Интегральное исчисление в экономике

содержание 
 
 
 
 

Введение 

1. Понятие определенного  интеграла…….………………….....4
2. Экономический смысл и приложение определенного интеграла в экономике……………………………………………….9
3. Примеры решения экономических задач с применением интегрального исчисления……………………………………20

 

Заключение…………………………………………………………….27

Список использованной литературы……………………………...28 

 

Введение 

      Современный экономист должен хорошо владеть  количественными методами анализа. К такому выводу нетрудно прийти практически с самого начала изучения экономической теории. При этом важны как знания традиционных математических курсов (математический анализ линейная алгебра, теория вероятностей), так и знания, необходимые в практической экономике и экономических исследованиях (математическая и экономическая статистика, исследование операций, теория игр, эконометрика и др.). Именно этим и обосновывается актуальность темы моего исследования.

      Математика  является не только орудием количественного  расчета, но также методом точного  исследования. Она служит средством  предельно четкой и ясной формулировки экономических понятий и проблем. Вспомним высказывание Делоне Бориса Николаевича - советского математика, член.- кор. АН СССР: « Ведь есть очень сложные науки - науки о природе, об обществе... Очень сложные. А математика - наука очень простая, она изучает самые простые вещи... ». Интересно заметить, что один из известных экономистов А. Пигу говорил, что «Экономическая наука почти всегда вынуждена говорить невнятно».

      Целью моей работы явилось выяснение того, какие новые возможности для экономических исследований открывает определенный интеграл и каков его экономический смысл.

      Структура работы такова: введение, три параграфа, заключение.

 

    1. понятие определенного интеграла 

      Поскольку предмет нашего исследования – определенный интеграл в экономике, выясним, в чем суть этого понятия, какие проблемы приводят к использованию интеграла.

      Рассмотрим  непрерывную функцию у = f(x), не принимающую отрицательных значений, так что график ее целиком лежит выше оси Ох, хотя и

может касаться оси Ох в некоторых точках. Пусть а и b — такие числа, что функция определена при a≤ x ≤b.                 .

      Кривая  у = f(x) и прямые х = а, х = b и у = 0 ограничивают некоторую область плоскости, называемую областью под кривой у = f(x) от а до b, или криволинейной трапецией.

      Если  требуется вычислить площадь S криволинейной  трапеции, то можно, например, покрыть плоскость сетью мелких квадратов и сосчитать число квадратов, лежащих внутри нашей области (рис. 1.1). Это не дает еще всей площади, поскольку некоторые из квадратов лежат частично внутри, а частично вне рассматриваемой области. Но если сделать сеть достаточно густой, то можно вычислить S с любой степенью точности. Можно вычислить площадь криволинейной трапеции и с помощью тонких прямоугольников. Лейбниц считал, что криволинейная трапеция составлена из бесконечно тонких прямоугольников (рис. 1.2). Каждый такой прямоугольник поднимается над точкой х интервала [а, b]; он имеет высоту f(x) и бесконечно малую ширину 

 

Рис.1.1. Криволинейная трапеция 

dx; площадь его равна, следовательно, f(x)dx.  Общая же площадь S есть сумма всех таких площадей [1]. 
 

 

Рис.1.2. Вычисление площади криволинейных  трапеций 

        Напомним, Лейбниц писал S = ∫ f(x) dx. Символ ∫ означал у него  сумму. Этот символ происходит  от удлинения буквы S (первой буква слова Summa). Позже ученик Лейбница Иоган Бернулли предложил отличать «целостную сумму бесконечно малых» от обычной суммы и предложил знак ∫ именовать интегралом от латинского слова integralis (целостный). Фурье усовершенствовал обозначение Лейбница, предложив явно указывать начальное и конечное значения х:

      Рассуждения математиков XIX века носили нестрогий  характер. Термин бесконечно малая величина не был достаточно строго определен, что приводило к противоречиям. Строгое определение основано на понятии предела и интегральной суммы. Оно вобрало в себя качественный смысл определения Лейбница и устранило нечеткость формулировок.

      Пусть функция f(x) неотрицательна на [а, b]. Разобьем отрезок [а, b] на n промежутков точками x₀, x₁ ..., x_n:

На каждом отрезке разбиения выберем точку  c_j и положим

Тогда произведение f (c_j) ∆x_j равно площади прямоугольника S_j со сторонами f (c_j) и ∆x_j. Сумма площадей всех таких прямоугольников равна сумме вида

Эта сумма  представляет площадь ступенчатой фигуры. Чем уже ступеньки, тем ближе площадь ступенчатой фигуры к площади криволинейной трапеции (рис. 1.2) [1]. Естественно ожидать, что при неограниченном возрастании числа промежутков, так что наибольшая из их длин стремится к нулю, сумма S_n стремится к площади криволинейной трапеции S.

       Введем теперь точное определение. 

      

Пусть на отрезке [а, b] задана функция у = f(x) (теперь уже необязательно неотрицательная). Разобьем отрезок [а, Ь] на n промежутков точками x₀, x₁ ..., x_n:

На каждом отрезке разбиения [x _{j -1}, x_j] выберем точку c _j и положим

      Сумму вида

назовем интегральной суммой для функции у = f(x) на [а, b]. Очевидно, что интегральная сумма зависит от способа разбиения отрезка [а, b] точками x₀, x₁ ..., x_n, так и от выбора точек с_о, c₁, ..., с_n на каждом из промежутков разбиения [x _{j -1}, x_j], j = 1, 2, … , n.

