Полярная система координат на плоскости

у всех точек  правой ветви гиперболы полярный угол  заключён в пределах            , так что       

4. Кривые в полярных координатах: Кохлеоида, Строфоида, спираль Архимеда,  логарифмическая спираль и др.

4.1. Кохлеоида.

      Кохлеоида –  трансцендентная кривая, уравнение которой в полярных координатах:

                                                   

     Кохлеоида имеет бесчисленное множество завитков, проходящих через полюс и касающихся полярной оси (рис.7).

                                                                                 

                                                Рис. 7

  Опишем способ построения дуги Кохлеоиды.

     Рассмотрим окружности  радиуса  , касающиеся данной прямой в точке О. Отложим на каждой из них от точки О против часовой стрелки  дугу длины   . Множество точек М ( концов этих дуг) — дуга кохлеоиды.  и (рис.8), то (O₁ - центр  большей окружности). Получаем

                                    

                                                   

                                                   Рис.8

4.2. Строфоида

     Строфоида (от греч. στροφή — поворот) — алгебраическая кривая   3-порядка. Строится так (рис.9):

   даны точка О и прямая, находящаяся от точки О на расстоянии ОА = а. Вокруг точки О вращается луч, пересекающий прямую в переменной точке В. Строфоида - множество точек М_i, i = 1, 2, таких, что BМ₁ = BМ₂ = AB.

                                                           Рис. 9

Уравнение строфоиды  в полярной системе координат:

                                             

( Из истории:

Считается, что строфоида  впервые была рассмотрена  французским математиком  Жилем Робервалем в 1645 году. Роберваль  называл эту кривую — «птероида» (от греч. πτερον— крыло). Название «строфоида» было введено в 1849 году. 

4.3. Спираль Архимеда

     Спираль Архимеда - плоская кривая, которую описывает точка, движущаяся равномерно-поступательно от центра 0 по равномерно-вращающемуся радиусу.

     Поместим  точку на секундную стрелку часов  и будем перемешать точку вдоль  секундной стрелки с постоянной скоростью, не обращая внимания на равномерное  движение стрелки часов по кругу. Тогда точка опишет кривую, называемую спиралью Архимеда. Изобретение этой кривой приписывается Конону Самосскому, хотя ее основные свойства описал именно Архимед. Ему (Архимеду), в частности, было известно, что расстояние между двумя последовательными витками спирали является постоянной величиной и равно 2π (рис. 10).

     Пусть а>0. Будем задавать углу всевозможные значения . Множество всех точек с полярными координатами и (т.е. множество всех точек с координатами, где       пробегает   все значения  ), образует кривую, называемую спиралью Архимеда.

     

Рис. 10

     Уравнение Архимедовой спирали в полярной системе координат записывается так:

                                       

     Форму спирали Архимеда имеют звуковая дорожка на грампластинке и одна из деталей швейных машин - механизм для равномерного наматывания ниток на шпульку. 

4.4.Логарифмическая  спираль

     Логарифми́ческая  спира́ль или изогональная спираль — особый вид спирали, часто встречающийся в природе. Логарифмическая спираль была впервые описана Декартом и позже интенсивно исследована Бернулли, который называл её Spira mirabilis, «удивительная спираль».

     В полярных координатах кривая может  быть записана как

                                  или    ,

что и объясняет название «логарифмическая» (рис.11).

Рис. 11 

     Логарифмическую спираль описывает точка, движущаяся по секундной стрелке не с постоянной скоростью (как в случае архимедовой  спирали), а с возрастающей, причем это возрастание пропорционально расстоянию от центра часов.

     Логарифмическая спираль обладает рядом интересных свойств:

     •расстояния между последовательными витками образуют геометрическую прогрессию;

     •последовательность длин радиусов, образующих одинаковые углы друг с другом, также составляет геометрическую прогрессию;

     •образующиеся в процессе расширения секторы, отсекаемые такими радиусами, подобны друг другу.

     Логарифмическая спираль часто встречается в природе и связана с определенными видами роста. У очень многих моллюсков последовательные витки раковины не одинаковы, а все более и более утолщаются. Во многих случаях приближенные значения толщины последовательных витков образуют геометрическую прогрессию. Хотя саму раковину моллюска нельзя назвать живой, она образуется растущим организмом. Один из простейших способов наращивания нового вещества автоматически приводит к образованию некоторой фигуры, очень близкой к логарифмической спирали. Во многих раковинах обнаруживается поразительно близкое совпадение между результатами измерений и теоретическими значениями, ожидаемыми для точной логарифмической спирали. Труба, подводящая струю воды к лопастям турбинного колеса гидроэлектростанции, имеет профиль, очерченный по дуге логарифмической спирали. Это позволяет обеспечить минимальные потери энергии на изменение направления течения, и, следовательно, напор воды используется с максимальной производительностью.

