Интегральное исчисление в экономике

Где                                                (точность этого равенства тем  выше, чем меньше ∆t_i. Тогда

,               

      При стремлении max ∆t_i к нулю каждое из использованных приближенных равенств становится все более точным, поэтому

      Учитывая  определение определенного интеграла, окончательно получаем

                                     

                       (2.8)

где  Q – обьем продукции

       f(t) – производительност труда в момент времени t;

       t – время. 

      Поскольку f(t)≥0, то объем продукции, произведенной за промежуток времени [О, Т], численно равен площади фигуры под графиком функции f(t), описывающей изменение производительности труда с течением времени, на промежутке [О, Т] [5].

      Возможность учета влияния различных факторов на изменение производительности производства связана с использованием, например, так называемых функций Кобба-Дугласа. В этом случае производительность f(t) представляется в виде произведения трех сомножителей :

                          

                              F(t) = α₀A^a (t)L^βK^γ(t),                         (2.9)              

где  A(t), L(t), K(t) – функции величины затрат природных ресурсов

       a₀, a, β, γ – производительност некоторые числа. 

      2.6. Степень неравенства в распределении доходов.  

      В последнее время в социальных и экономических науках при изучении неравенства все чаще применяется математика. Разработано несколько видов коэффициентов — коэффициент Лоренца, коэффициент Джини, коэффициент Шютца, коэффициент дифференциации и другие) . Преобразование данных в математическую форму дает исследователю много новой ценной информации, которая выражается в концентрированном виде, имеет четкий и ясный смысл.

      Приведем  пример использования коэффициента Джини для определения степени неравенства по кривой Лоренца. Кривая Лоренца (рис. 8.)  

 

Рис.2.8. Кривая Лоренца 

выражает  график зависимости процента доходов  от процента, имеющего их населения. По оси Оу откладывается доля населения, имеющих определенный доход; по оси Ох долю населения [4]. С помощью кривой Лоренца можно оценить степень неравенства в распределении доходов населения. При равномерном распределении доходов кривая Лоренца является линейной функцией - биссектрисой ОA, при неравномерном - кривой вида ОBА. Коэффициентом Джини именуют отношение площади фигуры между биссектрисой ОЛ и кривой Лоренца к площади треугольника ОАС.

                                        k =

                                (2.10)

где  k – коэффициент Джини

    S_OAB – площадь фигуры ОАВ;

       S_OAC – gkjoflm abuehs OAC. 

      При коэффициенте, равном 0, налицо полное равенство в доходах населения, при значении коэффициента менее 0,3 - слабое неравенство, при 0,3-0,7 - значительное, при 0,7-1 – сильное [4].

 

3. Примеры решения экономических задач путем интегрального исчисления

Задача 1.

Известно, что  спрос на некоторый товар задается функцией p = 4 – q², где q – количество товара (в шт.), p – цена единицы товара (в руб.), а равновесие на рынке данного товара достигается при p* = q* = 1. Определите величину потребительского излишка.

Решение.

 

Задача 2.

Известно, что  спрос на некоторый товар описывается функцией а предложение данного товара характеризуется функцией q = 500p. Найдите величину излишка потребителя при покупке данного товара.

Решение.

Для расчета  излишка потребителя сначала  определим параметры рыночного равновесия (p*; q*). Для этого решим систему уравнений:

 

Таким образом, p* = 2, q* = 1000.

Запишем формулу  для вычисления потребительского излишка (2.2), где f(q) – функция, обратная функции  

Отсюда:

Задача 3.

Известно, что  спрос на некоторый товар задается функцией предложение – функцией p = q + 11. Определите величину выигрыша потребителя при покупке данного товара.

Решение. Выигрыш  потребителя есть не что иное, как  потребительский излишек. Для того, чтобы найти его, определим сначала равновесные значения количества товара и его цены, решив для этого систему:

Решим первое уравнение  системы:

(q + 1)(q + 11) = 231,

q² + 12q – 220 = 0,

(q + 22)(q – 10) = 0. 

Учитывая, что q ≥ 0, получим q* = 10. Следовательно, p* = 10 + 11 = 21. Тогда:

Задача 4.

Известно, что  кривая предложения некоторого товара имеет вид p = 4q³ + 2, а равновесие на рынке данного товара достигается при объеме продаж Q* = 3. Определите добавочную выгоду производителя при продаже такого количества продукции.

Решение. Сначала  из функции предложения найдем равновесное значение цены P* = f(q*) = f(3) = 4*3³ + 2 = 110.

Подставим полученное значение в формулу (2.2):

Задача 5.

