Построение модели

                                                                       (1.14)

Для моментного ряда с равноотстоящими уровнями средняя хронологическая рассчитывается по формуле:

,                         (1.15)

где n-число уровней ряда.

Средняя хронологическая для моментного временного ряда с равноотстоящими во времени уровнями вычисляется по формуле:

                     .                          (1.16)

1.3. Методы корректировки динамического ряда

Для выявления аномальных уровней временных рядов используются методы, рассчитанные для статистических совокупностей.

Метод Ирвина, например, предполагает использование следующей формулы:

.                                           (1.17)

где среднеквадратическое отклонение рассчитывается в свою очередь с использованием формул:

                                   ;                                                  (1.18)

                                         .                                                      (1.19)

F-критерия Фишера, которая основана на сравнении расчетного значения этого критерия:

                                                                           (1.20)

t-критерия Стьюдента. Для этого определяется расчетное значение критерия Стьюдента по формуле:

                                                                                              (1.21)

где - среднеквадратическое отклонение разности средних:

.

Для получения числовой характеристики такой внутренней зависимости вычисляют взаимную корреляционную функцию между исходным рядом и этим же рядом, сдвинутым во времени на величину . Такая функция называется автокорреляционной, она характеризует внутреннюю структуру временного ряда и состоит из множества коэффициентов автокорреляции (нециклических), рассчитываемых по формуле:

.                 (1.22)

1.4. Определение трендовой компоненты

Рассмотрим пример аналитического нахождения трендовой составляющей. Аналитические методы более сложны в расчёте, менее точны, но удобны при реализации на имитационных моделях. Удобство связано с тем, что воспроизведение аналитической зависимости на модели гораздо проще, чем воспроизведение процедуры механического сглаживания ряда.

Для нахождения тренда проанализируем три типа зависимости между переменными:

Линейную зависимость: y' = a + b∙t;    

Параболическую зависимость: y' = a + b∙t + c∙t²;   

Гиперболическую зависимость: y' = a + (1/t)∙b;

Методом приростов вычислим параметры, и сверим результаты с таблицей 1 и выберем метод наиболее подходящий нам

Таблица 1.

Показатели роста

Рассчитаем методом наименьших квадратов коэффициенты для этих типов зависимости.

1.5. Определение сезонной компоненты

При рассмотрении квартальных или месячных данных многих социально-экономических явлений часто обнаруживаются определенные, постоянно повторяющиеся колебания, которые существенно не изменяются за длительный период времени. Они являются результатом влияния природно-климатических условий, общих экономических факторов, а также ряда многочисленных разнообразных факторов, которые частично являются регулируемыми. В статистике периодические колебания, которые имеют определенный и постоянный период, равный годовому промежутку, носят название "сезонных колебаний" или "сезонных волн", а динамический ряд в этом случае называют тренд-сезонным, или просто сезонным рядом динамики.

1.5.1. Расчёт сезонной волны выработки электроэнергии

Анализ динамики, или эволюции, сезонной волны может рассматриваться как процесс решения трех взаимосвязанных задач:

1. Анализ динамики амплитуды сезонной волны в каждом месяце (квартале, неделе).

2.  Анализ динамики точек экстремума сезонной волны.

3.  Исследование изменений формы сезонной волны.

На рис. 1 приведена укрупненная схема исследования сезонных временных рядов. Схема не определяет методов решения каждой задачи, методы могут изменяться, совершенствоваться со временем, но она определяет совокупность и последовательность вопросов, которые должны быть решены для полного исследования сезонного временного ряда.

Выше уже отмечалось, что в каких бы формах ни проявлялась сезонность, в любом случае ее действие отрицательно сказывается на результатах деятельности предприятия, фирмы, отрасли, экономики в целом. управление сезонностью должно опираться на знание законов ее эволюции, на знание внешней среды, в которой происходит развитие процесса, подверженного сезонным колебаниям.

1.5.2. Метод Четвертикова

1. Эмпирический ряд выравнивается скользящей средней (4) с периодом скольжения , т.е. берется (+1)членов исходного ряда, из которых первый и последний берутся с половинным весом: . Выпадающие членов ряда с обоих концов либо восстанавливаются экстраполированием выровненного ряда, либо остаются в стороне при последующей стадии работ.

