Математическое искусство Мориса Эшера

     В гравюре "Рептилии" маленькие  крокодилы играючи вырываются из тюрьмы двухмерного пространства стола, проходят кругом, чтобы снова превратиться в двухмерные фигуры. Мозаику рептилий Эшер использовал во многих своих  работах. В "Эволюции 1" можно проследить развитие искажения квадратной мозаики  в центральную фигуру из четырех  ящериц. 
 

 
 

                         

Регулярное  разбиение плоскости птицами

                                                                 

                                                   

Рептилии                                                                                                     Цикл

                                                        
 

                                              

                                                                       Эволюция I 

3.2 Многогранники 

     

     Правильные  геометрические тела - многогранники - имели особое очарование для Эшера. В его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов. Существует лишь пять правильных многогранников, то есть таких тел, все грани которых состоят из одинаковых правильных многоугольников. Они еще называются телами Платона. Это - тетраэдр, гранями которого являются четыре правильных треугольника, куб с шестью квадратными гранями, октаэдр, имеющий восемь треугольных граней, додекаэдр, гранями которого являются двенадцать правильных пятиугольников, и икосаэдр с двадцатью треугольными гранями. На гравюре "Четыре тела" Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные. 
 
 
 

                         

                                Четыре правильных многогранника 
 

     

     Большое количество различных многогранников может быть получено объединением правильных многогранников, а также превращением многогранника в звезду. Для преобразования многогранника в звезду необходимо заменить каждую его грань пирамидой, основанием которой является грань  многогранника. Изящный пример звездчатого  додекаэдра можно найти в работе "Порядок и хаос". В данном случае звездчатый многогранник помещен  внутрь стеклянной сферы. Аскетичная красота  этой конструкции контрастирует  с беспорядочно разбросанным по столу  мусором. Заметим также, что анализируя картину можно догадаться о природе  источника света для всей композиции - это окно, которое отражается левой  верхней части сферы. 

                          

                                                     

                                                        Порядок и хаос

     

     Фигуры, полученные объединением правильных многогранников, можно встретить во многих работах  Эшера. Наиболее интересной среди них является гравюра "Звезды", на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров. Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней. Но он по какой-то причине поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить нам восприятие всей фигуры. Таким образом нам необходимо отвлечься от привычного восприятия картины и попытаться взглянуть на нее свежим взором, чтобы представить ее целиком. Этот аспект данной картины является еще одним предметом восхищения математиков творчеством Эшера. 

                         

                                                          Звёзды  

3.3 Форма пространства 

     

     Среди наиболее важных работ Эшера с  математической точки зрения являются картины, оперирующие с природой самого пространства. Литография "Три  пересекающиеся плоскости" - хороший  пример для начала обзора таких картин. Этот пример демонстрирует интерес  художника к размерности пространства и способность мозга распознавать трехмерные изображения на двухмерных рисунках. Эшер позже использовал  данный принцип для создания изумительных визуальных эффектов. 

                           

                               Три пересекающихся плоскости 
 

     

     Под влиянием рисунков в книге математика Х. Коксетера Эшер создал много иллюстраций  гиперболического пространства. Один из примеров можно увидеть в работе "Предел круга III". Здесь представлен  один из двух видов неевклидового  пространства, описанных французским  математиком Пуанкаре. Чтобы понять особенности этого пространства, представьте, что вы находитесь внутри самой картины. По мере вашего перемещения  от центра круга к его границе  ваш рост будет уменьшаться также, как уменьшаются рыбы на данной картине. Таким образом путь, который вам  надо будет пройти до границы круга  будет казаться вам бесконечным. На самом деле, находясь в таком  пространстве вы на первый взгляд не заметите ничего необычного в нем по сравнению с обычным евклидовым пространством. Например, чтобы достичь границ евклидового пространства вам также необходимо пройти бесконечный путь. Однако, если внимательно присмотреться, то можно будет заметить некоторые отличия, например, все подобные треугольники имеют в этом пространстве одинаковый размер, и вы не сможете там нарисовать фигуры с четырьмя прямыми углами, соединенными прямыми линиями, так как в этом пространстве не существует квадратов и прямоугольников.

                           

                                       Предел круга III

           

     Еще более странное пространство показано в работе "Змеи". Здесь пространство уходит в бесконечность в обе  стороны - и в сторону края окружности и в сторону центра окружности, что показано уменьшающимися кольцами.

