Математические методы в экономике

На макроэкономическом уровне затраты и выпуск измеряются, как  правило, в стоимостных  показателях  и представляют собой стоимостные  агрегаты, то есть суммарные величины произведений объемов затрачиваемых  ресурсов и выпускаемых продуктов  на их цены.

Производственные  функции нескольких переменных

Перейдем теперь к рассмотрению производственных функций нескольких переменных.

Производственная  функция нескольких переменных – это функция, независимые переменные которой принимают значения объемов затрачиваемых или используемых ресурсов (число переменных n равно числу ресурсов), а значение функции имеет смысл величин объемов выпуска:

y=f(x)=f(x₁,…,х_n).     (2)

В формуле (2) у (у 0) – скалярная, а х – векторная величина, x₁,…,х_n --координаты вектора х, то есть f(x₁,…,х_n) есть числовая функция нескольких переменных x₁,…,х_n. В связи с этим ПФ f(x₁,…,х_n) называют многоресурсной или многофакторной. Более правильной является такая символика f(x₁,…,х_n,а), где а – вектор параметров ПФ.

По экономическому смыслу все переменные этой функции неотрицательны, следовательно, областью определения  многофакторной ПФ является множество  n-мерных векторов х, все координаты x₁,…,х_n которых неотрицательные числа.

Для отдельного предприятия (фирмы), выпускающего однородный продукт, ПФ f(x₁,…,х_n) может связывать объем выпуска с затратами рабочего времени по различным видам трудовой деятельности, различных видов сырья, комплектующих изделий, энергии, основного капитала. ПФ такого типа характеризуют действующую технологию предприятия (фирмы).

При построении ПФ для региона  или страны в целом в качестве величины годового выпуска Y чаще берут совокупный продукт (доход) региона или страны, исчисляемый обычно в неизменных, а не в текущих ценах, в качестве ресурсов рассматривают основной капитал (х₁(=К) – объем используемого в течение года основного капитала) и живой труд (х₂(=L) – количество единиц затрачиваемого в течение года живого труда), исчисляемые обычно в стоимостном выражении. Таким образом, строят двухфакторную ПФ Y=f(K,L). От двухфакторных ПФ переходят к трехфакторным. Кроме того, если ПФ строится по данным временных рядов, то в качестве особого фактора роста производства может быть включен технический прогресс.

ПФ y=f(x₁,x₂) называется статической, если ее параметры и ее характеристика f не зависят от времени t, хотя объемы ресурсов и объем выпуска могут зависеть от времени t, то есть могут иметь представление в виде временных рядов:  x₁(0), x₁(1),…, x₁(Т); x₂(0), x₂(1),…, x₂(Т); y(0), y(1),…,y(T); y(t)=f(x₁(t), x₂(t)). Здесь t – номер года, t=0,1,…,Т; t= 0 – базовый год временного промежутка, охватывающего годы 1,2,…,Т.                    

Пример 2. Для моделирования отдельного региона или страны в целом (то есть для решения задач на макроэкономическом, а также на микроэкономическом уровне) часто используется ПФ вида y= , где а₀, а₁, а₂ – параметры ПФ. Это положительные постоянные (часто а₁ и а₂  таковы, что а₁+а₂=1). ПФ только что приведенного вида называется ПФ Кобба-Дугласа (ПФКД) по имени двух американских экономистов, предложивших ее использовать в 1929 г.

ПФКД активно применяется  для решения разнообразных теоретических  и прикладных задач благодаря  своей структурной простоте. ПФКД  принадлежит к классу, так называемых, мультипликативных ПФ (МПФ). В приложениях  ПФКД  х₁=К равно объему используемого основного капитала (объему используемых основных фондов – в отечественной терминологии), - затратам живого труда, тогда ПФКД  приобретает вид, часто используемый в литературе:

Y=

. 

Историческая  справка

 

В 1927 г. Пол Дуглас, экономист по образованию, обнаружил, что если совместить графики зависимости  от времени логарифмов показателей  реального объема выпуска (Y), капитальных вложений (К) и затрат труда (L), то расстояния от точек графика показателей выпуска до точек графиков показателей затрат труда и капитала будут составлять постоянную пропорцию. Затем он обратился к математику Чарльзу Коббу с просьбой найти математическую зависимость, обладающую такой особенностью, и Кобб предложил следующую функцию:

.

