Полярная система координат на плоскости

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Курсовая  работа по теме:

    «Полярная система координат  на плоскости». 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Содержание 

  Введение………………………………………………………………………...…3

1. Определение полярных координат………………………………………………4

2. Связь прямоугольных координат с полярными……………………………..…..5

3. Уравнения прямой, окружности, эллипса, гиперболы  и параболы    в                              полярных координатах………………………………………………………………7

  4. Кривые в полярных координатах: Кохлеоида, Строфоида, спираль              Архимеда, логарифмическая спираль и др.  ………….…………………………..11

5. Построение графиков функции в полярной системе координат……..…..….20

     Список литературы………………………………………………………...……26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение 
 

    Любая точка на плоскости может быть однозначно определена при помощи различных координатных систем, выбор которых определяется различными факторами.

       Способ задания начальных условий для решения какой–либо конкретной технической задачи может определить выбор той или иной системы координат. Для удобства проведения вычислений часто предпочтительнее использовать системы координат, отличные от декартовой прямоугольной системы. Наглядность представления окончательного ответа иногда тоже сильно зависит от выбора системы координат.

   В данной курсовой работе рассмотрена тема “Полярная система координат на плоскости”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Определение полярных координат.

 

  Под системой координат на плоскости  понимается способ, позволяющий численно описать положение точки плоскости. Одной из таких систем является полярная система координат.

  Полярная  система координат задается точкой О, называемой полюсом, лучом Оp, называемым полярной осью, и единичным вектором e того же направления, что и луч Оp.

  Возьмем на плоскости точку М, не совпадающую с О. Положение точки М определяется двумя числами: ее расстоянием r от полюса О и углом φ, образованным отрезком ОМ с полярной осью (отсчет углов ведется в направлении, противоположном движению часовой стрелки) (рис.1).

  • Числа r и φ называются полярными координатами точки М, пишут

М(r, φ), при этом r называют полярным радиусом, φ – полярным углом. • 

     Для получения всех точек плоскости достаточно полярный угол φ ограничить промежутком [0;2π), а полярный радиус r - [0;∞). В этом случае каждой точке плоскости (кроме О) соответствует единственная пара чисел r и φ. У точки О полярный радиус r=0, а полярный угол φ неопределен. Пары чисел (r, φ+2πk), где k – любое целое число, представляют собой полярные координаты одной и той же точки (рис.1). 
 
 

2. Связь прямоугольных координат с полярными. 

    Если на плоскости дана полярная система координат, то этим определена и некоторая прямоугольная система координат: за начало координат в этой прямоугольной системе берём начало полярной системы; полярную полуось объявляем положительной полуосью абсцисс. Таким образом определена ось абсцисс (вместе с её направлением ). Так как в определение полярной системы координат входит и направление положительного вращения плоскости, то мы можем определить ось ординат как ту ось, в которую перейдёт ось абсцисс при повороте её на угол  в положительном направлении. Полученную таким образом прямоугольную систему координат будем называть системой определённой данной полярной системой ( рис.2).

    Обратно, если дана какая-нибудь  прямоугольная система координат, то однозначно определяем полярную систему, сохраняя в ней начало данной прямоугольной системы и требуя, чтобы полярная полуось совпадала с положительной полуосью абсцисс, а положительное направление вращения  было тем вращением, которая переводит ось абсцисс в ось ординат поворотом на угол   .    •Каждой полярной системе координат соответствует вполне определённая прямоугольная система, и обратно. •

   Как же связаны между собою координаты x, y и ,r?

   Если наряду с полярными координатами (r,φ) точки плоскости (например, точки М) ввести также ее прямоугольные координаты, как это показано на рис. 2, то связь между ними выразится очевидными формулами:  

                                                                                                 (2.1)

Они позволяют  перейти от полярных координат точки M к прямоугольным. Обратный переход, от прямоугольных координат к полярным, осуществляется по формулам:

                                                                                (2.2)  

                                                                         

Из двух последних  равенств вытекает:

                                     (2.3)

     Из множества углов , предлагаемых формулой (2.3), нужно выбрать один – тот, который соответствует четверти плоскости, в которой находится рассматриваемая точка. Это делается с помощью подбора подходящего значения целого числа n при учете того, что

≤ <2 π. 
 
 

3. Уравнения прямой, окружности, эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах.

3.1.Уравнение  прямой.

     Поместим  полюс полярной системы координат  в начало прямоугольной системы  координат, полярную ось совместим  с положительной полуосью абсцисс (рис.3).

                                              

                                               Рис. 3

     Возьмем уравнение прямой в нормальном виде:

                                       (3.1)

  – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси абцисс.                                               

Ранее мы выявили связь между полярными и декартовыми координатами точки: 

 Подставив эти значения x и y в  уравнение  прямой  (3.1), получим

                                     , или                                                                         

                                    , откуда

                              

  И, окончательно:  

                                                                                                             (3.2)

     В этом уравнении постоянными величинами являются и α, величины же r и φ- переменные: это текущие полярные координаты точки на прямой (последняя формула может быть получена также из чертежа (рис. 3)). 

3.2.Уравнение окружности.

   Составим уравнение в полярных  координатах окружности, проходящей  через полюс, с центром  на  полярной оси и радиусом R. Из прямоугольного треугольника OAA получаем OA= OA (рис. 4).

                                            

Отсюда  уравнение окружности:

                                               ρ

     

  3.3. Уравнение эллипса, гиперболы и параболы.

   Фокальный параметр находит своё  применение и при выводе уравнений  эллипса, гиперболы и параболы  в полярных координатах. 

   Начало полярной системы координат  помещаем в фокус F  (левый в случае эллипса, правый в случае гиперболы и в единственный фокус в случае параболы). Полярная ось направлена от полюса в сторону, противоположную от соответствующей директрисы d.  Для любой точки M нашей кривой обозначаем через r расстояние от   M до фокуса F , через - расстояние от   M до   d. Наша кривая C есть геометрическое место точек   M, для которых                            ,                  откуда 

       

                                                                                                                     _(3.3)

Но r есть полярный радиус точки M. Вычислим  . Обозначая через D точку пересечения директрисы d с фокальной осью, а через M проекцию точки M на эту ось, видим, что   есть длина вектора ,   лежащего на оси абсцисс. Для алгебраических значений векторов на этой оси имеем:                   

                                  

                                 

                                                                                                           (3.4)

где  — угол наклона вектора  FM к полярной оси, т.е. полярный угол точки M  на кривой C  (в случае гиперболы на первой её ветви) (DM_x)=DM_x= . Подставляя в равенство (3.4) найденные значения входящих в него величин, получаем:

                                      

Наконец, подставляя это значение  в (3.3), имеем

                                      

Это и есть уравнение параболы, эллипса и (ветви) гиперболы в полярных координатах.

    Для параболы получаем:

                                                       

Здесь  принимает все значения 0≤<2 ; значение не годится, что и естественно, так как ему не соответствует никакая точка параболы.

     В случае эллипса все значения 0≤<2 хороши (так как всегда ).

   Для гиперболы можно брать значения , для которых

                                                ,

где  — острый угол между асимптотой и фокальной осью гиперболы;