                      

                                                     Змеи  

     Кроме особенностей евклидовой и неевклидовой геометрий Эшера интересовали визуальные аспекты топологии. Топология изучает  свойства тел и поверхностей пространства, которые не изменяются при деформации, например,  растяжении, сжатии или изгибе. Единственное, к чему не должна приводить деформация - это к разрыву. Топологам приходится изображать множество странных объектов. Одним из наиболее известных является лента Мебиуса, которая встречается во многих работах Эшера. Это может показаться странным, но у этой поверхности есть только одна сторона и одна кромка. Если вы проследите путь муравьев на литографии "Лента Мебиуса II", то увидите, что муравьи ползут не по противоположным поверхностям ленты, а по одной и той же. Сделать лист Мебиуса очень просто. Надо взять полоску бумаги, изогнуть ее, и склеить противоположные края ленты клеем.

                              

                                        Лист Мебиуса II 

     

     Другая интересная литография называется "Картинная галерея", в которой изменены одновременно и топология и логика пространства. Мы видим мальчика, который смотрит на картину, на которой нарисован приморский город с магазином на берегу, а в магазине - картинная галерея, а в галерее стоит мальчик, который смотрит на картину, на которой нарисован приморский город и т. д.

           

     Для понимания любой картины Эшера  требуется внимание и наблюдательность, а эта работа требует особого  внимания. Каким-то образом Эшер завернуть  пространство в кольцо, и получилось, что мальчик находится одновременно внутри картины и вне её. Секрет этого эффекта состоит в том, каким образом преобразовано изображение. Понять это можно, анализируя карандашный набросок сетки, которым пользовался Эшер при создании картины. Обратите внимание, что расстояние между линиями сетки увеличивается в направлении движения стрелки часов. Заметим еще, на чем основана хитрость картины - белое пятно в центре. Математики называют это пятно особым местом или особой точкой, где пространства не существует. Не существует способа изобразить этот участок картины без швов или наложений, поэтому Эшер решил эту проблему, поместив в центр картины свой автограф. 

                 

                                      Картинная галерея  

3.4 Логика пространства 

     

     Под "логикой" пространства мы понимаем те отношения между физическими  объектами, которые обычны для реального  мира, и при нарушении которых  возникают визуальные парадоксы, называемые еще оптическими иллюзиями. Большинство  художников, экспериментирующие с логикой  пространства, изменяют эти отношения  между объектами, основываясь на своей интуиции, как, например, Пикассо.

     

     Эшер  понимал, что геометрия определяет логику пространства, но и логика пространства определяет геометрию. Одна из наиболее часто используемых особенностей логики пространства - игра света и тени на выпуклых и вогнутых объектах. На литографии "Куб с полосками" выступы на лентах являются визуальным ориентиром того, как расположены полоски в пространстве и как они переплетаются с кубом. И если вы верите своим глазам, то вы никогда не поверите тому, что нарисовано на этой картине. 

         Куб с полосками

     

     Еще один из аспектов логики пространства - перспектива. На рисунках, в которых  присутствует эффект перспективы, выделяют так называемые точки исчезновения, которые сообщают глазу человека о бесконечности пространства.  Изучение особенностей перспективы началось еще во времена возрождения художниками Альберти, Дизаргом и многими другими. Их наблюдения и выводы легли в основу современной геометрии проекций.

     Вводя дополнительные точки исчезновения и немного изменяя элементы композиции для достижения нужного эффекта, Эшер смог изобразить картины, в которых  изменяется ориентация элементов в  зависимости от того, как зритель  смотрит на картину. На картине "Cверху  и cнизу" художник разместил сразу  пять точек исчезновения - по углам  картины и в центре. В результате, если мы смотрим на нижнюю часть  картины, то создается впечатление, что мы смотрим вверх. Если же обратить взгляд на верхнюю половину картину, то кажется, что мы смотрим вниз. Чтобы подчеркнуть этот эффект, Эшер изобразил два вида одной и  той же композиции.

                                 

                                          Сверху и снизу

           

     Третий  тип картин с нарушенной логикой  пространства - это "невозможные  фигуры". Парадокс невозможных фигур  основан на том, что наш мозг всегда пытается представить нарисованные на бумаге двухмерные рисунки как  трехмерные. Эшер создал много работ, в которых обратился к этой аномалии. Наиболее интересная работа - литография "Водопад" - основана на фигуре невозможного треугольника, придуманного математиком Роджером Пенроузом. В этой работе два невозможных  треугольника соединены в единую невозможную фигуру. Создается впечатление, что водопад является замкнутой  системой, работающей по типу вечного  двигателя, нарушая закон сохранения энергии.

                       

                                              Водопад 

3.5 Самовоспроизведение  и информация

     Аспекты творчества Эшера, относящиеся к теории информации и искусственному интеллекту, эта область творчества художника широко освещена во многих статьях и книгах. Наиболее полное исследование этого вопроса освещено в книге Дугласа Хофстадтера (Douglas R. Hofstadter) "Гёдель, Эшер, Бах: Бесконечная золотая нить" (Godel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid), выпущенной в 1980 году и награжденной пулитцеровской премией.