Интеграл, двойной интеграл, тройной интеграл, центр тяжести, масса тела, граф, уровни, отношения, матрица

 
 

1.1.4. Графики решений 
 

 

Рис.2

1.1.5. Сравнение методов 

        Из проведенного исследования видно, что наиболее точным методом является метод Рунги-Кутты 2. Его график максимально близко подходит к графику точного решения. Метод Пикара и метод Эйлера дают менее точное приближение. Из рисунка 2 видно, что они вскоре и вовсе разойдутся с графиком точного решения. Метод Рунги-Кутты 1 дает сравнительно среднее приближение. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.2. Решение дифференциальных  уравнений ІІ порядка 
 

      Дифференциальным  уравнением ΙΙ порядка называется уравнение, заданное в неявном виде

                  F(x, y, y^', y'') = 0                                                                       (9)

или уравнение, разрешённое относительно старшей производной

                              y'' = f(x, y', y'').                                                                        (10) 

Здесь x – аргумент; y – неизвестная функция.

      Различают общее решение функции y = j (x, C_1, C₂) и общий интеграл (уравнение Ф (x, y,C₁, C₂)) уравнений (8), (9), где C₁ и C₂ – произвольные постоянные.

      Нахождение  решения уравнения, удовлетворяющего начальным условиям , , называется задачей Коши. Решение задачи Коши называется частным решением уравнения.

  

1.2.1.Аналитическое решение 
 

Условие задачи:

      Решение одной из задач об управление летательного на орбите требует исследования интеграла уравнения,      где x и y-координаты аппарата в системе координат, связанной с наблюдателем. Найти частный интеграл при заданных начальных условиях.                                                                                   

Начальные условия:    

Указания  к решению:

      Данное  уравнение вида не содержит в явном виде независимую переменную x. Для решения полагаем , тогда и получим уравнение I порядка , в котором неизвестной функцией является p(y), а независимой переменной y. 

 

Рис.3 
 

Решение: 

      В данном случае после подстановки  получим ДУ I порядка с разделяющимися переменными: . Разделим переменные и проинтегрируем:

Подставим в  последнее соотношение  , получим ДУ I порядка.

 

Конкретные значения независимых переменных найдем, решая относительно С1, С2 следующую систему , при указанных НУ Окончательно получим С1=2, С2=5 

Ответ: 

Вывод 

      Дифференциальные  уравнения имеют исключительно важное значение для современного естествознания и техники. В данном разделе рассмотрено приложение дифференциальных уравнений к решению задач авиационной тематики.  Дифференциальные уравнения также применяются в механике. Все расчеты по динамике сводятся к решению дифференциальных уравнений. И поэтому они имеют прямое отношение к нашей специальности а, следовательно, их знание необходимо.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                     2. Кратные интегралы 

2.1. Центр тяжести фигуры 

      Центр тяжести – это некоторая осреднённая  точка, в которой может быть сосредоточена  сила веса (тяжести) тела или пластины, то есть момент весов всех элементарных частиц должен быть уравновешен в точке центра тяжести объекта.  

Задание №1

      Найти центр тяжести плоской фигуры, ограниченной линиями : y=sinx

и прямой ОА, проходящей через начало координат и точку А (p/2;1) (y³0) 
 
 

 

Рис.4 

Решение:

      Т.к. пластина однородна, то поверхностная  плотность g(x; y) постоянна, поэтому формулы примут вид:

                                            (11)

Вычислим XЦ. , YЦ.

2.2. Площадь поверхности 

      Пусть поверхность задана уравнением z=f(x, y), проекцией функции f(x, y) на плоскость OXY является область D и в этой области функция f(x, y) непрерывна и имеет непрерывные частные производные f′x(x, y)  и  f′y(x, y), тогда площадь поверхности определится соотношением                                                                          (12)

Задание №2

     Найти площадь поверхности сферы , вырезанную цилиндром .  

Графическое представление:

                                                                                    Проекция на плоскость XOY

 

                                                                                                                                         

Рис.5 
 
 
 
 
 

Решение:

      В силу симметрии достаточно вычислить  площадь поверхности только верхней «шапочки» и результат удвоить 

 

Проекция  поверхности на плоскость OXY-круг , следовательно, удобнее перейти к полярным координатам .

Уравнение окружности примет вид 

                               

Вся площадь  поверхности равна 

 

Ответ:  
 

2.3. Объем тела 

     Объём тела, ограниченного поверхностью z=f(x,y), где f(x,y) – неотрицательная функция, равен двойному интегралу от функции f(x,y) по области D, которая является ее проекцией на плоскость OXY. 
 
 

Задание №3

Найти объем  тела, ограниченного поверхностями

  (внутри цилиндров)

Графическое представление: 

Проекция  на плоскость XOY  

 
 

Рис.6 

Решение:

      Вычислим 1/8 искомого объема, а именно ту его часть, которая расположена в первом октанте. В качестве области интегрирования придется взять полукруг, границы которого подынтегральная функция

Перейдем к  полярным координатам 

 

Определим границы  интегрирования. Напишем уравнение  данной окружности в полярных координатах        

Следовательно, границы области определяются уравнениями:  

Ответ:   
 

2.4. Масса тела 

      Если  дано некоторое тело объемом V с плотностью ρ=γ(x, y, z), представляющей собой непрерывную функцию, то тройной интеграл

  представляет собой массу М данного тела.  

Задание №4

      Найти массу тела, ограниченного шаром , если  плотность g(x,y,z) пропорциональна кубу расстояния от центра шара и на единице расстояния равна g¢. 
 

Решение:

 
 
 
 
 

Перейдём  к сферическим координатам:

Ответ:  
 

2.5. Геометрические и физические приложения кратных интегралов 

Задание №5

      Найти площадь части поверхности z=y , заключенной внутри цилиндра (y³0). 

Решение:

      Линией пересечения плоскости z-y=0 и цилиндра является эллипс, который проецируется на плоскость XOY в окружность

, т.к. y³0 , то

Целесообразно перейти к полярным координатам 

уравнение в полярных координатах ;

 

Ответ:  

Задание №6

    Найти объем тела, образованного поверхностями  y=5/x , x+y=6 , z=0 ,

z=4. 

Графическое представление:

                                                                                

                            

Проекция  на плоскость XOY

 

Рис.7 
 

Решение:

      
 

Ответ:

Вывод.

      В заключение этого раздела следует  отметить, что кратные интегралы имеют очень широкую область применения. В данной главе показывается как с помощью двойных и тройных интегралов вычисляются координаты центра тяжести, объем, площадь криволинейной поверхности, масса плоских и объемных тел и этим не ограничивается круг их применения. Кроме того, с их помощью можно определять статические моменты, моменты инерции и другие, геометрические и физические характеристики тел. При решении задач с помощью кратных интегралов не требуется использование громоздких формул и вычислений и это является значительным преимуществом этого метода расчета.