Математические методы в экономике

3. Долгосрочный период в деятельности фирмы характеризуется изменением количества всех используемых производственных факторов.

 

 
Рис. 2. Кривая долгосрочных и средних  издержек фирмы

 

Реакция LATC на изменение  параметров (масштаба) фирмы может  быть различной (рис. 3).

 

Рис. 3. Динамика долгосрочных средних издержек

 

I этап:  положительный эффект от масштаба	Увеличение объема выпуска сопровождается снижением LATC, что объясняется эффектом экономии (например, за счет углубления специализации труда, применения новых технологий, эффективное использование отходов).
II этап:  постоянная отдача от масштаба	При изменении объема издержки остаются неизменными, то есть рост количества применяемых ресурсов на 10% вызвал рост объемов производства также на 10%.
III этап:  отрицательный эффект масштаба	Рост объема производства (например, на 7%) вызывает рост LATC (на 10%). Причиной ущерба от масштаба могут быть технические  факторы (неоправданные гигантские размеры предприятия), организационные  причины (рост и негибкость административно-управляющего аппарата).

 

Неоклассическая производственная функция

В отличие от неокейнсианских, неоклассические модели экономического роста исходят из принципа, что  экономика самостоятельно движется к устойчивому развитию и что  в течение достаточно длительного  периода естественный темп роста  совпадает с гарантированным. Для  анализа тенденций экономического роста неоклассики используют аппарат  производственных функций. Они учитывают  не один, а несколько факторов, определяющих экономический рост, допускают их взаимозаменяемость, гибкость факториальных  цен.

Первая многофакторная неоклассическая модель экономического роста была разработана в 1928 г. американскими  исследователями, математиком Ч. Коббом и экономистом П. Дугласом, и по имени своих создателей названа  производственной функцией Кобба –  Дугласа.

Дальнейшая модификация  функции Кобба – Дугласа осуществлялась по двум направлениям. Их последователи  стали вводить НТП в производственную функцию экзогенно (внешне) или эндогенно (внутренне) в качестве одного из факторов. Первое направление представляет известный  нидерландский экономист лауреат  Нобелевской премии Я. Тинберген. Он вводит в производственную функцию  НТП как самостоятельный фактор, приравнивая его к капиталу и  труду.

Второе направление  исследует производственные функции, в которых НТП задается внутренне, что находит свое выражение в  изменении соотношений между  капиталом и трудом.

Существенный вклад  в разработку моделей экономического роста на базе производственных функций, в частности, функции Кобба –  Дугласа, внесли американские экономисты Р. Солоу, Э. Денисон и Дж. Мид.

Наиболее известной  моделью экономического роста является модель лауреата Нобелевской премии Солоу. Данная модель выявляет механизм воздействия сбережений, роста населения  и научно-технического прогресса  на уровень жизни и его динамику. Основными условиями действия этого  механизма являются равенство сбережений и инвестиций, постоянство темпов роста численности населения.

В общем виде объем национального  выпуска g является функцией 3-х факторов производства: труда L, капитала K, земли N.

g = f (L, K, N)

Фактор земли в модели Р. Солоу был опущен ввиду малой  эффективности в экономических  системах, характеризующихся высоким  технологическим уровнем, и поэтому  объем выпуска зависит от трудовых и производственных факторов.

g = f (L, K)

В развернутом виде эта  формула имеет вид:

g = ( Dg/ DL) · L + (Dg/ DK) · K

где Dg/ DL – предельный продукт  труда MPL,

Dg/ DK – предельный продукт  капитала MPK.

Это значит, что общий  продукт равняется сумме произведений затраченного количества труда и  капитала на их предельные продукты, т.е. на прирост продуктов Dg от увеличения затрат труда DL и затрат капитала DK.

В упрощенном виде:

y = g / L

Где y – производительность труда.

k = K/ L

где k – капиталовооруженность  труда.

Тогда производственная функция  имеет вид :

y= f (k)

где f (k) = F (k,1).