Эта функция была предложена примерно 30 годами раньше Филиппом Уикстидом, как было указано Ч.Коббом и П.Дугласом в их классической работе (1929 г.), но они были первыми, кто использовал  для ее построения эмпирические данные. Авторы не описывают, каким образом  они на самом деле подобрали функцию, но предположительно они использовали форму регрессионного анализа, так  как ссылались на «теорию наименьших квадратов».

 

Пример 3. Линейная ПФ (ЛПФ) имеет вид: (двухфакторная) и (многофакторная).  ЛПФ принадлежит к классу так называемых аддитивных ПФ (АПФ). Переход от мультипликативной ПФ к аддитивной осуществляется с помощью операции логарифмирования. Для двухфакторной мультипликативной ПФ

этот переход имеет  вид: . Вводя соответствующую замену, получим аддитивную ПФ .

Если сумма показателей  степени в ПФ Кобба-Дугласа равна  единице, то ее можно записать в несколько  другой форме:

т.е. .

Дроби называются соответственно производительностью труда и капиталовооруженностью труда. Используя новые символы, получаем

,

т.е. из двухфакторной ПФКД получим формально однофакторную  ПФКД. В связи с тем, что 0<a₁<1, из последней формулы следует, что производительность труда z растет медленнее его капиталовооруженности. Однако этот вывод справедлив для случая статической ПФКД в рамках существующих технологии и ресурсов.

Отметим, что дробь  называется производительностью капитала или капиталоотдачей, обратные дроби называются соответственно капиталоемкостью и трудоемкостью выпуска.

ПФ называется динамической, если:

1. время t фигурирует в качестве самостоятельной переменной величины (как бы самостоятельного фактора производства), влияющего на объем выпускаемой продукции;
2. параметры ПФ и ее характеристика f зависят от времени t.

Отметим, что если параметры  ПФ оценивались по данным временных  рядов (объемов ресурсов и выпуска) продолжительностью лет, то экстраполяционные расчеты по такой ПФ следует проводить не более, чем на 1/3 лет вперед.

При построении ПФ научно-технический  прогресс (НТП) может быть учтен с  помощью введения множителя НТП  , где параметр р (р>0) характеризует темп прироста выпуска под влиянием НТП:

  (t=0,1,…,Т).

Эта ПФ – простейший пример динамической ПФ; она включает нейтральный, то есть нематериализованный в одном  из факторов технический прогресс. В более сложных случаях технический  прогресс может воздействовать непосредственно  на производительность труда или  капиталоотдачу: Y(t)=f(A(t)×L(t),K(t)) или Y(t)=f(A(t)×K(t), L(t)). Он называется, соответственно, трудосберегающим или капиталосберегающим НТП.

Пример 4. Приведем вариант ПФКД с учетом НТП

.

Расчет численных значений параметров такой функции проводится с помощью корреляционного и  регрессионного анализа.

Выбор аналитической формы  ПФ диктуется прежде всего теоретическими соображениями, которые должны учитывать особенности взаимосвязей между конкретными ресурсами или экономических закономерностей. Оценка параметров ПФ обычно проводится методом наименьших квадратов.

Свойства и  основные характеристики производственных функций

Для производства конкретного  продукта требуется сочетание разнообразных  факторов. Несмотря на это, различные  производственные функции обладают рядом общих свойств.

Для определенности ограничимся  производственными функциями двух переменных . Прежде всего необходимо отметить, что такая производственная функция определена в неотрицательном ортанте двумерной плоскости, то есть при . ПФ удовлетворяет следующему ряду свойств:

1. без ресурсов нет выпуска, т.е. f(0,0,a)=0;
2. при отсутствии хотя бы одного из ресурсов нет выпуска, т.е. ;
3. с ростом затрат хотя бы одного ресурса объем выпуска растет;
4. с ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве другого ресурса объем выпуска растет, т.е. если x>0, то ;
5. с ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве другого ресурса величина прироста выпуска на каждую дополнительную единицу i-го ресурса не растет (закон убывающей эффективности), т.е. если то ;
6. при росте одного ресурса предельная эффективность другого ресурса возрастает, т.е. если x>0, то ;
7. ПФ является однородной функцией, т.е. ; при р>1 имеем рост эффективности производства от роста масштаба производства; при р<1 имеем падение эффективности производства от роста масштаба производства; при р=1 имеем постоянную эффективность производства при росте его масштаба.

