Интегральное исчисление в экономике

        И, наконец, введем еще одно  понятие, играющее большую роль в моделировании экономических процессов – рыночное равновесие (equilibrium). Состояние равновесия характеризуют такие цена и количество, при которых объем спроса совпадает с величиной предложения, а графически рыночное равновесие изображается точкой пересечения кривых спроса и предложения (рис. 2.2), E*(p*; q*) – точка равновесия. 

      

 

      Рис.2.2 Точка рыночного равновесия 

      В дальнейшем для удобства анализа  мы будем рассматривать не зависимость Q = f(P), а обратные функции спроса и предложения, характеризующие зависимость P = f(Q), тогда аргумент и значение функции графически будут изображаться привычным для нас образом.

      Перейдем  теперь к рассмотрению приложений интегрального анализа для определения потребительского излишка [5]. Для этого изобразим на графике обратную функцию спроса P = f(Q). Допустим, что рыночное равновесие установилось в точке E*(q*; p*) (кривая предложения на графике отсутствует для удобства дальнейшего анализа, рис.2.3). 

 

      Рис.2.3. График рыночного равновесия 

      Если  покупатель приобретает товар в  количестве Q* по равновесной цене P*, то очевидно, что общие расходы на покупку такого товара составят P*Q*, что равно площади заштрихованной фигуры A (рис.2.4). 

      

 

      Рис.2.4. Общие расходы на покупку товара 

      Но  предположим теперь, что товар  в количестве Q* продается продавцами не сразу, а поступает на рынок небольшими партиями Q. Именно такое допущение вместе с предположением о непрерывности функции спроса и предложения является основным при выводе формулы для расчета потребительского излишка (см. [2.1–2.4]). Отметим, что данное допущение вполне оправдано, потому что такая схема реализации товара довольно распространена на практике и вытекает из цели продавца поддерживать цену на товар как можно выше.

      Тогда получим, что сначала предлагается товар в количестве Q₁ = D Q (рис.2.5), который продается по цене P₁ = f(Q₁). Так как по предположению величина Q мала, то можно считать, что вся первая партия товара реализуется по цене P₁, при этом затраты покупателя на покупку такого количества товара составят P₁D Q, что соответствует площади заштрихованного прямоугольника S₁ (рис.2.5) [5].

      

 

      Рис.2.5. Затраты покупателя 

      Далее на рынок поступает вторая партия товара в том же количестве, которая  продается по цене P₂ = f(Q₂), где Q₂ = Q₁ + D Q – общее количество реализованной продукции, а затраты покупателя на покупку второй партии составят P₂D Q, что соответствует площади прямоугольника S₂.

Продолжим процесс  до тех пор, пока не дойдем до равновесного количества товара Q* = Qn. Тогда становится ясно, какой должна быть величина DQ для того, чтобы процесс продажи товара закончился в точке Q*:

      В результате получим, что цена n-й  партии товара Pn = f(Qn) = f(Q*) = P*, а затраты  потребителей на покупку этой последней  партии товара составят PnD Q, или площадь прямоугольника Sn.

      Таким образом, мы получим, что суммарные затраты потребителей при покупке товара мелкими партиями D Q равны:

Так как величина D Q очень мала, а функция f(Q) непрерывна, то заключаем, что приблизительно равна площади фигуры B (рис.2.6) [5].  

 

Рис.2.6. Суммарные затраты потребителей 

Площадь фигуры B при малых приращениях аргумента D Q равна определенному интегралу от обратной функции спроса при изменении аргумента от 0 до Q*, т. е. в итоге получим, что:

.                                                                           (2.1)

Вспомнив, что  каждая точка на кривой спроса Pi = f(Qi) (i = 1, 2, ..., k) показывает, какую сумму  потребитель готов заплатить за покупку дополнительной единицы продукта, получим, что площадь фигуры B соответствует общей денежной сумме, которую потребитель готов потратить на покупку Q* единиц товара. Разность между площадью фигуры B и площадью прямоугольника A есть потребительский излишек при покупке данного товара – превышение общей стоимости, которую потребитель готов уплатить за все единицы товара, над его реальными расходами на их приобретение (площадь заштрихованной фигуры на рисунке 2.7).

      Рис.2.7. Потребительский излишек

      Таким образом, потребительский излишек  можно посчитать по следующей формуле:                                                                                                                                                                    

                                                                                       

                                              ,                                            (2.2)

где  CS – потребительский излишек

       P* – цена товара;

       Q* – количество товара . 

      Аналогично,

                                                                                   (2.3)

называется выигрышем  поставщиков или производителей [5]. 

      2.2 Восстановление экономических характеристик по их предельным значениям 

      Пример:  Пусть С(q) – функция издержек, q – количество выпускаемого товара. Как известно, MC(q) = C′(q) – функция предельных издержек, выражающая при заданном q издержки на производство 1 дополнительной единицы продукции. Пусть задана  функция предельных издержек и требуется определить по ней C(q).