Получаются предварительная оценка тренда

и отклонения эмпирического ряда от выровненного

,   

или

,     (,    ).                             (1.23)

2. Для каждого года вычисляется - среднеквадратическое отклонение, на которое и делятся затем отдельные месячные отклонения соответствующего года:

,                                                     (1.24)

где                                 .                                         (1.25)

3. Из «нормированных» таким путем отклонений вычисляется предварительная средняя сезонная волна:

.                                                 (1.26)

4. Средняя предварительная сезонная волна умножается на среднеквадратическое отклонение каждого года и вычитается из эмпирического ряда:

.                                           (1.27)

5. Получающийся таким образом ряд, лишенный предварительной сезонной волны, вновь сглаживается скользящей средней (для месячных данных по пяти или семи точкам в зависимости от интенсивности мелких конъюнктурных колебаний и продолжительности более крупных). В результате получается новая оценка тренда .

6. Отклонение эмпирического ряда от ряда , полученного в п. 5

,                                            (1.28)

вновь подвергаются аналогичной обработке по пп. 2 и 3 для выявления окончательной средней сезонной волны.

7. Исключение окончательной сезонной волны производится после умножения средней сезонной волны на - коэффициент напряженности сезонной волны:

,                                             (1.29)

где - выровненные значения ряда, - случайная компонента:

.                                         (1.30)

1.5.3. Нахождение сезонной составляющей с помощью ряда Фурье в качестве аналитической модели сезонности

Рассмотрим теперь другой способ нахождения сезонной составляющей, использующий ряд Фурье в качестве аналитической модели сезонности. В этом виде уравнение ряда Фурье запишется следующим образом:

                                                                                                          (1.31)

Найдя частные производные функции и приравняв их к нулю, получим систему нормальных уравнений, решение которых дает следующие формулы для вычисления параметров:

                                                 ,

,                                       (1.32)

.

В этом уравнении величина k определяет номер гармоники ряда Фурье. От числа учтённых гармоник зависит степень точности данной аналитической модели.В годовой динамике t обозначает номер месяца. Для определения параметров ak и bk находят соответствующие уравнения для k-й гармоники. Для первой гармоники, т.е. для k = 1, уравнение имеет вид:

, в котором параметры a0 ,a1 и b1, будут найдены из соотношений:

Далее построим модель сезонной волны с учетом второй гармоники ряда Фурье, при этом уравнение в общем виде запишется как:

Параметры a2 и b2 найдем из соотношений:

1.5.4. Оценка адекватности и точности трендовых моделей

Независимо от выбора и способа построения математической модели вопрос о возможности ее применения в целях анализа и прогнозирования какого-либо явления может быть решен только после установки адекватности, то есть соответствия модели исследуемому процессу или объекту. Так как полного соответствия модели реальному процессу или объекту может не быть, то адекватность – в какой-то мере условное понятие. При моделировании имеется в виду адекватность не вообще, а по тем свойствам модели, которые считаются существенными для исследования.

Трендовая модель конкретного временного ряда считается адекватной, если правильно отражает систематические компоненты временного ряда. Это требование эквивалентно требованию, чтобы остаточная компонента удовлетворяла свойствам случайной компоненты: случайность колебаний уровней остаточной последовательности, соответствие распределения случайной компоненты нормальному закону распределения, равенство математического ожидания случайной компоненты нулю, независимость значений уровней случайной компоненты. Рассмотрим, каким образом осуществляется проверка этих свойств остаточной последовательности.

Проверка соответствия распределения случайной компоненты нормальному закону распределения может быть произведена лишь приближенно с помощью исследования показателей асимметрии () и эксцесса (), так как временные ряды, как правило, не очень велики. При нормальном распределении показатели асимметрии и эксцесса некоторой генеральной совокупности равны нулю. Мы предполагаем, что отклонения от тренда представляют собой выборку из генеральной совокупности, поэтому можно определить только выборочные характеристики асимметрии и эксцесса и их ошибки:

;      ;                              (1.33)

Кроме рассмотренного метода известен и ряд других методов проверки нормальности закона распределения случайной величины: метод Вестергарда, RS-метод и т.д. Рассмотрим наиболее простой из них, основанный на RS-критерии. Этот критерий численно равен отношению размаха вариации случайной величины R к стандартному отклонению S. В нашем случае , а . Вычисленное значение RS-критерия сравнивается с табличными (критическими) нижней и верхней границами данного отношения, и если это значение не попадает в интервал между критическими границами, то с заданным уровнем значимости гипотеза о нормальности распределения отвергается; в противном случае эта гипотеза принимается. Для иллюстрации приведем несколько пар значений критических границ RS-критерия для уровня значимости =0,05: при n=10 нижняя граница равна 2,67, а верхняя рана 3,685; при n=20 эти числа составляют соответственно 3,18 и 4,49; при n=30 они равны 3,47 и 4,89.