Экономико-математическое моделирование

Случайной величиной, в частности, является упомянутое выше число очков, выпадающее при бросании игральной кости. Случайна сумма очков, выпавших при бросании двух игральных костей (а также их разность, произведение и т.д.). Случайной величиной надо считать диаметр головки заклепки, изготавливаемой станком (см. табл. 1.1 выше, где приведены значения, которые приняла эта случайная величина в 200 опытах).

Часто говорят, что случайная величина реализуется  во время опыта. Если употребить это  слово, то можно также сказать, что табл. 1.1 дает 200 реализаций этой случайной величины.

Каждая случайная  величина задает распределение вероятностей на множестве своих значений.

Чтобы дать полное математическое описание случайной  величины, надо указать множество  ее значений и соответствующее случайной величине распределение вероятностей на этом множестве.

Виды  случайных величин. В практических задачах обычно используются два вида случайных величин - дискретные и непрерывные, хотя бывают и такие случайные величины, которые не являются ни дискретными, ни непрерывными. Рассмотрим сначала дискретные случайные величины.

Дискретные  случайные величины обладают тем свойством, что мы можем перечислить (перенумеровать) все их возможные значения. Таким образом, для задания распределения вероятностей, порожденных дискретными случайными величинами, надо только указать вероятности каждого возможного значения этой случайной величины. Например, число очков, выпавших при бросании игральной кости, — это дискретная случайная величина, так как она может принимать только 6 значений: 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Для определения вероятностей любых событий, связанных с этой случайной величиной, нам надо только указать вероятности каждого из этих значений.

Определение. Случайную величину называют дискретной, если множество ее возможных значений конечно, либо счетно.

Напомним, что  множество называется счетным, если его элементы можно перенумеровать натуральными числами.

Каждое возможное  значение дискретной случайной величины имеет положительную вероятность (иногда, впрочем, допускают, что некоторые значения могут иметь нулевые вероятности, особенно когда рассматривают не одно, а несколько дискретных распределений одновременно). Чтобы полностью описать дискретное распределение вероятностей, надо указать все значения, вероятности которых положительны (точнее, могут быть положительны), и вероятности этих значений.

Однако не все  случайные величины могут быть описаны  так просто, как дискретные случайные  величины.   Например, время службы! электрической лампочки может, в принципе, принимать любое значение от нуля до бесконечности (как хорошо известно, это множество не является счетным).   И если предполагается, что лампочка была вначале исправна, то вероятность того, что время ее службы будет в. точности равно некоторому значению, будет равна нулю.   Ненулевыми будут вероятности только сложных событий: например, что время' службы лампочки — от одного до двух месяцев. Для подобных (так I называемых непрерывных) случайных величин мы не можем задать их | распределение путем указания вероятностей каждого возможного значения, так как все эти вероятности равны нулю. При описании таких случайных величин используются другие средства. В частности, если значениями случайной величины являются вещественные числа, то распределение случайной величины полностью определяется ее функцией распределения.

Функция распределения. Пусть X обозначает случайную величину, принимающую вещественные значения, х — вещественное число.

Определение. Функцией распределения F(x) случайной величины X называют    F(x) = Р(P£ х).

Ясно, что функция  F(x) монотонно возрастает с ростом х (точнее сказать, не убывает, потому что могут существовать участки, на которых она постоянна). У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая, она возрастает скачком в тех точках, вероятности которых положительны. Это точки разрыва F(x). На рис. 1.2 приведен график функции распределения для описанной выше случайной величины — суммы очков, выпавшей при бросании двух игральных костей.

Непрерывные случайные величины. Для случайной величины, принимающей вещественные значения, то свойство, что вероятность любого отдельного ее значения равна нулю, может легко быть выражено через функцию распределения.

Определение. Случайную величину, принимающую вещественные значения, называют непрерывной, если непрерывна ее функция распределения.

Непрерывным в  этом случае называют и соответствующее  распре- | деление вероятностей. Для  непрерывного распределения вероятность

каждого отдельного значения случайной величины равна  нулю. На этом и основано противопоставление непрерывных и дискретных распределений — ведь для последних вся единичная вероятность распределена конечными положительными порциями. Для непрерывных же она как бы «разлита» по области определения случайной величины (в данном случае — по прямой).

Плотность вероятности. Нагляднее всего непрерывную случайную величину можно представить тогда, когда ее функция распределения не только непрерывна, но и дифференцируема (за исключением, может быть, конечного числа точек). В этом случае вероятности связанных с данной случайной величиной событий можно выразить через посредство так называемой функции плотности вероятности. Есть две эквивалентных формы определения плотности: интегральная и дифференциальная. Определение плотности вероятности в интегральной форме таково.

Определение. Функция p(x) называется плотностью вероятности в точке x, если для любых чисел а,b (пусть а < b)