 
График показывает, что капиталовооруженность k определяет размер выпуска продукции  на одного работника : y = f (k).

Совокупный спрос в  модели Р. Солоу определяется инвестиционным и потребительским спросом. Уравнение  выпуска продукции на одного работника  имеет вид:

g = с + i

где с и i – потребление  и инвестиции.

Так как доход используется на потребление и накопление, то

c = (1 – s) · y ,

где s – норма сбережений.

Тогда y = c + i = (1 – s) · y + i, откуда i = s · y.

То есть в условиях равновесия инвестиции равны сбережениям и  пропорциональны доходу.

В результате условие равенства  спроса и предложения может быть представлено как:

f (k) = c + i или f (k) = i/ s

Производственная функция  определяет предложение на рынке  товаров, а накопление капитала –  спрос на производственную продукцию.

Объем же капитала меняется под воздействием инвестиции выбытия.

Инвестиции в расчете  на одного работника являются частью дохода, приходящегося на одного работника ( i = sy) или

i = s • f(k)

Из этого следует, что, чем выше уровень капиталовооруженности k, тем выше уровень производства f(k) и больше инвестиции i (рис. 2.2). 
 
В модели Р.Солоу норма сбережений – ключевой фактор, определяющий уровень устойчивости капиталовооруженности. Более высокая норма сбережений обеспечивает больший запас капитала и более высокий уровень производства.

Другим фактором непрерывного экономического роста в условиях устойчивой экономики является рост населения. Для устойчивости экономики  необходимо, чтобы инвестиции s•f(k) должны компенсировать последствия  выбытия капитала и рост капитала (d + n) k, на графике точка Е (рис. 2.3). Однако, если рост населения не сопровождается увеличением инвестиций, то это ведет  к уменьшению запаса капитала на одного работника.

Таким образом, если страны с более высокими темпами роста  населения имеют меньшую капиталовооруженность, то значит – и более низкие доходы. 
 
Третьим источником экономического роста после инвестиций и увеличения численности населения является технический прогресс. В неоклассической теории технический прогресс – это качественные изменения в производстве (повышение образования работников, улучшение организации труда, рост масштабов производства). Включение в модель технического прогресса изменит исходную производственную функцию:

g = f(K, L, e),

где e – эффективность  труда одного работника (зависит  от здоровья, образования, квалификации),

Le – численность эффективных  единиц рабочей силы.

Если же численность  занятых L растет с темпом n, а эффективность e растет с темпом g, то Le будет увеличиваться  с темпом n + g. Капитал на единицу  труда с постоянной эффективностью составит k1 + [K /(Le)], а объем производства на единицу труда с постоянной эффективностью y1 = g / (Le). Состояние  устойчивого равновесия достигается  при условии: s • f(k1) = (d + n + g) • k1,

где d – норма  амортизации. 
 
Из равенства следует, что существует лишь один уровень капиталовооруженности k1, при которой капитал и выпуск продукции, приходящиеся на единицу труда с неизменной эффективностью, постоянны (рис. 2.4)

В устойчивом состоянии k1 при наличии технического прогресса  общий объем капитала К и выпуск g будет расти с темпом n + g. В  расчете на одного работника капиталовооруженность k/L и выпуск g/L будет расти с  темпом g. Таким образом, технический  прогресс в модели Р. Солоу – это  единственное условие непрерывного экономического развития.

Из данной модели следует важное заключение: высокий  уровень сбережений ведет к более  быстрому экономическому росту, а это  ускорение – движение к новому устойчивому состоянию.

Вывод. Основные современные модели экономического роста, как и любые модели представляют собой абстрактное, упрощенное выражение  реального экономического процесса в форме уравнений или графиков. Целый ряд допущений, предваряющих каждую модель, уже изначально отодвигает результат от реальных процессов, но, тем не менее, дает возможность проанализировать отдельные стороны и закономерности такого сложного явления как экономический  рост.