         Обозначим через max ∆x_j максимальную из длин отрезков [x _{j -1}, x_j], где j =1, 2, ... , n.

      Определение. Пусть предел интегральной суммы

при стремлении max ∆ x_j к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек x₁, x₂, ... и c₁, c₂, … . Тогда этот предел называется определеным интегралом от функции у = f(x) на [а, Ь] и обозначается

а сама функция  у = f(x) называется интегрируемой на отрезке [а, b], т. е.

Эта запись читается: «интеграл от а до бэ эф от икс  дэ икс» [1]. При этом число а называется нижним пределом, число b - его верхним пределом; функция f(x) - подынтегральной функцией, выражение f(x)dx - подынтгральным выражением, а задача о нахождении - интегрированием функции f(x) на отрезке [а, b].

      Несмотря  на сходство в обозначениях и терминологии, определенный и неопределенный интегралы  существенно различные понятия. Неопределенный интеграл представляет функцию (а точнее семейство функций), а определенный интеграл — это число.

      Из  определения следует, что величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т. е.

      Верхний предел b может быть больше или меньше нижнего а.

В первом случае

      Поэтому по определению полагают

      Понятие определенного интеграла распространяют и на случай а = b; интеграл с равными пределами считается равным нулю:

Это соглашение оправдано тем, что интегральная сумма стремится к нулю при сближении а и b. 

      Очевидно, если функция f(x) интегрируема на отрезке [а, b], то она и ограничена на этом отрезке. В самом деле, если f(x) не ограничена на отрезке [а, b], то она не ограничена на некотором отрезке [x _{j -1}, x_j]. За счет выбора точки c_j интегральную сумму можно сделать сколь угодно большой, а такая интегральная сумма не имеет конечного предела, что противоречит определению, согласно которому предел интегральной суммы S_n существует и конечен.

Покажем на примере  функции Дирихле, что обратное утверждение неверно: существует ограниченная функция, не являющаяся интегрируемой. Напомним, что функция Дирихле равна единице в рациональных точках и нулю - в иррациональных. На любом отрезке [а, b] эта функция ограничена, но не является интегрируемой на нем [2]. Действительно, если в каждом отрезке [x _{j -1}, x_j] выбрать рациональную точку с_j, то интегральная сумма  

Если выбрать  иррациональную точку с_j, то f(с_j) = 0 и

 

Таким образом, с одной стороны S_n = b - а, с другой стороны S_n = 0. Поэтому предел интегральных сумм не существует и функция Дирихле не является интегрируемой [3].

      Отметим без доказательств, что справедливы  следующие 

утверждения:

1. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [а, b], то она интегрируема на любом отрезке [с, d], содержащимся в [а, b].
2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то она интегрируема на этом отрезке.
3. Если функция f(x) имеет на отрезке [а, b] конечное число точек разрыва первого рода, то она интегрируема на отрезке [а, b].

 

 2. Экономический смысл и приложение

 определенного интеграла в экономике 

      Традиционно практическое приложение интеграла иллюстрируется вычислением площадей различных фигур, нахождением объемов геометрических тел и некоторыми приложениями в физике и технике. Однако роль интеграла в моделировании экономических процессов не рассматривается. Вместе с тем, интегральное исчисление дает богатый математический аппарат для моделирования и исследования процессов, происходящих в экономике.

      Определение интегральной суммы позволяет использовать понятие определенного интеграла в социально-экономической сфере. Его применение основано на том, что любой меняющийся социально-экономический процесс может быть интерпретирован как скачкообразный, скачки которого близки к нулю. 

      2.1 Потребительский излишек 

      Остановимся на нескольких примерах использования  интегрального исчисления в экономике. Начнем с широко используемого в рыночной экономике понятия потребительского излишка (CS–consumer’s surplus). Для этого введем несколько экономических понятий и обозначений.

      Спрос на данный товар (D–demand) – сложившаяся  на определенный момент времени зависимость между ценой товара и объемом его покупки. Спрос на отдельный товар графически изображается в виде кривой с отрицательным наклоном, отражающей взаимосвязь между ценой P (price) единицы этого товара и количеством товара Q (quantity), которое потребители готовы купить при каждой заданной цене. Отрицательный наклон кривой спроса имеет очевидное объяснение: чем дороже товар, тем меньше количество товара, которое покупатели готовы купить, и наоборот.

      Аналогично  определяется и другое ключевое понятие экономической теории – предложение (S–supply) товара: сложившаяся на определенный момент времени зависимость между ценой товара и количеством товара, предлагаемого к продаже. Предложение отдельного товара изображается графически в виде кривой с положительным наклоном, отражающей взаимосвязь между ценой единицы этого товара P и количеством товара Q, которое потребители готовы продать при каждой цене [5].

       Отметим, что экономисты сочли удобным  изображать аргумент (цену) по оси ординат, а зависимую переменную (количество товара) по оси абсцисс. Поэтому графики функций спроса и предложения выглядят следующим образом  

      Рис.2.1. Графики функций спроса и предложения