Построение модели

Проверка равенства математического ожидания случайной компоненты нулю, если она распределена по нормальному закону, осуществляется на основе t-критерия Стьюдента. Расчетное значение этого критерия задается формулой

,                                                   (1.34)

где - среднее арифметическое значение уровней остаточной последовательности , - стандартное (среднеквадратическое отклонение) для этой последовательности.

Если расчетное значение меньше табличного значения статистики Стьюдента с заданным уровнем значимости и числом степеней свободы , то гипотеза о равенстве нулю математического ожидания случайной последовательности принимается; в противном случае эта гипотеза отвергается и модель считается неадекватной.

Проверка независимости значений уровней случайной компоненты, т.е. проверка отсутствия существенной автокорреляции в остаточной последовательности может осуществляться по ряду критериев, наиболее распространенным из которых является d-критерий Дарбина-Уотсона Расчетное значение этого критерия определяется по формуле

    .                                           (1.35)

Проверка на точность модели производится по формуле

среднеквадратическое отклонение

                                           ,                                                    (1.36)

средняя относительная ошибка аппроксимации

                                           ,                                                       (1.37)

1.5.5. Прогнозирование динамики на основе трендовых моделей

Прогноз на основании трендовых моделей (кривых роста) содержит два элемента: точечный и интервальный прогнозы. Точечный прогноз – это прогноз, которым называется единственное значение прогнозируемого показателя. Это значение определяется подстановкой в уравнение выбранной кривой роста величины времени , соответствующей периоду упреждения: , и т. д. Такой прогноз называется точечным, так как на графике его можно изобразить в виде точки.

Очевидно, что точное совпадение фактических данных в будущем и прогностических точечных оценок маловероятно. Поэтому точечный прогноз должен сопровождаться двусторонними границами, то есть указанием интервала значений, в котором с достаточной долей уверенности можно ожидать появления прогнозируемой величины. Установление такого интервала называется интервальным прогнозом.

Стандартная (средняя квадратическая) ошибка оценки прогнозируемого показателя определяется по формуле:

,                                                          (1.38)

где - фактическое значение уровня временного ряда для времени t; - расчетная оценка соответствующего показателя по модели (например, по уравнению кривой роста); n – количество уровней в исходном временном ряду; k – число параметров модели.

В случае прямолинейного тренда для расчета доверительного интервала можно использовать аналогичную формулу для парной регрессии, таким образом, доверительный интервал прогноза в этом случае будет иметь вид

,                           (1.39)

где L – период упреждения; - точечный прогноз по модели на -й момент времени; n – количество наблюдений во временном ряду; стандартная ошибка оценки прогнозируемого показателя, рассчитанная по формуле (1) для числа параметров модели, равного двум; - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости и числа степеней свободы, равного .

Если выражение

                                                                                           (1.40)

обозначить через K, то формула для доверительного интервала примет вид:

.                                                 (1.41)

Значения величины К для оценки доверительных интервалов прогноза относительно линейного тренда табулированы.

Иногда для расчета доверительных интервалов прогноза относительно линейного тренда применяют приведенную выше формулу в несколько преобразованном виде:

                                                            (1.42)

Здесь t – порядковый номер уровня ряда (t = 1, 2, . . . , n); - время, для которого делается прогноз; - время, соответствующее середине периода наблюдений для исходного ряда, например =(n+1):2; суммирование ведется по всем наблюдениям.

Эту формулу можно упростить, если, как часто делается на практике, перенести начало отсчета времени на середину периода наблюдений (=0):

.                                    (1.43)

Формула для расчета доверительных интервалов прогноза относительно тренда, имеющего вид полинома второго или третьего порядка, выглядит следующим образом:

,                      (1.44)

Аналогично вычисляются доверительные интервалы для экспоненциальной кривой роста, а также для кривых роста, имеющих асимптоту (модифицированная экспонента, кривая Гомперца, логистическая кривая), если значение асимптоты известно.

Глава 2. Построение имитационной модели и составление прогноза

По данным таблицы 2 найти:

1.                      Цепной абсолютный прирост

2.                      Базисный абсолютный прирост

3.                      Цепной средний абсолютный прирост

4.                      Базисный средний абсолютный прирост

5.                      Прирост за весь период наблюдения

6.                      Цепной коэффициент роста

7.                      Базисный коэффициент роста

8.                      Цепной коэффициент прироста

9.                      Базисный коэффициент прироста

10.                  Цепной темп роста

11.                  Базисный темп роста

12.                  Цепной темп прироста

13.                  Базисный темп прироста

14.                  Выявить аномальные уровни ряда

15.                  Определить наличие тренда во временном ряду

16.                  Найти первые 12 коэффициентов автокорреляции, построить                     автокорреляционную  функцию и найти временной лаг

17.                  Построить график сезонной волны

18.                  Построить аналитическую модель ряда с использованием метода Фурье

19.                  Оценить адекватность и точность трендовой модели

20.                  Построить интервальный и точный прогноз на 4 уровня вперед

Таблица 2.

Первичные данные.

2.1 Абсолютный и средний абсолютный прирост

Найдём абсолютный прирост и средний абсолютный прирост(1.2-1.4),

Таблица 3.

Абсолютный и средний абсолютный прирост.

Прирост за весь период наблюдения для данного временного ряда равен

2.2 Показатели роста и прироста

Для вычисление коэффициент роста используем формулы (1.8),  а для коэффициента прироста (1.5-1.7) и темпа прироста (1.9-1.10) . Также найдём темп обоих показателей по формулам

Таблица 4.

Показатели роста и прироста.