Прикладная математика

Таблица 3

x	0	100	200	300	400	500	600	700
F2(x)	0	15	30	41	52	61	70	77
x2(x)	0	0	100	100	100	100	200	200
x2(x)	0	100	100	100	100	200	200	200

Таблица 4

x-х3		0	100	200	300	400	500	600	700
Х3	F(x-x3) f2(x3)	0	15	30	41	52	61	70	77
0	0	0	15*	30*	41	52	61	70	77
100	9	9	24	39	50	61	70	79	---
200	30	30*	45*	60*	71*	82*	91*	---	---
300	33	33	48	63	74	85	---	---	---
400	31	31	46	61	72	---	---	---	---
500	39	39	54	69	---	---	---	---	---
600	45	45	60	---	---	---	---	---	---
700	49	49	---	---	---	---	---	---	---

Таблица 5

x	0	100	200	300	400	500	600	700
F3(x)	0	15	30	45	60	71	82	91
X3(x)	0	0	0	200	200	200	200	200
X3(x)	0	0	200	200	200	200	200	200

 

 

Таблица 5

x-х4		0	100	200	300	400	500	600	700
Х4	F(x-x4) f2(x4)	0	15	30	45	60	71	82	91
0	0								91
100	24							106	---
200	36						107	---	---
300	42					102	---	---	---
400	46				91	---	---	---	---
500	48			78	---	---	---	---	---
600	49		64	---	---	---	---	---	---
700	49	49	---	---	---	---	---	---	---

Z_max = 107 тыс. руб.,

причем  четвертому предприятию должно быть выделено

х₄* = х₄(700) = 200 тыс. руб.

На долю остальных  трех предприятий остается 500 тыс. руб. Из Таблицы 5 видно, что третьему предприятию  должно быть выделено

х₃* = х₃(700 - х₄*) = х₃(500) = 200 тыс. руб.

Продолжая обратный процесс, находим

х₂* = х₂(700 - х₄* - х₃*) = х₂(300) = 100 тыс. руб.

На долю первого предприятия  останется

х₁* = 700 - х₄* - х₃* - х₂* = 200 тыс. руб.

Таким образом, наилучшим является следующее распределение капитальных  вложений по предприятиям:

х1* = 200;	Zmax = 107
х2* = 100;
х3* = 200;
х4* = 200

 

Этот  план обеспечивает производственному  объединению наибольший возможный  прирост прибыли 107 тыс. руб.

В качестве проверки правильности решения  задачи можно использовать равенство

f₁(x₁*) + f₂(x₂*) + f₃(x₃*) + f₄(x₄*) = Z_max

f₁(200) + f₂(100) + f₃(200) + f₄(200)  = 26 + 15 + 30 + 36 = 107 = Z_max

Следовательно, полученные решения верны.

 

6. Матричная игра как  модель конкуренции и сотрудничества

Первый и Второй игроки играют в  матричную игру с матрицей А = (a_ij). Стратегия первого есть P, а стратегия второго – Q.

В нашем случае имеем:

Седловой точки нет, что легко  видеть:

					min aij
	1	-2	4	3	-2
	4	1	-2	-3	-3
max aij	4	1	4	3

-2 ≠ 1

Для начала необходимо свести нашу игру (2*4) к игре 2*2. Для  этого необходимо графическое решение.

Отсюда видно, что данная матричная  игра сводится к следующему варианту:

-2	3	p1
1	-3	p2
q1	q2

 

 

Имеем

_{Понятно, что  p1 = 1 – p2. Отсюда}

-2 + 2p₂ + p₂ = 3 – 3p₂ – 3p₂

-2 + 3p₂ = 3 – 6p₂

9p₂ = 5   =>  p₂ = 5/9, p₁ = 4/9

Аналогично с q₁ и q₂. Получаем q₁ = 2/3, q₂ = 1/3

Пару оптимальных стратегий  для каждого из игроков:

P* = (4/9, 5/9)

Q* = (2/3, 1/3)

Рассчитаем цену игры υ, получаем:

υ = -2 * 4/9 + 1 * 1/5 = -8/9 + 5/9 = -3/9 = -1/3

Цена игры есть математическое ожидание случайной величины W(P,Q), а, учитывая, что выигрыш одного есть проигрыш другого, имеем:

υ = m₁ = m₂

Рассчитаем риски игры r для Первого и Второго игроков:

r = δ = √D, D(x) = M(x²) – M²(x)

