Экономико-математическое моделирование

TSS = ESS + RSS. 

F-cmamucmuкa для проверки качества оценивания регрессии записывается как отношение объясненной суммы квадратов (в расчете на одну независимую переменную к остаточной сумме квадратов) в расчете на одну степень свободы: 

где k — число независимых переменных.

После деления  на TSS числителя и знаменателя соотношения F-статистика может быть эквивалентно выражена на основе коэффициента R²:

После вычисления критерия F по значению коэффициента R² вы отыскиваете величину F_крит — критическое значение F в соответствующей таблице. Если F > F_крит, то вы отклоняете нулевую гипотезу и делаете вывод о том, что имеющееся «объяснение» поведения величины у лучше, чем можно было бы получить чисто случайно. 

Какие же проблемы возникают при использовании  этого косвенного подхода? Почему бы не иметь таблицу критических значений коэффициента R²? Ответ заключается в том, что таблица значений критерия F является полезной для многих способов проверки дисперсии, одним из которых выступает расчет коэффициента R². Вместо специализированной таблицы для каждого конкретного случая намного удобнее (или, по меньшей мере, экономнее) иметь одну обобщенную таблицу, делая при необходимости преобразования типа

Взаимосвязи между критериями в парном регрессионном  анализе

Теперь  мы выведем некоторые зависимости  между критерием / для коэффициента R², критерием t для коэффициента при х и критерием / для коэф фициента корреляции между х и у в парной регрессионной модели. Начнем с последнего из них.

 
 
t- тест для коэффициента корреляции

Ранее мы определили выборочный коэффициент корреляции для двух переменных х и у.

Даже если переменные х и у вообще не коррелированы и теоретический коэффициент корреляции р равен нулю, вы будете связаны известным ограничением и неизбежно получите в расчетах некоторую величину выборочного коэффициента корреляции. Для конкретной выборки  r_xy может точно равняться нулю только чисто случайно, и можно ли утверждать, что его значение  действительно указывает на наличие зависимости, или же оно появилось случайно?

Как обычно, ответом  будет формулирование нулевой гипотезы о том, что зависимости нет, а затем — попытка ее опровергнуть. Для проверки гипотетической линейной зависимости между x и у, т. е. единственного типа зависимости, который будет рассматриваться в данной книге, справедлива следующая процедура.

Первый шаг  состоит в вычислении t-статистики для r: 

Затем полученное значение сравнивается с критическим.

Нетрудно показать, что  t²=F. 

Прогнозное значение зависимой переменной  y^* определяется путем подстановки в уравнение регрессии прогнозного значения  x^* . Вычисляется стандартная ошибка прогноза  Dy: 

и строится доверительный  интервал прогноза (y^* - t_a Dy; y^* + t_a Dy).