Дана кривая спроса . Каковы денежные потери потребителя при введении на данный товар налога с единицы продаж в размере 1 руб., если известно, что первоначально рыночное равновесие на данном рынке наблюдалось при цене P* = 2 руб.?

Решение. Данную задачу можно решать разными способами. Проанализируем основные из них.

1-й способ  основан на использовании формулы (2.1) для вычисления ∆CS.

Для определения  потребительских потерь при увеличении равновесной цены товара с 2 руб. до 3 руб. посмотрим, как при этом меняется объем продаж. Если P₁ = 2, то Q₁ = 16, при P₂ = 3 Q₂ = 14. Следовательно,

2-й способ. Так  как в данном случае функция  спроса линейна, то рассматриваемую ситуацию легко представить графически:

Получим, что:

Задача 6. 

Найти дневную  выработку Q за рабочий день продолжительностью 8 часов, если производительность труда в течение дня меняется по эмпирической формуле f(t) = -0,1t² + 0,8t + 10.

Решение. По формуле (7.2), получаем:

Задача 7.

Изменение производительности производства с течением времени от начала внедрения нового технологического процесса задается функцией z = 32 – 2^{-0,5t + 5}, где t – время в месяцах. Найти оббьем продукции, произведенной: а) за первый месяц; б) за третий месяц; в) за шестой месяц; г) за последний месяц года, считая от начала внедрения рассматриваемого технологического процесса.

Решение.  По формуле (2.8), получаем:

.

Тогда:

= 4,95; 

= 18,48; 

= 27,22; 

= 31,4;

Сравнивая между  собой полученные результаты, можно  заметить, что основная работа по внедрению данного технологического процесса приходится, в основном, на первую половину года.

Задача 8.

Найти оббьем выпускаемой  продукции за пять лет, если в функции Кобба-Дугласа A(t) = e^t, L(t) = (t + 1)², K(t) = (100 – 3t)², α₀ = 1, a = 1, β = γ = 0,5, (t – время в годах).

Решение. Поставляя  функцию производительности f(t) в формулу (2.9), получаем:

Применяя дважды последовательно формулу интегрирования по частям, имеем:

64825. 

Задача 9.

Для одной из стран кривая Лоренца может быть описана уравнением у = x², где х – доля населения, у – доля доходов населения. Вычислить коэффициент Джини k.

Решение. Так  как на рисунке 2.8. а

то 

Поскольку k > 0,3  принадлежит интервалу (0,3, 0,7), то делаем вывод о том, что в изучаемой стране наблюдается значительное неравенство в доходах.

Задача 10.

Под строительство  ГЭС задан непрерывный денежный поток со скоростью I(t) = -t²+20t+5 млрд. руб. / год в течение 20 лет с годовой банковской ставкой 5%. Найти его дисконтированную стоимость.

Решение.  Характерное  «поведение» скорости денежного  потока во времени: сначала она относительно невелика, потом растет и достигает своего максимума в данном случае в середине срока строительства, а затем убывает до первоначальной относительно небольшой величины.

По формуле  (2.6) при p=0,05 находим

      Такими  средствами нужно обладать перед  началом строительства, чтобы обеспечить его финансирование в запланированных объемов.

 

Заключение

      В процессе выполнения работы были решены следующие задачи:

• рассмотрены задачи, приводящиеся к понятию определённого интеграла;
• выяснен экономический смысл определённого интеграла;
• исследовано применение определённого интеграла в различных разделах экономической теории;

      В заключение работы я могу сделать  вывод, что определённый интеграл является не только мощным средством решения прикладных экономических задач, но и универсальным языком всей экономической теории, создает новые возможности для экономических исследований.

      Сегодняшняя экономическая наука так сильно математизирована, что иногда возникает обеспокоенность возможностью исчезновения собственно экономического содержания из математических формул и графиков. Однако общепризнанным является факт, что математизация экономических рассуждений была гигантским шагом вперед.

 

Список использованной литературы 

1. Ахтямов, А. М. Математика для социологов и  экономистов:  Учеб. пособие. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 464 с. - ISBN 5-9221-0460-8.
2. Баврин, И. И. Высшая математика / И. И. Баврин. – М.: ACADEMA, 2003. – 611с.
3. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: в двух частях / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа, 1986.Часть 2 – 415 с.
4. Спирин, А.А., Фомин Г.П. Экономико-математические методы и модели в торговле. - М.: Экономика.2004.- 320 с.
5. Шаланов, Н.В. Экономико-математические методы в экономике: Учебное пособие. - Новосибирск: СибУПК, 2006.-290 с.