D₁ = 4 * 4/9 + 5/9 – (-1/3)2 = 16/9 + 5/9 – 1/9 = 20/9

δ₁ = √20/9 = 2√5/3 . 1,5

r₁ = δ₁ = 1,5

D₂ = 9 * 4/5 + 9 * 5/9 –1/9 = 4 + 5 – 1/9 = 80/9

δ ₂ = √80/9 = 4√5/3 . 3

r ₂ = δ₂ = 3

Рассчитаем среднюю дисперсию  и риск:

D = 4 * 4/9 * 2/3 + 5/9*2/3 + 9 * 4/9 * 1/3 + 9 * 5/9 * 1/3 –  (-1/3)2 = 32/27 + +10/27 + 36/27 + 45/27 – 1/9 = 120/27 = 40/9

δ = √40/9 = 2√10/3 . 2,1

R = δ = 2,1

 

7. Анализ доходности  и риска финансовых операций

Почти всегда финансовые операции проводятся в условиях неопределённости и потому их результат невозможно предсказать  заранее. Поэтому финансовые операции раскованы, т.е. при их проведении возможны как прибыль, так и убыток (или  не очень большая прибыль по сравнению  с той, на что надеялись проводившие  эту операцию).

Как оценить операцию с точки  зрения её доходности и риска? Для  этого существует несколько разных способов. Наиболее распространённым является представление дохода операции как случайной величины и оценка риска операции как среднего квадратического  отклонения этого случайного дохода.

Проведём анализ доходности и риска  финансовых операций. В нашем случае даны четыре операции, известны доходы и вероятности получения этих доходов:

Q1:	0	8	12	24
	1/4	1/4	1/3	1/6

 

Q2:	-6	-2	0	-6
	1/4	1/4	1/3	1/6

 

Q3:	0	2	4	16
	1/3	1/3	1/6	1/6

 

Q4:	-6	-5	-4	3
	1/3	1/3	1/6	1/6

Найдём средние ожидаемые доходы Qi и риски ri операций по соответствующим  формулам:

Q = 3 q_ip_i, где p_i есть вероятность получить доход q_i.

r_i = √D_i, где Di = M(Q²) – Q².

Q₁ = 2 + 4 + 4 = 10; D₁ = 16 + 48 + 96 – 100 = 60; r₁ = √60 . 7,7

Q₂ = -3/2 – 1/2 - 1 = -3; D₂ = 9 + 1 + 6 – 9 = 7; r₂ = √7 . 2,6

Q₃ = 2/3 + 2/3 + 8/3 = 4; D₃ = 4/3 + 16/6 + 256/6 – 16 .30/7; r₃ = √30,7 . 5,5

Q₄ = -2 – 5/3 – 2/3 + 1/2 . -3,8; D₄ = 12 + 25/3 + 16/6 + 9/6 – 14,5 . 10;

r₄ = √10 . 3,2

Нанесём средние ожидаемые доходы Q и риски r на плоскость.

Получили 4 точки. Чем правее точка (Q; r), тем более доходная операция, чем точка выше – тем более она рисковая. Нужно выбирать точку правее и ниже. Точка (QN; rN) доминирует над точкой (Q; r), если QN $ Q и rN $ r и хотя бы одно из этих неравенств строгое.

В нашем случае, например, 2-ая доминирует над 4-ой.

Для нахождения лучшей операции иногда применяют подходящую взвешивающую формулу, которая даёт одно число, по которому и определяют лучшую операцию. По нашему условию такая формула  есть φ(Q) = 2Q-r. Тогда получаем:

φ(Q₁) = 20 – 7,7 = 12,3

φ(Q₂) = - 6 – 2,6 = -8,6

φ(Q₃) = 8 – 5,5 = 2,5

φ(Q₄) = -7,6 – 3,2 = -10,8

На основе этого видно: лучшей операцией  является операция №1, а худшей –  операция №4.

 

8. Задача формирования  оптимального портфеля ценных  бумаг

Перед нами стоит задача сформировать оптимальный портфель заданной эффективности  из трёх видов ценных бумаг: безрисковых  эффективности 2 и некоррелированных  рисковых ожидаемой эффективности 4 и 9 и рисками 8 и 12. Определить, как  устроена рисковая часть оптимального портфеля, а также при какой  ожидаемой эффективности портфеля возникает необходимость в операции “short sale” и с какими ценными бумагами.

При исследовании финансового рынка  дисперсию иногда называют вариацией  V и рискованность обычно отождествляют со средним квадратическим отклонением.