Подобно линии уровня целевой  функции оптимизационной задачи, для ПФ также имеет место аналогичное  понятие. Линия уровня ПФ – это множество точек, на котором ПФ принимает постоянное значение. Иногда линии уровня называют изоквантами ПФ. Возрастание одного фактора и уменьшение другого могут происходить таким образом, что общий объем производства остается на прежнем уровне. Изокванты как раз и определяют все возможные комбинации факторов производства, необходимых для достижения заданного уровня продукции.

Рис. 2.

Из рисунка 2 видно, что  вдоль изокванты выпуск продукции  постоянный, то есть прирост выпуска  отсутствует. Математически это  означает, что полный дифференциал ПФ на изокванте равен нулю:

.

Изокванты обладают следующими свойствами:

1. Изокванты не пересекаются.
2. Большей удаленности изокванты от начала координат соответствует больший уровень выпускаемой продукции.
3. Изокванты - понижающиеся кривые, имеют отрицательный наклон.

Изокванты являются подобием кривых безразличия с той лишь разницей, что они отражают ситуацию не в сфере потребления, а в  сфере производства.

Отрицательный наклон изоквант объясняется тем, что увеличение использования одного фактора при  определенном объеме выпуска продукта всегда будет сопровождаться уменьшением  количества другого фактора. Крутизна наклона изокванты характеризуется предельной нормой технологического замещения факторов производства (MRTS). Рассмотрим эту величину на примере двухфакторной производственной функции Q(y,x). Предельная норма технологического замещения измеряется соотношением изменения фактора y к изменению фактора х. Поскольку замена факторов происходит в обратном отношении, то математическое выражение показателя MRTS берется со знаком минус:

.

На рисунке 3 изображена одна из изоквант ПФ Q(y,x)

Рис. 3.

Если взять какую-либо точку на этой изокванте, например, точку А и провести к ней  касательную КМ, то тангенс угла даст нам значение MRTS:

.

Можно отметить, что в  верхней части изокванты угол будет достаточно велик, что говорит  о том, что для изменения фактора  х на единицу требуются значительные изменения фактора y. Следовательно, в этой части кривой значение MRTS будет велико. По мере движения вниз по изокванте значение предельной нормы технологического замещения будет постепенно убывать. Это означает, что для увеличения фактора х на единицу потребуется незначительное уменьшение фактора y. При полной заменяемости факторов изокванты из кривых преобразуются в прямые.

Рис. 4.

Один из наиболее интересных примеров использования изоквант ПФ – это исследование эффекта масштаба производства (см. свойство 7).

Что эффективнее для экономики: один крупный завод или несколько  мелких предприятий? Ответ на этот вопрос не так прост. Плановая экономика  отвечала на него однозначно, отдавая  приоритет промышленным гигантам. С  переходом к рыночной экономике  началось повсеместное разукрупнение  созданных ранее объединений. Где  же золотая середина? Доказательный  ответ на этот вопрос можно получить, исследовав эффект масштаба производства.

Представим, что на обувной  фабрике руководство приняло  решение значительную часть полученной прибыли направить на развитие производства с целью увеличения объемов производимой продукции. Допустим, что капитал (оборудование, станки, производственные площади) увеличен в два раза,. Численность работников увеличилась в такой же пропорции. Возникает вопрос, что произойдет в таком случае с объемом выпускаемой  продукции?

Из анализа рисунка 5

Рис. 5.

следуют три варианта ответа:

- количество продукции  возрастет в два раза (постоянная  отдача от масштаба);

- увеличится более, чем  в два раза (возрастающая отдача  от масштаба);

- увеличится, но меньше, чем  в два раза (убывающая отдача  от масштаба).

Постоянная отдача от масштаба производства объясняется однородностью  переменных факторов. При пропорциональном увеличении капитала и труда на таком  производстве средняя и предельная производительность этих факторов останется  неизменной. В таком случае безразлично, будет ли работать одно крупное предприятие  или вместо него будет создано  два мелких.