Приложения интегралов

Пусть C является гладкой, кусочно-непрерывной кривой, которая описывается вектором  . Длина данной кривой выражается следующим криволинейным интегралом

где   − производная, а   − компоненты векторной функции  .  
 
Если кривая C задана в плоскости, то ее длина выражается формулой

Если кривая C представляет собой график заданной явно, непрерывной и дифференцируемой функции   в плоскости Oxy, то длина такой кривой вычисляется по формуле

Наконец, если кривая C задана в полярных координатах уравнением  , и функция  является непрерывной и дифференцируемой в интервале  , то длина кривой определяется выражением

Пример.

Найти длину кривой   при условии  .

Запишем функцию в виде   или  . Поскольку y ≥ 0, то мы возьмем только положительный корень в уравнении кривой.

 

Длина кривой равна

Пример. 
Найти длину пространственной кривой, заданной параметрически в виде  , где  .

Используя формулу      

получаем      

2. Площадь области, ограниченной замкнутой кривой

Пусть C является гладкой, кусочно-непрерывной и замкнутой кривой, заданной в плоскости Oxy (рисунок 1). Тогда площадь области R, ограниченной данной кривой, определяется формулами

Здесь предполагается, что обход  кривой C производится против часовой стрелки.  
 
Если замкнутая кривая C задана в параметрическом виде  , то площадь соответствующей области равна

Рис.1		Рис.2

Пример.

Найти площадь области, ограниченной гиперболой  , осью Ox и вертикальными прямыми x = 1, x = 2.

Вычислим площадь с помощью  криволинейного интеграла.

      

Найдем отдельно каждый из интегралов.       

Следовательно, плошадь заданной области равна      

3. Объем тела, образованного вращением замкнутой кривой относительно некоторой оси

Предположим, что область R расположена в верхней полуплоскости y ≥ 0 и ограничена гладкой, кусочно-непрерывной и замкнутой кривой C, обход которой осуществляется против часовой стрелки. В результате вращения области R вокруг оси Ox образуется тело Ω. Объем данного тела определяется формулами

     

Пример.

Найти объем тела, образованного  вращением вокруг оси Ox области R, ограниченной кривой  , и прямыми x = 0, x = 2π, y = 0.

Объем этого тела найдем по формуле

      

Вычислим криволинейные интегралы       

Следовательно, объем тела равен      

 

5. Приложения поверхностного интеграла.
1. Физические приложения.
1. Масса оболочки

Пусть S представляет собой тонкую гладкую оболочку. Распределение массы оболочки описывается функцией плотности  . Тогда полная масса оболочки выражается через поверхностный интеграл первого рода по формуле

Пример.

Найти массу цилиндрической оболочки, заданной параметрически в виде  , где   . Плотность оболочки определяется функцией  .

Массу оболочки определим по формуле       

Вычислим элемент площади dS:      

Найдем частные производные  и их векторное произведение:      

Отсюда следует, что  . Следовательно, масса оболочки равна       

2. Центр масс и моменты инерции оболочки

Пусть распределение массы m в тонкой оболочке описывается непрерывной функцией плотности  . Координаты центра масс оболочки определяются формулами

где

− так называемые моменты первого порядка относительно координатных плоскостей x = 0, y = 0 и z = 0, соответственно.  
 
Моменты инерции оболочки относительно осей Ox, Oy, Oz выражаются, соответственно, формулами

Моменты инерции оболочки относительно плоскостей xy, yz, xz определяются формулами

Пример.

Найти центр масс части сферической  оболочки  , расположенной в первом октанте и имеющей постоянную плотность μ₀.

 
Решение.

Очевидно, масса данной части сферы  равна       

Вычислим момент первого порядка M_yz.      

где проекция D(x,y) поверхности на плоскость xy представляет собой часть круга, лежащую в первом квадранте (рисунок 4).  
 
Поскольку      

то      

Отсюда находим выражение для  момента первого порядка M_yz:      

Далее удобнее преобразовать интеграл в полярные координаты:      

Вычислим первый интеграл   в квадратных скобках. Сделаем замену:  . Приr = 0 имеем t = 0, а при r = a, соответственно,  . Тогда интеграл будет равен      

Второй интеграл имеет значение       

Таким образом, момент первого порядка M_yz равен      

Отсюда находим координату x_c центра масс:      

В силу симметрии, другие координаты имеют то же самое значение.  
 
Итак, координаты центра масс оболочки имеют вид      

3. Сила притяжения и сила давления

Пусть задана поверхность S, а в точке (x₀, y₀, z₀), не принадлежащей поверхности, находится тело массой m(рисунок 1).

Рис.1		Рис.2

Сила притяжения между поверхностью S и точечным телом m определяется выражением

где  , G - гравитационная постоянная,   − функция плотности. 

Предположим, что поверхность S задана вектором   и находится под воздействием некоторой силы давления (это может быть плотина, крыло самолета, стенка баллона со сжатым газом и т.д.). Полная сила  , созданная давлением  , находится с помощью поверхностного интеграла по формуле

Давление, по определению, действует  в направлении вектора нормали  к поверхности S в каждой точке. Поэтому, мы можем записать

где   − единичный нормальный вектор к поверхности S. 

