Приложения интегралов

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ 
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ

Институт математики естественных наук

 и информационных технологий

 

 

 

 

Курсовая работа на тему:

Приложения интегралов

 

 

 

Выполнил:

Студентка 391гр.

Ворон Е.С.

 

Проверил:

доцент

Губайдуллина Н.А.

 

 

 

 

 

 

 

Тюмень, 2011 

Содержание:

1. Приложения определенного интеграла.
1. Вычисление площади криволинейной трапеции
2. Вычисление объёмов тела, площади сечения которых известны
3. Вычисление длины дуги плоской кривой
4. Вычисление площади поверхностей вращения плоской кривой вокруг неподвижной оси
2. Приложения двойного интеграла.
1. Физические приложения.
1. Масса и статические моменты пластины
2. Моменты инерции пластины
3. Заряд пластины
4. Среднее значение функции
2. Геометрические приложения.
1. Площадь плоской фигуры
2. Объем тела
3. Площадь поверхности
4. Площадь и объем в полярных координатах
3. Приложения тройного интеграла.
1. Физические приложения.
1. Масса и статические моменты тела
2. Моменты инерции тела
3. Тензор инерции
4. Гравитационный потенциал и сила тяготения
2. Геометрические приложения.
1. Вычисление объемов
4. Приложения криволинейного интеграла.
1. Физические приложения.
1. Масса кривой
2. Центр масс и моменты инерции кривой
3. Работа при перемещении тела в силовом поле
4. Магнитное поле вокруг проводника с током (Закон Ампера)
5. Электромагнитная индукция в замкнутом контуре при изменении магнитного потока (Закон Фарадея)
2. Геометрические приложения.
1. Длина кривой
2. Площадь области, ограниченной замкнутой кривой
3. Объем тела, образованного вращением замкнутой кривой относительно некоторой оси
5. Приложения поверхностного интеграла.
1. Физические приложения.
1. Масса оболочки
2. Центр масс и моменты инерции оболочки
3. Сила притяжения и сила давления
4. Поток жидкости и вещества через поверхность
5. Электрический заряд, распределенный по поверхности
6. Электрические поля (теорема Гаусса в электростатике)
2. Геометрические приложения
1. Площадь поверхности
2. Объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью

 

 

 

 

1. Приложения определенного интеграла.

 

1. Вычисление площади криволинейной трапеции

 

Пример. 

Вычислить площадь ограниченную эллипсом   

Ввиду очевидной симметрии эллипса  относительно осей координат, достаточно вычислить четвёртую часть площади, расположенную в правом верхнем  квадранте.

Из уравнения эллипса находим y как функцию от x: 

Тогда площадь эллипса вычисляем  по формуле:

 

Сделав замену x=asint,   получим интеграл: 

 

2. Вычисление объёмов тела, площади сечения которых известны

 

Пусть для некоторого тела в пространстве известно значение S(x) – площади сечения этого тела плоскостью, проходящей через точку x’ и параллельной плоскости OYZ.

Тогда объём этого тела может  быть вычислен по формуле 

 

Пример. Вычислить объём эллипсоида 

В сечении эллипсоида плоскостью, проходящей через точку x,   параллельной плоскостью OYZ будет эллипс:   или 

Как было доказано в предыдущем примере, площадь S(x) этого эллипса равна 

Следовательно, объём эллипсоида можно  вычислить по формуле:

 

3. Вычисление длины дуги плоской кривой

Пусть кривая Г задана на плоскости OXY уравнением y=y(x),   и 

Тогда длинна этой кривой может быть вычислена по формуле:

Пример. 

Вычислить длину окружности x² + y² = R².

В силу симметрии окружности относительно осей координат, достаточно длину четверти окружности, лежащей в первом квадранте. Выражая из уравнения окружности y как функцию от x:   и подставляя значение   в формулу для вычисления длинны дуги кривой, получим равенство:

 

4. Вычисление площади поверхностей вращения плоской кривой вокруг неподвижной оси

Пусть кривая Г, заданная как и выше уравнением y=y(x),  ,   вращается вокруг оси OX. Тогда площадь поверхности вращения этой кривой может быть вычислена по формуле:

Пример. 

Вычислить площадь поверхности  сферы x² + y² + z² = R².

Площадь поверхности сферы можно  представить как площадь поверхности  вращения кривой      вокруг оси OX.

Пользуясь формулой для площади  поверхности вращения кривой вокруг оси OX, получим значение площади поверхности сферы:

 

2. Приложения двойного интеграла.

 

1. Физические приложения.
1. Масса и статические моменты пластины

Предположим, что плоская пластина изготовлена из неоднородного материала  и занимает область R в плоскости Oxy. Пусть плотность пластины в точке (x, y) в области R равна  . Тогда масса пластины выражается через двойной интеграл в виде

Статический момент пластины относительно оси Ox определяется формулой

Аналогично находится статический момент пластины относительно оси Oy :

Координаты центра масс пластины, занимающей область R в плоскости Oxy с плотностью, распределенной по закону  , описываются формулами

Для однородной пластины с плотностью   для всех (x, y) в области R центр масс определяется только формой области и называется центроидом.

