)

 

Вероятность отказа, относительная и абсолютная пропускная способность. Так как  каждая заявка рано или поздно будет  обслужена, то характеристики пропускной способности СМО составят:

 

 

Среднее число заявок в очереди получим  при  из (20):

 

,

 

а среднее  время ожидания — из (21):

 

.

 

Среднее число занятых каналов  , как и ранее, определяется через абсолютную пропускную способность:

 

.

Среднее число заявок, связанных с СМО, определяется как среднее число  заявок в очереди плюс среднее  число заявок, находящихся под  обслуживанием (среднее число занятых  каналов):

 

.

 

Пример 2. Автозаправочная станция с двумя  колонками (n = 2) обслуживает поток  машин с интенсивностью =0,8 (машин в минуту). Среднее время обслуживания одной машины:

 

 

В данном районе нет другой АЗС, так что  очередь машин перед АЗС может  расти практически неограниченно. Найти характеристики СМО.

Имеем:

 

 

Поскольку <1, очередь не растет безгранично и имеет смысл говорить о предельном стационарном режиме работы СМО. По формулам (22) находим вероятности состояний:

 

 и т. д.

 

Среднее число занятых каналов найдем, разделив абсолютную пропускную способность  СМО А= =0,8 на интенсивность обслуживания =0,5:

 

 

Вероятность отсутствия очереди у АЗС будет:

 

 

Среднее число машин в очереди:

 

 

Среднее число машин на АЗС:

 

Среднее время ожидания в очереди:

 

Среднее время пребывания машины на АЗС:

 

 

СМО с  ограниченным временем ожидания. Ранее  рассматривались системы с ожиданием, ограниченным только длиной очереди (числом m-заявок, одновременно находящихся  в очереди). В такой СМО заявка, разраставшая в очередь, не покидает ее, пока не дождется обслуживания. На практике встречаются СМО другого типа, в которых заявка, подождав некоторое время, может уйти из очереди (так называемые «нетерпеливые» заявки).

Рассмотрим  СМО подобного типа, предполагая, что ограничение времени ожидания является случайной величиной.

Предположим, что имеется n-канальная СМО с  ожиданием, в которой число мест в очереди не ограничено, но время  пребывания заявки в очереди является некоторой случайной величиной  со средним значением , таким образом, на каждую заявку, стоящую в очереди, действует своего рода пуассоновский «поток уходов» с интенсивностью:

 

 

Если  этот поток пуассоновский, то процесс, протекающий в СМО, будет марковским. Найдем для него вероятности состояний. Нумерация состояний системы  связывается с числом заявок в  системе — как обслуживаемых, так и стоящих в очереди:

нет очереди:

 — все каналы свободны;

 — занят один канал;

 — заняты два канала;

 — заняты все n-каналов;

есть  очередь:

 — заняты все n-каналов,  одна заявка стоит в очереди;

 — заняты все n-каналов, r-заявок  стоят в очереди и т. д.

Граф  состояний и переходов системы  показан на рис. 23.

Рис. 23. СМО  с ограниченным временем ожидания

 

Разметим  этот граф, как и раньше; у всех стрелок, ведущих слева направо, будет стоять интенсивность потока заявок . Для состояний без очереди у стрелок, ведущих из них справа налево, будет, как и раньше, стоять суммарная интенсивность потока обслуживании всех занятых каналов. Что касается состояний с очередью, то у стрелок, ведущих из них справа налево, будет стоять суммарная интенсивность потока обслуживания всех n-каналов плюс соответствующая интенсивность потока уходов из очереди. Если в очереди стоят r-заявок, то суммарная интенсивность потока уходов будет равна .

Как видно  из графа, имеет место схема размножения  и гибели; применяя общие выражения  для предельных вероятностей состояний  в этой схеме (используя сокращенные  обозначения  , запишем:

 

 (24)

 

Отметим некоторые особенности СМО с  ограниченным ожиданием сравнительно с ранее рассмотренными СМО с  «терпеливыми» заявками.