Экономико-математические модели

     В связи с этим оправданно рассматривать  возможные результаты исследования устойчивого состояния банков в  качестве случайных величин, имеющих  одинаковое распределение вероятностей, поскольку исследования проводятся по одной и той же методике с использованием одинакового подхода. Кроме того, они взаимно независимы, т.е. результат каждого отдельного коэффициента не зависит от значений остальных.

     Приняв  во внимание, что в одном испытании  случайная величина принимает одно и только одно возможное значение, заключаем, что события x₁, x₂, …, x_n образуют полную группу, следовательно, сумма их вероятностей будет равна 1: p₁+p₂+…+p_n=1.

     Дискретная  случайная величина X – коэффициент финансовой устойчивости банка «А»,Y – банка «В», Z – банка «С» за заданный период. В целях получения результата, дающего основание сделать вывод об устойчивости развития банков, оценка была осуществлена на базе 12-летнего ретроспективного периода (табл.1).

     Таблица 1

Порядковый  номер года	Банк  «А»	Банк  «В»	Банк  «С»
1	1,314	1,201	1,098
2	0,815	0,905	0,811
3	1,043	0,994	0,839
4	1,211	1,005	1,013
5	1,110	1,090	1,009
6	1,098	1,154	1,017
7	1,112	1,115	1,029
8	1,311	1,328	1,065
9	1,245	1,191	1,145
10	1,570	1,204	1,296
11	1,300	1,126	1,084
12	1,143	1,151	1,028
Min	0,815	0,905	0,811
Max	1,570	1,328	1,296
Шаг	0,0755	0,0423	0,0485

 

     Для каждой выборке по определенному  банку значения разбиты на N интервалов, определены минимальное и максимальное значение. Процедура определения оптимального числа групп основана на применении формулы Стерджесса:

     N=1+3,322 * ln N;

     N=1+3,322 * ln12=9,525≈10,

     Где n – число групп;

     N – число совокупности.

     Далее вычисляется шаг интервала, исходя из минимального и максимального значений (табл.2).

     h=(КФУ_max – КФУ_min) / 10.

     Таблица 2

     Границы интервалов значений дискретных случайных  величин X, Y, Z (коэффициентов финансовой устойчивости) и частоты появлений данных значений в обозначенных границах

Номер интервала	Границы интервалов			Частота появлений (n)
	X	Y	Z	X	Y	Z
1	0,815-0,891	0,905-0,947	0,811-0,860	1	1	2
2	0,891-0,966	0,947-0,990	0,860-0,908	0	0	0
3	0,966-1,042	0,990-1,032	0,908-0,957	0	2	0
4	1,042-1,117	1,032-1,074	0,957-1,005	4	0	0
5	1,117-1,193	1,074-1,117	1,005-1,054	1	2	5
6	1,193-1,268	1,117-1,159	1,054-1,102	2	3	3
7	1,268-1,344	1,159-1,201	1,102-1,151	3	1	1
8	1,344-1,419	1,201-1,243	1,151-1,199	0	2	0
9	1,419-1,495	1,243-1,286	1,199-1,248	0	0	0
10	1,495-1,570	1,286-1,328	1,248-1,296	1	1	1

 

     Исходя  из найденного шага интервала, были рассчитаны границы интервалов путем прибавления к минимальному значению найденного шага. Полученное значение – это граница первого интервала (левая граница - LG). Для нахождения второго значения (правой границы PG) к найденной первой границе снова прибавляет я шаг и т.д. Граница последнего интервала совпадает с максимальным значением:

     LG₁=КФУ_min;

     PG₁=КФУ_min+h;

     LG₂=PG_1;

     PG₂=LG₂+h;

     …

     PG₁₀=КФУ_max.

     Данные  по частоте попадания коэффициентов  финансовой устойчивости (дискретных случайных величин X, Y, Z) сгруппированы в интервалы, и определена вероятность попадания их значений в заданные границы. При этом левое значение границы входит в интервал, а правое – нет (табл.3).

