Математические методы в экономике

Если а₁ >a₂ имеет место трудосберегающий (интенсивный) рост, в противном случае - фондосберегающчй (экстенсивный) рост.

Рассмотрим темп роста  выпуска

Если возвести обе части  уравнения в степень  , получим соотношение

в котором справа — взвешенное среднее геометрическое темпов роста  затрат ресурсов, при этом в качестве весов выступают относительные  эластичности факторов

 

При а₁+ а₂ > 1 выпуск растет быстрее, чем в среднем растут факторы , а при а₁+ а₂ < 1 - медленнее. В самом деле, если факторы растут (т.е. K_t+1>K_t, L_t+1>L_t) то согласно

растет и выпуск (т.е. X_t+1>X_t), следовательно, при а₁+ а₂ > 1

т.е.   действительно, темп роста выпуска больше среднего темпа  роста факторов . Таким образом, при  а₁+ а₂ > 1 ПФ описывает растущую экономику.

Линией уровня на плоскости К, L, или изоквантой, называется множество тех точек плоскости, для которых F(K, L) =Х₀=const. Для мультипликативной ПФ изокванта имеет вид :

 или 

т.е.  является степенной  гиперболой, асимптотами которой  служат оси координат.

Для разных К, L, лежащих на конкретной изокванте, выпуск равен одному и тому же значению X₀, что эквивалентно утверждению о взаимозаменяемости ресурсов.

Поскольку на изокванте F(K, L) = Х₀ = const, то

В этом соотношении 

,

поэтому dK и dL имеют разные знаки: если dL<0  что означает сокращение объема труда, то dK>0, т.е выбывший в объеме труд замещается фондами в объеме dK.

Поэтому естественно следующее  определение, вытекающее из

.

Предельной нормой замены S_K труда фондами называется отношение модулей дифференциалов ОФ и труда:

соответственно , предельная норма замены S_L фондов трудом

 при этом S_k S_L=1

 

Для мультипликативной функции  норма замещения труда фондами  пропорциональна фондовооруженности:

,

что совершенно естественно: недостаток труда можно компенсировать его лучшей фондовооруженностью.

Изоклиналями называются линии наибольшего роста ПФ. Изоклинали ортогональны линиям нулевого роста, т.е. изоквантам. Поскольку направление наибольшего роста в каждой точке (К, L) задается градиентом

grad

  ,

то уравнение изоклинали записывается в форме

В частности, для мультипликативной ПФ получаем,

поэтому изоклиналь задается дифференциальным уравнением,

,

которое имеет  решение

,  

где (L₀; К₀) - координаты точки, через которую проходит изоклиналь. Наиболее простая изоклиналь при а = 0 представляет собой прямую

На рис. 1 изображены изокванты  и изоклинали мультипликативной ПФ.

рис. 1

При изучении факторов роста  экономики выделяют экстенсивные факторы роста (за счет увеличения затрат ресурсов, т.е. увеличения масштаба производства)  и интенсивные факторы роста (за счет повышения эффективности использования ресурсов).

Возникает вопрос: как с  помощью ПФ выразить масштаб и эффективность производства? Это сравнительно легко сделать, если выпуск и затраты выражены в соизмеримых единицах, например представлены в соизмеримой стоимостной форме. Однако проблема соизмерения настоящего и прошлого труда до сих пор не решена удовлетворительным образом. Поэтому воспользуемся переходом к относительным (безразмерным) показателям.В относительных показателях мультипликативная ПФ записывается следующим образом:

те X₀, K₀ L₀ — значения выпуска и затрат фондов и труда в базовый год.

Безразмерная форма , указанная  выше , легко приводится к первоначальному  виду

 

Таким образом, коэффициент 

получает естественную интерпретацию - это коэффициент, который соизмеряет ресурсы с выпуском. Если обозначить выпуск и ресурсы в относительных (безразмерных) единицах измерения через x, k, l, то ПФ в форме

запишется так:

Найдем теперь эффективность  экономики, представленной ПФ . Напомним, что эффективность — это отношение  результата к затратам. В нашем  случае два вида затрат: затраты  прошлого труда в виде фондов k и настоящего труда l. Поэтому имеются два частных показателя эффективности: -фондоотдача , -  производитель труда.

Поскольку частные показатели эффективности имеют одинаковую размерность (точнее, одинаково безразмерны), то можно находить любые средние  из них. Так как ПФ выражена в мультипликативной  форме, то и среднее естественно  взять в такой же форме, т.е. среднегеометрическое значение.

Итак, обобщенный показатель экономической эффективности есть взвешенное среднее геометрическое частных показателей экономической эффективности:

в котором роль весов выполняют  относительные эластичности

 

т.е. частные эффективности  участвуют в образовании обобщенной эффективности с такими же приоритетами, с какими входят в ПФ соответствующие  ресурсы.   Из 

вытекает, что с помощью  коэффициента экономической эффективности ПФ преобразуется в форму, внешне совпадающую с функцией Кобба-Дугласа: 

k=Ek^a l^1-a

в соотношении с чем  Е - не постоянный коэффициент, а функция от (К, L).

Поскольку масштаб производства М проявляется в объеме затраченных ресурсов, то по тем же соображениям, которые были приведены при расчете обобщенного показателя экономической эффективности, средний размер использованных ресурсов (т.е. масштаб производства)

M=k^al^1-a

В результате получаем , что  выпуск Х есть произведение экономической эффективности и масштаба производства:

Х=ЕМ.

 

 

Литература

1. Доугерти К. Введение в эконометрику. – М.: Финансы и статистика, 2001.
2. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.П. Математические методы в экономике: Учебник. – М.: Изд. «ДИС», 1997.
3. Курс экономической теории: учебник. – Киров: «АСА», 1999.
4. Микроэкономика/ Под ред. Проф. Яковлевой Е.Б. – М.: СПб. Поиск, 2002.
5. Мировая экономика. Варианты аудиторных работ для преподавателей. – М.: ВЗФЭИ, 2001.
6. Овчинников Г.П.. Микроэкономика. – Санкт-Петербург: Изд-во им. Володарского, 1997.
7. Политическая экономия; экономическая энциклопедия. – М.: Изд. «Сов. Энциклопедия», 1979.