Проблема собственных значений

             for (e = d__; e <= i__2; ++e) {

                 if (e == *n) {

                     goto L5;

                 }

                 if ((r__1 = rab1[e], abs(r__1)) <= sys051 * ((r__2 = ev[e], abs(

                         r__2)) + (r__3 = ev[e + 1], abs(r__3)))) {

                     goto L5;

                 }

     /* L4: */

             }

     L5:

             m = ev[d__];

             if (e == d__) {

                 goto L9;

             }

            if (c__ == 30) {

                 goto L14;

             }

             ++c__;

             l = (ev[d__ + 1] - m) / (rab1[d__] * 2.f);

             if (abs(l) > 1.f) {

     /* Computing 2nd power */

                 r__1 = 1.f / l;

                 o = abs(l) * (real)sqrt(r__1 * r__1 + 1.f);

             }

             if (abs(l) <= 1.f) {

                 o = (real)sqrt(l * l + 1.f);

             }

             l = ev[e] - m + rab1[d__] / (l + (real)r_sign(&o, &l));

             p = 1.f;

             j = 1.f;

             m = 0.f;

             g = e - d__;

             i__2 = g;

             for (f = 1; f <= i__2; ++f) {

                 b = e - f;

                 k = p * rab1[b];

                 h__ = j * rab1[b];

                 if (abs(k) < abs(l)) {

                     goto L6;

                 }

                 j = l / k;

                 o = (real)sqrt(j * j + 1.f);

                rab1[b + 1] = k * o;

                 p = 1.f / o;

                 j *= p;

                 goto L7;

     L6:

                 p = k / l;

                 o = (real)sqrt(p * p + 1.f);

                 rab1[b + 1] = l * o;

                 j = 1.f / o;

                 p *= j;

     L7:

                 l = ev[b + 1] - m;

                 o = (ev[b] - l) * p + j * 2.f * h__;

                 m = p * o;

                 ev[b + 1] = l + m;

                 l = j * o - h__;

     /* L8: */

             }

             ev[d__] -= m;

             rab1[d__] = l;

             rab1[e] = 0.f;

             goto L3;

     L9:

             if (d__ == 1) {

                 goto L11;

             }

             i__2 = d__;

             for (f = 2; f <= i__2; ++f) {

                 b = d__ + 2 - f;

                 if (m >= ev[b - 1]) {

                     goto L12;

                 }

                 ev[b] = ev[b - 1];

     /* L10: */

             }

     L11:

             b = 1;

     L12:

             ev[b] = m;

     /* L13: */

         }

         goto L15;

     L14:

         *ierr = d__;

     L15:

         if (*ierr != 0) {

             utae10_c(ierr, n, &c__34);

         }

         return 0;

     } /* aee2r_c */

     #undef a_ref 

4. Проведение численных экспериментов и анализ эффективности. 

1.Метод  Якоби для действительных  симметрических матриц.

Дана матрица  A с элементами a [i,k] =max (i,k).  

 

     В таблице 1 приведены некоторые из собственных значений матрицы порядка n=30; в первом столбце приведены результаты расчетов с помощью реализованного метода Якоби, после выполнения 2339 вращений; во втором столбце – результаты расчетов с помощью обычной процедуры Якоби, в которой не предусмотрено специальных мер по уменьшению ошибок округления; в третьем столбце – результат вычисления с помощью QD – алгоритма, причем учтено, что матрица (-A^-1) есть трехдиагональная матрица, соответствующая qd – последовательности вида  

     q_k=e_k=1(k=1,2,…,n-1);

     q_n=-1/n,  e_n=0. 

     Собственные значения, соответствующие qd – последовательности, были вычислены с увеличенной точностью и округлены до последней значащей цифры, как указано в таблице.

     Таким образом, реализованный метод предпочтительнее программы, реализующей обычный метод Якоби. Действительные ошибки существенно меньше данных выше оценок и для рассматриваемого случая ошибка E=9*10^-5.

     2.Преобразование  Хаусхолдера для  приведения симметричной  матрице к трехдиагональной  форме. 

     Для  проверки приведенных выше процедур были использованы матрицы:

                 A                                                             B

 
 
 
 
 

     В таблице 2 приведены результаты вычисления под диагональных и диагональных элементов трехдиагональных матриц, здесь же указаны значения квадратов под диагональных элементов. Для матрицы A результат не будет зависеть от способа округления. А результат для трехдиагональной матрицы B будет различный, поскольку процедуры при кратных корнях неустойчивы.

     3. QL-алгоритм с неявными сдвигами.

     Программа  использовалась для вычисления собственных  значений и векторов матриц U и Ū вида:

     

             

             

     U=

     

           

           

     Ū=

     Собственные  значения матриц U и Ū, вычисленные с помощью программы.

     Все собственные значения вычислены  с высокой точностью, даже те, которые  малы по сравнению с ║U║₂; собственные значения матрицы Ū(котороя имеет те же собственные значение значения, что и матрица U) в общем случае не так точно, но все они имеют по меньшей мере 10 точных десятичных знаков, несмотря на то,  что элементы матрицы Ū расположены в левом верхнем углу. Полученные результаты для матрицы Ū более точны, чем в случае применения обычного алгоритма.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Заключение

     В ходе выполнения курсовой работы были изучены эффективные алгоритмы решения проблемы собственных значений, проведены численные эксперименты и проанализирована их эффективность.