      Для однозначного решения требуется  информация об издержках производства первой единицы продукции. Обозначим такие издержки через С₀. Тогда поставленную задачу решает следующий интеграл с переменным верхним пределом:

       (2.4) 
 

где  С(q) – функция издержек

       MC – предельные издержки;

       t – время . 

      Действительно, С(1)=С₀, так что поставленное начальное условие выполнено. Кроме того, мы знаем, что для непрерывных функций MC(t) интеграл справа в уравнении (2.4) есть дифференцируемая функция, производная которой в точке q равна MC(q). Стало быть, этот интеграл действительно выражает искомую функцию издержек [4]. 

      2.3 Нахождение дисконтированной стоимости денежного потока 

      Как известно, дисконтирование представляет собой специальный приём для сопоставления текущей и будущей (очевидно, более низкой, чем текущая) ценности денежных сумм. Дисконтирование также называют снижение ценности отсроченных денежных поступлений.

Пусть в дискретные моменты времени t = 1, 2, 3, … . величина денежных поступлений составляет R(1), R(2), R(3), … . Если ставку банковского процента, соответствующую одному временному такту обозначит через р, то, пересчитывая эти значения на настоящий момент и складывая результаты, получим дисконтированную стоимость всего потока, соответствующего изменению времени от 1до n:

 

                                                                                 (2.5)

Величина П, меньшая, чем сумма          , дает теперешнюю суммарную стоимость всех поступлений за указанный период времени [4].

      Рассмотрим  теперь модель с непрерывным временем, изменяющимся на некотором отрезке [0,T]. В такой модели как сами выплаты, так и снижение их ценности происходят непрерывно. Если в момент времени t выплачиваемые средства составляют R(t)  условных единиц, то в качестве характеристики изменения денежного потока целесообразно взять производную функции R(t) по времени:                                   которую именуют скоростью денежного потока.  Ясно, что мы имеем теперь дело не с дискретными значениями потока, а с его приращениями (их приближенно заменим дифференциалами функции R(t)  dR(t;dt)  = I(t)dt за время от t до  t + dt.

      Для нахождения дисконтированной стоимости  dП такого приращения разобьем единичный временной промежуток на k равных частей. Тогда отрезок [0;t], в конце которого за время dt поток прирастает на dR(t;dt), разобьётся на kt равных частей [4]. Далее осуществим в формуле (2.4)  переход к пределу при k→∞, взяв в знаменателе ее правой части в качестве коэффициента дисконтирования величину , а в числителе -  приращение dR(t;dt):

      

Интегрируя теперь этот элемент стоимости по t в пределах от 0 до T найдем

 ,                              (2.6)

где  П(Т) –дисконтированный поток

       I(t) – скорость денежного потока;

       t – время . 

      2.4  Количество денег, поступивших в банк за определенный промежуток времени

      Пусть u = f(t)  описывает количество денег поступающих в сберегательный банк в каждый момент времени t [1]. Требуется определить общее количество денег U, поступивших в банк за промежуток времени [0, Т]. Если f(t) = const, то количество денег U, поступившее в банк за промежуток

времени [0, Т], находится  по формуле U = f(с) ∙ (T - 0) = f(c)T, где с произвольное значение из отрезка [0, Т].

      Если  в каждый момент времени за промежуток времени [0, Т/2] в банк поступает f(c₁) денежных единиц, а в каждый момент времени в промежутке [Т/2, Т] - f(c₂) денежных единиц, то общее количество денег, поступившее за промежуток времени [0, Т], подсчитывается по формуле

U = f(c₁)T/2+ f(c₂)T/2.

      Пусть  f(t) - произвольная кусочно-непрерывная функция на отрезке [0, Т]. Разобьем отрезок [0, Т] на промежутки времени точками:

0 = t₀<t₁<t₂<…<t_n-1<t_n = T.

       Количество  денег ∆U_i, поступивших в банк за промежуток времени [t_i-1, t_i],  приближенно может быть вычислено по формуле ∆U ≈ f(c_i)∆t_i, где (точность этого равенства тем выше, чем меньше ∆t_i) [1]. Тогда  

При стремлении max ∆t_i к нулю каждое из использованных приближенных равенств становится все более точным, поэтому  

Учитывая определение  определенного интеграла, окончательно получаем

                                                                        (2.7) 

где  U – количесво денег

       f(t) – количество денег;

       t – время .                                      

      т. е. если  f(t) - количество денег, поступивших в банк в момент времени t, то есть общее количество денег, поступивших в банк за промежуток времени [0, Т].

      Поскольку f(t)≥0, то общее количество денег, поступивших в Сбербанк за промежуток времени [0, Т] численно равно площади фигуры под графиком функции f(t) [4]. 

      2.5  Объем продукции, произведенной за определенный промежуток времени. 

      Пусть, теперь, функция у = f(t) описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени. Найдем объем продукции Q, произведенной за промежуток времени [0, Т].

  Разобьем  отрезок [0, Т] на промежутки  времени точками:

Объем продукции  ∆Qi произведенной за промежуток времени [t_i-1, t_i], приближенно может быть вычислен по формуле