Прикладная математика

При выполнении оптимальной  производственной программ второй и  третий  ресурсы используются полностью, то есть образуют “узкие места производства”. Будем заказывать их дополнительно. T = (t₁, t₂, t₃) – вектор дополнительных объёмов ресурсов.

Итак, необходимо составить  план “расшивки узких мест“ производства, то есть указать, сколько единиц каждого  из дефицитных видов ресурсов должно быть приобретено, чтобы суммарный  прирост прибыли был максимальным при условии, что для расчетов используются найденные двойственные оценки ресурсов.

Так как мы используем найденные оценки ресурсов, то должно выполняться условие:

H + Q^-1T ³ 0

Задача состоит в том, чтобы найти вектор Т(t₁;0;t₂), максимизирующий суммарный прирост прибыли W = 7t₁ + 5t₃ при условии сохранения двойственных оценок ресурсов (и, следовательно, структуры производственной программы).

Обращённый базис Q, соответствующий  оптимальной производственной программе, содержатся в последней симплексной таблице в первой, второй, третьей строках восьмого, девятого и десятого столбцов:

Подставив соответствующие значения, получим требуемую математическую модель:

предполагая, что дополнительно  можно надеяться получить не более 1/3 первоначального объёма ресурса  каждого вида, то есть

 

причём по смыслу задачи t₂  ³ 0, t₃ ³ 0. Перепишем неравенства в другом виде. Получим:

W = 7t₁ + 5t₃ Y max

   t₁ # 275/3, t₃ # 85/3    t₁ # 275/3, t₃ # 85/3

По графику видно, что  решение данной задачи находится  в точке А(11,3;28,3). Таким образом, программа «Расшивки узких мест производства» имеет вид: t₁=11,3, t₂=0, t₃=28,3 и прирост прибыли составит W = 7*11,3 + 5*28,3 = 220,6

Сводная таблица результатов:

Cj	50	27	34	54	Bi	X4+i	Yi	Ti
	5	4	6	7	275	0	7	11,3
aij	2	0	4	2	100	10	0	0
	3	2	0	1	85	0	5	28,3
Xj	20	0	0	25	2350			220,6
Dj	0	11	8	0

 

4. Транспортная задача  линейного программирования

Имеется 3 производителя  однородной продукции, имеющие запасы этой продукции 70, 50 и 54 единицы соответственно. Также имеется 4 потребителя данной продукции. Их потребность составляет 50, 27, 34 и 54 единицы соответственно. Транспортная компания заключила контракт с поставщиками и потребителями на вывоз и  поставку данной продукции от производителей к потребителям. При перевозке  продукции от каждого производителя  к каждому потребителю транспортная компания имеет определённые издержки на единицу продукции: 5 у.е. при перевозке  от 1-ого производителя к 1-ому  потребителю, 4 у.е. - от 1–ого производителя  ко 2-ому потребителю, 6 у.е. – от 1-ого  к 3-ему, 7 у.е. – от 1-ого к 4-ому, 7 у.е. – от 2-ого к 1-ому, 3 у.е. – от 2-ого  ко 2-ому, 4 у.е. – от 2-ого к 3-ему, 2 у.е. – от 2-ого к 4-ому, 3 у.е. – от 3-его  к 1-ому, 2 у.е. – от 3-его ко 2-ому, 5 у.е. – от 3-его к 3-ему, 1 у.е. – от 3-его  к 4-ому. Так как естественным стремлением  транспортной компании является максимизация прибыли, то требуется составить  такой план перевозок, чтобы издержки были минимальными.

Можно записать эти  издержки на единицу продукции  в  виде матрицы, где строка издержки при  поставке от одного производителя к  каждому потребителю, а столбец  издержки при поставке к одному потребителю  от каждого производителя:

Предложение производителей и спрос потребителей можно записать в виде векторов А и B соответственно:

 и 

Требуется найти  план перевозок

X = (x_ij), i = 1,m; j = 1,n,

минимизирующий  общую стоимость всех перевозок

L = 33c_ijx_ij

При условии, что из любого пункта производства вывозится весь продукт

3x_ij = a_i, i = 1,m

И любому потребителю доставляется необходимое  количество груза

3x_ij = b_j, j = 1,n

Причём  по смыслу задачи

x₁₁ > 0,…, x_mn > 0

В нашей задаче 4 потребителя и 3 поставщика, причём суммарный объем производства Sa_i = 70 + 50 + 54 = 174 больше, чем требуется всем потребителям            Sb_i = 50 + 27 + 34 + 54 = 165. Суммарное предложение не больше суммарного спроса. Для того, чтобы они были равны введём фиктивного потребителя с потреблением равным разнице между предложением и спросом.. Фактически эта потребность будет указывать на количество продукции, которая не будет вывозиться от производителя. Для того, чтобы введение фиктивного потребителя не повлияло на решение, затраты на перевозку единицы продукции к фиктивному потребителю приравняем к 0. В действительности это будет также, так как транспортная компания не будет нести издержки за товар, который она никуда не возит. Тогда вектор В и матрица С будут выглядеть так:

 и 

50 + 27 + 34 + 54 + 9 = 70 + 50 + 54

ПН ПО	50		27		34		54		9		αi
70	5	5	4	4	5	6	3	7	2	0	α1 = 0
	50		20
	0		0		-1		-4		2
50	4	7	3	3	4	4	2	2	1	0	α2 = -1
			7		34		9
	-3		0		0		0		1
54	3	3	2	2	3	5	1	1	0	0	α3 = -2
							45		9
	0		0		-2		0		0
βj	β1 = 5		β2 = 4		β3 = 5		β4 = 3		β5 = 2

Z_опор = 250 + 80 + 21 + 136 + 18 + 45 = 550

Для заполненных  клеток α _i + β _j = C_ij, для них D_ij = 0

Для незаполненных  клеток  D_ij= α _i + β _j - c_ij

Так как не все характеристики отрицательны (например, D₁₅ = 2), то для найденной свободной клетки строим цикл пересчёта. Производим перераспределение поставок вдоль цикла пересчета:

ПН ПО	50		27		34		54		9		αi
70	5	5	4	4	5	6	3	7	0	0	α1 = 0
	50		11						9
	0		0		-1		-4		0
50	4	7	3	3	4	4	2	2	-1	0	α2 = -1
			16		34		0
	-3		0		0		0		-1
54	3	3	2	2	3	5	1	1	0	0	α3 = -2
							54
	0		0		-2		0		0
βi	β1 = 5		β2 = 4		β3 = 5		β4 = 3		β5 = 0

Решение оптимально, так как все D # 0.

Ответ: При этом 9 единиц продукции остаются у 1-ого производителя.

Z_опт = 250 + 44 + 48 + 136 + 54 = 532

DZ = Z_опор – Z_опт = 550 – 532 = 18

 

5. Динамическое программирование. Распределение капитальных вложений

Динамическое программирование - это  вычислительный метод для решения задач управления определённой структуры. Данная задача с n переменными представляется как много шаговый процесс принятия решений. На каждом шаге определяется экстремум функции только от одной переменной.

Рассмотрим нелинейную задачу распределения  ресурсов между предприятиями отрасли. Предположим, что указано n пунктов, где требуется построить или реконструировать предприятия одной отрасли, для чего выделено b рублей. Обозначим через f_j(x_j) прирост мощности  или прибыли на  j-том предприятии, если оно получит x_j рублей капвложений. Требуется найти такое распределение (х₁, х₂, ..., х_n) капвложений между предприятиями, которое максимизирует суммарный прирост мощности или прибыли

Z=f₁(x₁)+f₂(x₂)+...+f_n(x_n)

при ограничении по общей сумме капвложений х₁ + х₂ +...+х_n = b, причём будем считать, что все переменные x_j принимают только целые значения x_j =1,2,...

Функции f_j(x_j) мы считаем заданными, заметив, что их определение -довольно трудоёмкая экономическая задача.

Воспользуемся методом динамического программирования для решения этой задачи.

Введём параметр состояния и  определим функцию состояния. За параметр состояния x  примем количество рублей, выделяемых нескольким предприятиям, а функцию состояния F_k(x) определим как максимальную прибыль на первых  k  предприятиях, если они вместе получат x рублей. Параметр x может меняться от 0 до b. Если из x рублей k-ое предприятие получит Х_к  рублей, то каково бы ни было это значение, остальные x-Х_к  рублей естественно распределить между предприятиями от 10-го до (к-1)-го предприятия, чтобы была получен максимальная прибыль F_k-1(x-x_k). Тогда прибыль k предприятий будет равна f_k(x_k) + F_k-1(x-x_k). Надо выбрать такое значение x_k между 0 и x, чтобы эта сумма была максимальной, и мы приходим к рекуррентному соотношению:

F_k(x) = max {f_k(x_k) + F_k-1(x-x_k)}

         0 £ X £ x

для k=2,3,....,n .Если же k=1 ,то

F₁(x)=f₁(x).

В нашем случае производственное объединение  состоит из 4-х предприятий (k=4).Общая сумма капвложений равна 700 тыс. рублей (b=700) , выделяемые предприятиям суммы кратны 100 тыс. рублей.

Значения функций f_j(x_j) приведены в таблице 1.

Таблица 1

xj	0	100	200	300	400	500	600	700
f1(xj)	0	15	26	37	46	53	59	63
f2(xj)	0	15	24	30	36	40	43	45
f3(xj)	0	9	30	33	31	39	45	49
f4(xj)	0	24	36	42	46	48	49	49

 

Прежде всего заполняем таблице2. Значения f₂(x₂) складываем со значениями F₁(x-x₂)=f₁(x-x₂) и на каждой побочной диагонали находим наибольшее число, которое помечаем звёздочкой. Продолжая процесс табулируем функции F₃(x), x₃(x) и т.д. В таблице 6 заполняем только одну диагональ для значения x=700.

Таблица 2

x-х2		0	100	200	300	400	500	600	700
X2	F(x-x2) f2(x2)	0	15	26	37	46	53	59	63
0	0	0	15*	26	37	46	53	59	63
100	15	15*	30*	41*	52*	61*	68	74	---
200	24	24	39	50	61*	70*	77*	---	---
300	30	30	45	56	67	76	---	---	---
400	36	36	51	62	73	---	---	---	---
500	40	40	55	66	---	---	---	---	---
600	43	43	58	---	---	---	---	---	---
700	45	45	---	---	---	---	---	---	---