 

Пример. Определить координаты центра тяжести однородной пластины, образованной параболами   и  .

 

Заданная пластина имеет форму, показанную на рисунке. Поскольку пластина однородна, то можно положить  . Тогда масса пластины равна

      

Найдем теперь статические моменты  относительно осей Ox и Oy.      

Вычисляем координаты центра масс.      

2. Моменты инерции пластины

Момент инерции пластины относительно оси Ox выражается формулой

Аналогично вычисляется момент инерции пластины относительно оси Oy :

Полярный момент инерции пластины равен

Пример. Вычислить моменты инерции треугольника, ограниченного прямыми    и имеющего плотность  .

Найдем момент инерции пластины относительно оси Ox.      

Аналогично вычислим момент инерции  относительно оси Oy.      

3. Заряд пластины

Предположим, что электрический  заряд распределен по области R в плоскости Oxy и его плотность распределения задана функцией  . Тогда полный заряд пластины Q определяется выражением

Пример. Электрический заряд по площади диска   таким образом, что его поверхностная плотность равна  . Вычислить полный заряд диска.

 
В полярных координатах область, занятая  диском, описывается множеством  . Полный заряд будет равен      

4. Среднее значение функции

Приведем также формулу дял расчета среднего значения некоторой распределенной величины. Пусть f (x,y)является непрерывной функцией в замкнутой области R в плоскости Oxy. Среднее значение функции μфункции f (x,y) в области R определяется формулой

 

где   − площадь области интегрирования R.

2. Геометрические приложения.

 

1. Площадь плоской фигуры

Если f (x,y) = 1 в интеграле  , то двойной интеграл равен площади области интегрирования R.  
 
Площадь области типа I (элементарной относительно оси Оy) выражается через повторный интеграл в виде

                       

Аналогично, площадь области типа II (элементарной относительно оси Оx) описывается формулой

                    

Пример.

Найти площадь области R, ограниченной гиперболами   и вертикальными прямыми  .

 

Область R схематически показана на рисунке.  Используя формулу для площади области I типа

      

получаем      

Пример.

Вычислить площадь области R, ограниченной линиями  .

 

Сначала определим точки пересечения  двух заданных линий.

      

Следовательно, координаты точек пересечения  равны      

Область R представлена на рисунке 5 выше. Будем рассматривать ее как область типа II. Для вычисления площади преобразуем уравнения границ:      

Получаем      

2. Объем тела

Если f (x,y) > 0 в области интегрирования R, то объем цилиндрического тела с основанием R, ограниченного сверху поверхностью z = f (x,y), выражается формулой

В случае, когда R является областью типа I, ограниченной линиями   , объем тела равен

Для области R типа II, ограниченной графиками функций  , объем соответственно равен

Если в области R выполняется неравенство  , то объем цилиндрического тела между поверхностями z₁ = f (x,y) и z₂ = g (x,y) с основанием R равен

Пример.

Найти объем тела в первом октанте, ограниченного плоскостями 

Из рисунка видно, что основание R является квадратом. Для заданных x, y значение z изменяется от z = x до z = 4 − x. Тогда объем равен      

3. Площадь поверхности

Предположим, что поверхность задана функцией z = f (x,y), имеющей область определения R. Тогда площадь такой поверхности над областью z определяется формулой

 

при условии, что частные производные   и   непрерывны всюду в области R.

Пример.

Вычислить площадь cферы радиуса a.

 

Рассмотрим верхнюю полусферу. Ее уравнение имеет вид      

Очевидно, область интегрирования R представляет собой круг с таким же радиусом a, расположенный в центре координат. Площадь полусферы вычисляется по формуле      

Найдем частные производные.      

Подставляя найденные производные, получаем      

Преобразуем двойной интеграл в  полярные координаты.      

Площадь поверхности полной сферы, соответственно, равна      

4. Площадь и объем в полярных координатах

Пусть S является областью, ограниченной линиями   (рисунок 3). Тогда площадь этой области определяется формулой

                  

Объем тела, ограниченного сверху поверхностью   с основанием S, выражается в полярных координатах в виде

Пример.

Найти площадь лепестка розы, заданной уравнением  .

 

Рассмотрим лепесток в секторе   Область интегрирования имеет вид  . Следовательно, площадь данной фигуры в полярных координатах равна

Пример.

Используя полярные координаты, найти  объем конуса высотой H и радиусом основания R.

Сначала получим уравнение поверхности  конуса. Используя подобные треугольники, можно записать

Следовательно,

Тогда объем конуса равен

 

3. Приложения тройного интеграла.

 

1. Физические приложения.
1. Масса и статические моменты тела

Пусть тело занимает объем U и его объемная плотность в точке M(x,y,z) задана функцией ρ(x,y,z). Тогда масса тела m вычисляется с помощью тройного интеграла:

Статические моменты тела относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz выражаются формулами

Координаты центра тяжести тела вычисляются по формулам:

Если тело является однородным с  плотностью ρ(x,y,z) = 1 для точек M(x,y,z) в области U, то центр тяжести тела зависит только от геометрии тела и называется центроидом.