     Таблица 3

     Распределение дискретных случайных  величин X, Y, Z

Показатель	Значения  показателя
Банк  «А»
X	0,853	0,929	1,004	1,079	1,155	1,231	1,306	1,382	1,457	1,532
P(X)	0,083	0	0	0,333	0,083	0,167	0,250	0	0	0,083
Банк  «В»
Y	0,926	0,969	1,011	1,053	1,096	1,138	1,180	1,222	1,265	1,307
P(Y)	0,083	0	0,167	0	0,167	0,250	0,083	0,167	0	0,083
Банк  «С»
Z	0,835	0,884	0,933	0,981	1,030	1,078	1,127	1,175	1,224	1,272
P(Z)	0,167	0	0	0	0,417	0,250	0,083	0	0	0,083

 

     По  частоте появлений значений n найдены их вероятности (частота появления делится на 12, исходя из числа единиц совокупности), а также в качестве значений дискретных случайных величин были использованы середины интервалов. Законы их распределения:

     P_i = n_i /12;

     X_i = (LG_i+PG_i)/2.

     На  основании распределения можно  судить о вероятности неустойчивого  развития каждого банка:

     P(X<1) = P(X=0,853) = 0,083

     P(Y<1) = P(Y=0,926) = 0,083

     P(Z<1) = P(Z=0,835) = 0,167.

     Так с вероятностью 0,083 банк «А» может  достигнуть значения коэффициента финансовой устойчивости, равное 0,853. Другими словами, вероятность того, что его расходы  превысят доходы, составляет 8,3 %. По банку  «В» вероятность падения коэффициента ниже единицы также составила 0,083, однако с учетом динамичного развития организации это снижение все же окажется незначительным – до 0,926. Наконец, высока вероятность (16,7%), что деятельность банка «С», при прочих равных условиях, охарактеризуется значением финансовой устойчивости, равным 0,835.

     В то же время по таблицам распределений можно увидеть вероятность устойчивого развития банков, т.е. сумму вероятностей, где варианты коэффициентов имеют значение, большее 1:

     P(X>1) = 1 – P(X<1) = 1 – 0,083 = 0,917

     P(Y>1) = 1 – P(Y<1) = 1 – 0,083 = 0,917

     P(Z>1) = 1 – P(Z<1) = 1 – 0,167 = 0,833.

     Можно наблюдать, что наименее устойчивое развитие ожидается в банке «С».

     В целом закон распределения задает случайную величину, однако чаще целесообразнее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно. Их называют числовыми характеристиками случайной величины, к ним относится математическое ожидание. Математическое ожидание приближенно равно среднему значению случайной величины и оно тем больше приближается к среднему значению, чем больше было проведено испытаний.

     Математическим  ожиданием дискретной случайной  величины называют сумму произведений всех возможных величин на ее вероятности:

     M(X) = x₁p₁+x₂p₂+…+x_np_n

     Результаты  расчетов значений математических ожиданий случайных величин представлены в табл.4. 
 
 

     Таблица 4

     Числовые  характеристики дискретных случайных величин  X, Y, Z

Банк	Математическое  ожидание	Дисперсия	Среднее квадратическое отклонение
«А»	M(X) = 1,187	D(X) =0,027	σ(x) = 0,164
«В»	M(Y) = 1,124	D(Y) = 0,010	σ(y) = 0,101
«С»	M(Z) = 1,037	D(Z) = 0,012	σ(z) = 0,112

 

     Полученные  математические ожидания позволяют  оценить средние значения ожидаемых  вероятных значений коэффициента финансовой устойчивости в будущем.

     Так по расчетам можно судить, что математическое ожидание устойчивого развития банка «А» составляет 1,187. Математическое ожидание банков «В» и «С» составляет 1,124 и 1,037 соответственно, что отражает предполагаемую доходность их работы.

     Однако, зная лишь математическое ожидание, показывающее «центр» предполагаемых возможных  значений случайной величины – КФУ, еще нельзя судить ни о его возможных  уровнях, ни о степени их рассеянности вокруг полученного математического  ожидания.

     Другими словами, математическое ожидание в силу своей природы полностью устойчивости развития банка не характеризует. По этой причине возникает необходимость вычисления других числовых характеристик: дисперсии и среднеквадратического отклонения. Которые позволяют оценить степень рассеянности возможных значений коэффициента финансовой устойчивости. Математические ожидания и средние квадратические отклонения позволяют оценить интервал, в котором будут находиться возможные значения коэффициентов финансовой устойчивости кредитных организаций.

     При сравнительно высоком характерном  значении математического ожидания устойчивости по банку «А» среднее квадратическое отклонение составило 0,164, что говорит о том, что устойчивость банка может либо повыситься на эту величину, либо снизиться. При отрицательном изменении устойчивости (что все же маловероятно, учитывая полученную вероятность убыточной деятельности, равную 0,083) коэффициент финансовой устойчивости банка останется положительным –