Математические методы в экономике

При убывающей отдаче от масштаба невыгодно создавать крупное  производство. Причиной низкой эффективности  в таком случае, как правило, являются дополнительные затраты, связанные  с управлением подобным производством, сложности координации крупного производства.

Возрастающая отдача от масштаба, как правило, характерна, для тех  производств, где возможна широкая  автоматизация производственных процессов, применение поточных и конвейерных  линий. Но с тенденцией возрастающей отдачи от масштаба нужно быть очень  осторожным. Рано или поздно она  превращается в постоянную, а затем  и в убывающую отдачу от масштаба.

Остановимся на некоторых  характеристиках производственных функций, наиболее важных для экономического анализа. Рассмотрим их на примере ПФ вида .

Как уже было отмечено выше, отношение  (i=1,2) называется средней производительностью i-го ресурса или средним выпуском по i-му ресурсу. Первая частная производная ПФ (i=1,2) называется предельной производительностью i-го ресурса или предельным выпуском по i-му ресурсу. Эту предельную величину иногда интерпретируют, используя близкое к ней отношение малых конечных величин . Приближенно она показывает, на сколько единиц увеличится объем выпуска y, если объем затрат i-го ресурса возрастет на одну (достаточно малую) единицу при неизменных объемах другого затрачиваемого ресурса.

Например, в ПФКД для средних  производительностей основного  капитала у/К и труда у/L используются соответственно термины капиталоотдача и производительность труда:

.

Определим для этой функции  предельные производительности факторов:

и 

.

Таким образом, если , то (i=1,2), то есть предельная производительность i-го ресурса не больше средней производительности этого ресурса. Отношение предельной производительности i-го фактора к его средней производительности называется эластичностью выпуска по i-му фактору производства

или приближенно

.

Таким образом, эластичность выпуска (объема производства) по некоторому фактору (коэффициент эластичности) приближенно определяется как отношение  темпов прироста у к темпам прироста этого фактора, то есть показывает на сколько процентов увеличится выпуск у, если затраты i-го ресурса увеличатся на один процент при неизменных объемах другого ресурса.

Сумма + =Е называется эластичностью производства. Например, для ПФКД = , = и Е= + = + .

Примеры использования  производственных функций в задачах  экономического анализа, прогнозирования  и планирования

Производственные функции  позволяют количественно проанализировать важнейшие экономические зависимости  в сфере производства. Они дают возможность оценить среднюю  и предельную эффективность различных  ресурсов производства, эластичность выпуска по различным ресурсам, предельные нормы замещения ресурсов, эффект от масштаба производства и многое другое.

Пример 1. Предположим, что процесс производства описывается с помощью функции выпуска

.

Оценим основные характеристики этой функции для способа производства, при котором К=400, а L=200.

Решение.

1. Предельные производительности факторов.

Для расчета этих величин  определим частные производные  функции по каждому из факторов:

.

Таким образом, предельная производительность фактора труд в четыре раза превышает  аналогичную величину для фактора  капитал.

2. Эластичность производства.

Эластичность производства определяется суммой эластичностей  выпуска по каждому фактору, то есть

.

3. Предельная норма замещения ресурсов.

Выше в тексте эта величина обозначалась и равнялась . Таким образом, в нашем примере

=-0,4/0,1=-4,

то есть для замещения  единицы труда в этой точке  необходимы четыре единицы ресурсов капитала.

4. Уравнение изокванты.

Для определения формы  изокванты необходимо зафиксировать  значение объема выпуска (Y). Пусть, например, Y=500. Для удобства примем L функцией К, тогда уравнение изокванты примет вид

.

Предельная норма замещения  ресурсов определяет тангенс угла наклона  касательной к изокванте в  соответствующей точке. Используя  результаты п. 3, можно сказать, что  точка касания расположена в  верхней части изокваны, так как  угол достаточно велик.

Пример 2. Рассмотрим функцию Кобба-Дугласа в общем виде

.

Предположим, что K и L удваиваются. Таким образом, новый уровень выпуска (Y) запишется следующим образом:

.

 Определим эффект от  масштаба производства в случаях,  если  >1, =1 и <1.

Если, например, =1,2, а =2,3, то Y увеличивается больше, чем в два раза; если =1, а =2, то удвоение К и L приводит к удвоению Y; если =0,8, а =1,74, то Y увеличивается меньше, чем в два раза.

Таким образом, в примере 1 мог наблюдаться постоянный эффект от  масштаба производства.

 

Историческая  справка

В своей первой статье Ч.Кобб и П.Дуглас изначально предполагали постоянную отдачу от масштаба. Впоследствии они ослабили это допущение, предпочитая оценивать степень  отдачи от масштаба производства.

 

Основная задача производственных функций все же – дать исходный материал для наиболее эффективных  управленческих решений. Проиллюстрируем  вопрос принятия оптимальных решений  на основе использования производственных функций.

Пример 3. Пусть дана производственная функция, связывающая объем выпуска продукции предприятия с численностью рабочих , производственными фондами и объемом используемых станко-часов

.

Необходимо определить максимальный выпуск продукции при ограничениях

,

.

Решение. Для решения задачи составляем функцию Лагранжа

,

дифференцируем ее по переменным , , , и полученные выражения приравниваем к нулю:

Из первого и третьего уравнений следует, что  , поэтому

откуда получим решение  , при котором у=2. Поскольку, например, точка (0,2,0) принадлежит допустимой области и в ней у=0, то делаем вывод, что точка (1,1,1) – точка глобального максимума. Экономические выводы из полученного решения очевидны.

