Полярная система координат на плоскости

Исследований  графиков функции  в полярной системе  координат.

  Общий вид функции, заданной уравнением в  полярных координатах:                                                      а в неявном виде Функцию    можно исследовать в полярной системе координат путём сравнения её с функцией в декартовой системе координат, которую получаем из первой, меняя в ней на  , а на  . Тогда естественно, что исследование функции   можно выполнять по схеме исследования функции.

       Отметим некоторые особенности графика функции  , сравнивая его с графиком соответствующей функции   . 

        Область определения  функции     соответствует области определения   функции   . Особым  точкам   функции соответствуют особые точки      функции.

Симметрия.

   а) Пусть  - чётная функция. Вследствие равенства имеем, что точкам A(x;y) и B(-x;y) кривой  соответствуют точки   и (рис. 15)  кривой , а точкам  A(x;-y) и B(-x;-y) (рис.16) — точки   и  .   

                                                 Рис. 15

                                                  Рис. 16                                                                                                                        
 
 
 

б) Пусть  - нечётная функция. Тогда точкам  A(x;y) и B(-x;-y), симметричным относительно начала координат в декартовой системе координат, соответствуют точки и , симметричные относительно полюса в полярной системе координат (рис .17), а точкам   A(-x;y) и B(x;-y) в декартовой системе координат соответствуют точки и   в полярной системе координат (рис.18) .                                                          

                                                   Рис. 17 

                                                     Рис. 18 
 
 
 
 

в) Если кривая      симметрична относительно оси абсцисс      при x>0, то точкам   A(x;y) и B(x-;y) этой кривой в декартовой системе координат соответствуют точки    и кривой          в полярной системе координат (рис.19).

                                                     Рис. 19

г)  Если кривая   симметрична относительно оси абсцисс при x<0, то точкам   A(-x;y) и B(-x;-y) этой кривой в декартовой системе координат соответствуют точки  и       (рис.20).

                                                   Рис. 20

   Период функции  такой же, как и период функции . Отсюда следует, что достаточно построить график функции в секторе с углом при вершине, равным периоду,  а затем с   помощью постепенного поворота на углы, кратные периоду, построить искомый график.

   Если функция  ограничена (), то, как известно,  график  этой функции располагается  между   прямыми y=M   и y=N.   

   Для соответствующей функции     справедливо неравенство        , и  график  функции    располагается в кольце,   внутренний  радиус  которого равен М, а внешний - N.  

    Если функция    имеет экстремум при   , то функция             имеет экстремум при .   Если  функция  убывает в некотором промежутке, то в полярной системе координат для функции     при движении по часовой стрелке радиус уменьшается, а при движении против часовой стрелки — увеличивается.   

     Горизонтальная  асимптота   y=c  кривой  в декартовой системе координат переходит в асимптотическую окружность в полярной системе координат. В частности, если с = О, то окружность вырождается в точку.

      Вертикальная асимптота х = b кривой   в декартовой системе координат переходит в общем случае в луч в полярной системе координат. В частности, если  b = 0 ,  то  асимптота х = 0  переходит в полярную  ось в полярной системе координат; если  и ,  где k - некоторое целое число, то асимптота х = b переходит в вертикальный луч  .

     Наклонная асимптота   кривой    в декартовой системе координат переходит в  спираль  Архимеда   в полярной системе координат.  В частности, асимптота у = ах кривой   переходит в спираль Архимеда   .

    Замечание. Для  построения  графика  функции    при значениях , соответствующих таким значениям x ,  при которых f(x) < 0,  достаточно  построить график   функции. Затем по этому графику строят кривую в полярной системе координат и поворачивают ее вокруг полюса  на угол  . Получают кривую, соответствующую отрицательным значениям функции .

     Следовательно,  построение  кривой  надо  вначале выполнить для ,  соответствующих значениям х, при  которых  , а затем строить кривую   для ,  соответствующих значениям х, при которых   . 

     В заключение заметим, что полярные координаты широко применяются при определении  длин кривых, площадей фигур, объемов  и площадей поверхностей тел вращения, а также в задачах на определение  центра масс и момента инерции  тела. Рассмотренные кривые  нередко  возникают при решении различных  задач в электротехнике, акустике, гидростатике и механике. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Список  литературы 

1.   П.С. Александров. “Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми сведениями из алгебры”. Из-во “Наука”, главная редакция физико-математической литературы. Москва 1968. 

2.  Вирченко Н.А., Ляшко И.И., Швецов К.Н. “Графики функций. Справочник”. Киев 1979. 

3.  Канатников А.Н., Крищенко А.П. “Аналитическая геометрия”. Москва. Издаиельство МГТУ им. Н.Э. Баумана 2002. 

4.  А.В. Погорелов. “Аналитическая геометрия”. Москва 1968.

5. Д. В. Клетеник. "Сборник задач по аналитической геометрии". М., Наука, Физматлит, 1998.

6. Ильин В.А., Позняк Э.Г. “Аналитическая геометрия.”  М.: Наука. Физматлит, 1999.

7. Полозюк О.Е. “Конспект лекций по высшей математике”. Пособие для вузов . Донецк , 2001 .