     В истории математики логарифмическая  спираль упоминается впервые  в 1638 г. Декартом, который определял  новую спираль как линию, у  которой отношение длины дуги к соответствующему радиус-вектору  является постоянным.

     Далее рассмотрим несколько примеров кривых, полярные уравнения которых содержат тригонометрические функции. Построение этих кривых можно выполнить по точкам, где  принимает значения от 0 до 2π. 

4.5.Семейство роз Гранди

     ,

где k - положительная постоянная.

     В XVIII в. итальянский геометр Гвидо Гранди (1671—1742) создал розы. Розы Гранди радуют нас правильными и плавными линиями, но их очертания не каприз природы — они предопределены специально подобранными математическими зависимостями. Семейство роз Гранди имеет свойство, которое в природе не сразу и заметишь: так как , то вся кривая расположена внутри круга единичного радиуса. В силу периодичности тригонометрических функций роза состоит из одинаковых лепестков, симметричных относительно наибольших    радиусов, каждый из которых равен 1. 

     

     Рис. 12 

     Наиболее  красивые «цветы» получаются при  k = 2 (четырехлепестковая роза) и при k = 3 (трехлепестковая роза) (рис.12). 
 
 

4.6.Лемниската Бернулли 

     Лемниската  Бернулли — одна из самых замечательных  алгебраических линий. Из уравнения  следует, что кривая состоит из двух симметричных лепестков (по внешнему виду эта кривая напоминает перевернутую восьмерку или бантик). Для точек  лемнискаты должно выполняться неравенство

     ,

 поэтому  она расположена между прямыми . Отметим также, что   при .

     Лемниската  Бернулли обладает рядом оригинальных геометрических и механических свойств:

     • угол, составленный касательной к  лемнискате в произвольной точке  с радиус-вектором точки касания равен ;

     • перпендикуляр, опущенный из фокуса лемнискаты на радиус-вектор какой-либо ее точки, делит площадь соответствующего сектора пополам;

     • эта кривая (в переводе с латинского lemniscatus — украшенный лентами) есть множество точек М, произведение расстояний которых r₁, и r₂ до двух данных точек F₁, и F₂ (фокусов) равно квадрату междуфокусного расстояния (рис.13).

     

     Рис. 13

     Впервые лемниската была рассмотрена Якобом Бернулли (1654—1705) в 1694 г. Впоследствии Бернулли много часов своих занятий  уделял лемнискате и нашел несколько  ее интересных свойств.

     В технике лемниската используется, в  частности, в качестве переходной кривой на закруглениях малого радиуса, как  это имеет место на железнодорожных  линиях в горной местности и на трамвайных путях. Таким образом, она обеспечивает плавность закругления, без которой центробежная сила, действующая на поезд, возрастала бы резко, доставляя неудобство пассажирам.

     В качестве примера применения лемнискаты в области физики можно указать, что линия поля, создаваемого двумя  параллельными токами, текущими по бесконечно длинным проводникам  в плоскости, к ним перпендикулярной, является лемнискатой. 

4.7.Кардиоида 

     лемниската

     Понаблюдаем за какой-нибудь точкой окружности, когда  последняя катится по внешней  стороне неподвижной окружности такого же радиуса. Траекторией точки  будет кардиоида. По мнению математиков, придумавших название кривой, она  отдаленно напоминает форму сердца (в переводе с греческого kardieidos — сердцеобразная) (рис. 14).

     

     Рис. 14 

     Кардиоида используется как линия для вычерчивания профилей, если требуется, чтобы скользящий по профилю стержень совершал гармонические  колебания. При этом скорость поступательного  движения стержня будет изменяться без скачков. Этим свойством она выгодно отличается от спирали Архимеда, у которой, благодаря постоянности скорости стержня, в конце каждого хода стержня происходят удары (скорость скачком меняет значение скорости с v на —v), что вызывает быстрое изнашивание механизма.

     Одна  из составных частей в механизме  для поднятия и опускания семафора очерчена по кардиоиде. При этом скорость поднятия или опускания достигает максимального значения в середине хода семафора, что очень важно.

     Кардиоида также хорошо знакома конструкторам  и возникает при возвратно-поступательных движениях стержней в двигателях.

 

5. Построение графиков  функции в полярной  системе координат.

     В полярной системе координат так  же, как и в декартовой , по графику  функции      можно построить график функции .

Это построение сводится к простым геометрическим преобразованиям графика функции  согласно перечисленным ниже свойствам.

Основные  свойства графиков функции  в полярной системы  координат.

1. График функции  симметричен графику функции относительно полюса.
2. График функции   симметричен графику функции относительно полярной оси.
3. График функции , где m>0, - это растянутый или сжатый вдоль полярной оси в m   раз график функции .
4. График функции - это график, полученный из графика функции  с помощью поворота последнего на угол   .
5. График функции - это график функции параллельно перенесённый вдоль полярной оси на величину b.