Пример.

Найти силу притяжения между полусферой с постоянной плотностью μ₀ радиусом r с центром в начале координат и точечной массой m, расположенной в начале координат.

Рассмотрим точку M(x,y,z) полусферы, которая принадлежит малому участку поверхности dS . Силу притяжения   между элементом поверхности dS и массой m можно записать в виде       

где G − гравитационная постоянная,   − единичный вектор, направленный из точки O в точку M.  
Так как  , то можно записать      

После интегрирования по поверхности  полусферы получаем следующие выражения  для компонентов силы притяжения:       

В сферических координатах уравнение  полусферы записывается в виде      

где  .  
Известно, что элемент площади для сферы равен  . Тогда компоненты силы притяжения будут равны      

Заметим, что результат   очевиден вследствие симметрии и однородности поверхности. Поэтому, результирующая сила   направлена вдоль оси Oz.

Пример.

Оценить силу давления, действующую  на дамбу, схематически показанную на рисунке 6 и представляющую собой  резервуар воды шириной W и высотой H.

В условиях гидростатического равновесия давление на поверхность дамбы зависит  от координаты z в соответствии с формулой       

где ρ − плотность воды, g − ускорение свободного падения.  
 
Полная сила давления, действующая на плотину, будет равна      

Вектор   показывает направление действия силы  . Абсолютное значение силы равно      

4. Поток жидкости и вещества через поверхность

Если в качестве векторного поля рассматривается скорость жидкости  , то поток через поверхность S называется потоком жидкости. Он равен объему жидкости, проходящей через поверхность S в единицу времени и выражается формулой

Аналогично, поток векторного поля  , где ρ − плотность, называется потоком вещества и определяется выражением

Он численно равен массе вещества, проходящего через поверхность S в единицу времени.

Пример.

Вязкая жидкость течет в цилиндрической трубе радиусом R со скоростью   (м·с⁻¹), где   − единичный вектор, направленный вдоль оси трубы в сторону потока, r − расстояние от оси, C − некоторая константа. Вычислить поток жидкости через поперечное сечение трубы.

Для определения потока жидкости необходимо вычислить поверхностный интеграл       

Так как векторы   и   сонаправлены, то поток равен

      

Переходя к полярным координатам, получаем      

Последний интеграл можно вычислить  с помощью интегрирования по частям. Полагая      

можно записать      

Таким образом, поток жидкости равен       

5. Электрический заряд, распределенный по поверхности

Пусть величина   является плотностью распределения заряда по поверхности. Тогда полный заряд, распределенный по проводящей поверхности S выражается формулой

6. Электрические поля (теорема Гаусса в электростатике)

Теорема Гаусса

Поток электрического смещения   через замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме всех зарядов, расположенных внутри поверхности:

где  ,   − напряженность электрического поля, ε − относительная диэлектрическая проницаемость среды,   − диэлектрическая проницаемость вакуума.  
Теорема Гаусса применима к любым замкнутым поверхностям. В случае поверхности с достаточной симметрией, данная теорема упрощает вычисление электрического поля. Теорему Гаусса рассматривают как один из основных постулатов теории электричества. Она входит в систему основных уравнений Максвелла. 

Пример.

Определить электрическое поле бесконечной пластины с однородно  распределенным зарядом плотностью σ.

В силу симметрии системы вектор напряженности электрического поля должен быть перпендикулярен поверхности, а величина напряженности должна быть одинакова во всех точках, равноудаленных от пластины.  
 
Рассмотрим условную гауссовскую поверхность в форме цилиндра с поперечным сечением S и высотой 2H. Поток электрического смещения отличен от нуля лишь на основаниях цилиндра. Следовательно,  , где E − электрическое поле в основаниях цилиндра. Полный заряд внутри цилиндрической поверхности равен  . Тогда по теореме Гаусса получаем

      

2. Геометрические приложения.
1. Площадь поверхности

Пусть S является гладкой, кусочно-непрерывной поверхностью. Площадь поверхности определяется интегралом

Если поверхность S задана параметрически с помощью вектора

то площадь поверхности будет  равна

где D(u,v) − это область, в которой задана поверхность.  
 
Если поверхность S задана в явном виде функцией z(x,y), то площадь поверхности выражается формулой

где D(x,y) − проекция поверхности S на плоскость xy.

Пример.

Вычислить площадь поверхности  части параболоида  , лежащей выше плоскости xy.

Площади заданной поверхности равна       

Переходя к полярным координатам, находим ответ:      

2. Объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью

Предположим, что тело ограничено некоторой гладкой, замкнутой поверхностью S. Тогда объем тела определяется по формуле

Пример.

Вычислить объем эллипсоида  .

Для нахождения объема используем формулу       

Поверхность эллипсоида можно представить  в параметричсекой форме следующим образом:      

(Переменные u,v соответствуют сферическим координатам ψ и θ.)  
В формуле для объема векторное поле имеет координаты  , поэтому      

Поскольку      

то получаем следующее выражение  для поверхностного интеграла     

Следовательно, объем эллипсоида равен