Мультипликативная производственная функция

Мультипликативная ПФ задается выражением

a₁>0 a_n>0 где А — коэффициент нейтрального технического прогресса; а₁, a₂ -коэффициенты эластичности по труду и фондам .

Таким образом, ПФ обладает свойством 1, адекватным реальной экономике: при отсутствии одного из ресурсов производство невозможно. Частным случаем этой функции служит функция Кобба-Дугласа

где  a₁=a, a₂=1-a

Мультипликативная ПФ определяется по временному ряду выпусков и затрат ресурсов (Х_t, К_t, L_t,), t= 1, ..., Т, где T- длина временного ряда, при этом предполагается, что имеет место Т соотношений

где d_t — корректировочный случайный коэффициент, который приводит в соответствие фактический и расчетный выпуск и отражает флюктуацию результата под воздействием других факторов, Мd_t = 1. Поскольку в логарифмах эта функция линейна:

In Х_t = In A + a_tIn K_t+ a₂InL_t + e_t, где e_t = In d_t, Мe_t= 0,

получаем модель линейной множественной регрессии. Параметры  функции А, a₁, a₂ могут быть определены по методу наименьших квадратов с помощью стандартных пакетов прикладных программ, содержащих метод множественной регрессии (например, STATGRAF или SAS для персональных ЭВМ).

В качестве примера приведем мультипликативную функцию валового выпуска Российской Федерации (млрд. руб.) в зависимости от стоимости основных производственных фондов (млрд. руб.) и числа занятых в народном хозяйстве (млн. чел.) по данным за 1960-1994 гг. (все стоимостные показатели даны в сопоставимых ценах для этого периода):

X=0,931K^0,539L^0,594

Мультипликативная функция  обладает также свойством 2, адекватным реальной экономике: с ростом затрат ресурсов выпуск увеличивается, т.е.

 

Так как a₁ >0

Так как  a₂>0

Частные производные выпуска  по факторам называются предельными продуктами или предельными (маржинальными) эффективностями факторов и представляют собой прирост выпуска на малую единицу прироста фактора:

- предельный продукт фондов, предельная фондоотдача (предельная  эффективность фондов);

- предельный продукт труда, предельная производительность (предельная эффективность труда).

Для мультипликативной функции  указанной выше  вытекает, что  предельная  фондоотдача пропорциональна  средней фондоотдаче —  с коэффициентом a₁ , а предельная производительность труда — средней производительности труда — с коэффициентом а₂:

, 

Из чего вытекает, что  при а₁ < 1, a₂ < 1 предельные отдачи факторов меньше средних; при этих же условиях мультипликативная функции обладает свойством 3, которое очень часто наблюдается в реальной экономике: с ростом затрат ресурса его предельная отдача падает, т.е.

 так как а₁<1

 так как а₂<1

Из  также видно, что мультипликативная функция обладает свойством 4 , т.е. при неограниченном увеличении одного из ресурсов выпуск неограниченно растет. Таким образом, мультипликативная функция при 0 < а₁ < 1, 0<а₂ < 1 является неоклассической.

Перейдем теперь к экономической  интерпретации параметров А, а₁, а₂ мультипликативной ПФ. Параметр А обычно интерпретируется   как параметр нейтрального технического прогресса: при тех же а₁, а₂  выпуск в точке (К, L) тем больше, чем больше А. Для интерпретации а₁, а₂  необходимо ввести понятие эластичностей как логарифмических производных факторов:

Поскольку в нашем случае In Х = In А + a₁ln К + a₁ln L, то

 

 т.е. а₁  — эластичность выпуска по основным фондам, а a₂ - эластичность выпуска по труду.

Из 

видно, что коэффициент  эластичности фактора показывает, на сколько процентов увеличится выпуск, если фактор возрастет на 1%. Например, согласно ПФ X=0,931K^0,539L^0,594   при увеличении основных фондов (ОФ) на 1% валовой выпуск повысится на 0,539%, а при увеличении занятых на 1% — на 0,594%.