В заключение отметим, что  производственные функции можно  использовать для экстарполяции  экономического эффекта производства в заданный период будущего. Как  и в случае обычных эконометрических моделей, экономический прогноз  начинают с оценки прогнозных значений факторов производства. При этом можно  использовать наиболее подходящий в  каждом отдельном случае способ экономического прогноза.

Двухфакторная производственная функция

Производственная  функция – это зависимость  между набором факторов производства и максимально возможным объемом  продукта, производимым с помощью  данного набора факторов.  Производственная функция всегда конкретна, т.е. предназначается  для данной технологии. Новая технология – новая производительная функция. С помощью производственной функции  определяется минимальное количество затрат, необходимых для производства данного объема продукта.

Производственные  функции, независимо от того, какой  вид производства ими выражается, обладают следующими общими свойствами:

1) Увеличение объема производства за счет роста затрат только по одному ресурсу имеет предел (нельзя нанимать много рабочих в одно помещение – не у всех будут места).

2) Факторы производства могут быть взаимодополняемы (рабочие и инструменты) и взаимозаменяемы (автоматизация производства).

В наиболее общем  виде производственная функция выглядит следующим образом:

 

,

где  - объем выпуска;

K- капитал (оборудование);

М- сырье, материалы;

Т – технология;

N – предпринимательские  способности.

Наиболее простой является двухфакторная  модель производственной функции Кобба  – Дугласа, с помощью которой  раскрывается взаимосвязь труда (L) и капитала (К). Эти факторы взаимозаменяемы  и взаимодополняемы.  Еще в 1928 году американские ученые — экономист  П. Дуглас и математик Ч. Кобб —  создали макроэкономическую модель, позволяющую оценить вклад различных  факторов производства в увеличении объема производства или национального  дохода. Эта функция имеет следующий  вид:

 

Q=AK ^α*L ^β ,

 

где А – производственный коэффициент, показывающий пропорциональность всех функций и изменяется при изменении базовой технологии (через 30-40 лет);

K, L- капитал  и труд;

α,β -коэффициенты эластичности объема производства по затратам капитала и труда.

Если α = 0,25, то рост затрат капитала на 1% увеличивает  объем производства на 0,25%.

На основе анализа  коэффициентов эластичности в производственной функции Кобба - Дугласа можно  выделить:

1)     пропорционально возрастающую производственную функцию, когда

 

α+ β=1 ( ).

 

2)  непропорционально – возрастающую

 

);

 

3) убывающую

 

.

 

Рассмотрим  короткий период деятельности фирмы, в  котором из двух факторов переменным является труд. В такой ситуации фирма может увеличить производство за счет использования большего количества трудовых ресурсов. График производственной функции Кобба – Дугласа с  одной переменной изображен на рис. 1 (кривая ТР_н).

 

Рис. 1. Динамика и взаимосвязь общего среднего и  предельного продуктов

Закон убывающей  отдачи

В краткосрочном  периоде действует закон убывающей  предельной производительности.  Закон  убывающей предельной производительности действует в краткосрочном временном  интервале, когда один производственный фактор остается неизменным. Действие закона предполагает неизменное состояние  техники и технологии производства, если в производственном процессе будут  применены новейшие изобретения  и другие технические усовершенствования, то рост объема выпуска может быть достигнут при использовании  тех же самых производственных факторов. То есть технический прогресс может  изменить границы действия закона.

Если капитал  является фиксированным фактором, а  труд – переменным, то фирма может  увеличить производство за счет использования  большего количества трудовых ресурсов. Но по закону убывающей предельной производительности, последовательное увеличение переменного ресурса при неизменности других ведет к убывающей отдаче данного фактора, то есть к снижению предельного продукта или предельной производительности труда. Если же наем рабочих будет продолжаться, то в конечном итоге, они будут мешать друг другу (предельная производительность станет отрицательной) и объем выпуска сократится.

Предельная  производительность труда (предельный продукт труда – MP_L) – это прирост объема производства от каждой последующей единицы труда

 

,

 

т.е. прирост  производительности к совокупному  продукту (TP_L)

 

.

 

Аналогично  определяется предельный продукт капитала MP_K.

Основываясь на законе убывающей производительности, проанализируем взаимосвязь общего (TP_L), среднего (АP_L) и предельного продуктов (MP_L) (рис. 1).

В движении кривой общего продукта (ТР) можно выделить три этапа. На этапе 1 она поднимается  вверх ускоряющимися темпами, так  как предельность продукта (MP) возрастает (каждый новый рабочий приносит больше продукции, чем предыдущий) и достигает  максимума в точке А, то есть скорость роста функции максимальна. После  точки А (этап 2) в силу действия закона убывающей отдачи, кривая MP падает, то есть каждый нанятый рабочий дает меньшее приращение общего продукта по сравнению с предшествующим, поэтому  темп роста ТР после ТС замедляется. Но пока МР будет положительным, ТР будет все равно увеличиваться  и достигнет максимума при  МР=0.

На 3 этапе, когда  количество рабочих становится избыточным по отношению к фиксированному капиталу (станки), МР приобретает отрицательное  значение, поэтому ТР начинает снижаться. Конфигурация кривой среднего продукта АР также обусловлена динамикой  кривой МР. На 1 этапе обе кривые растут, пока приращение объема выпуска от вновь нанятых рабочих будет  большим, чем средняя производительность (АР_L) ранее нанятых рабочих. Но после точки А (max MP), когда четвертый рабочий добавляет к совокупному продукту (ТР) меньше чем третий, МР уменьшается, поэтому средняя выработка четырех рабочих также сокращается.

Эффект масштаба

1. Проявляется в изменении долговременных средних издержек производства (LATC).

2. Кривая LATC является огибающей минимальных краткосрочных средних затрат фирмы на единицу продукции (рис. 2).