Экономико-математическое моделирование

Тогда преобразованное  уравнение

 где ,  не содержит автокорреляцию, поскольку u_t независимы. 

  Конечно, на практике величина ρ неизвестна, его оценка получается одновременно с оценками аир. Имеется несколько стандартных способов такого оценивания, и, вероятно, один или нескольких таких способов могут быть реализованы в имеющемся у вас регрессионном пакете.

Метод Кокрана—Оркатта представляет собой итеративный процесс, включающий следующие этапы.

1. Оценивается регрессия  с исходными непреобразованными данными.
2. Вычисляются остатки. 
3. Оценивается регрессионная зависимость e_t от е_t-1, соответствующая 
   формуле и коэффициент при e_t-1 представляет собой оценку ρ (поскольку D(e_t-1)≈D(e_t),в качестве альтернативной оценки ρ можно принять коэффициент автокорреляции первого порядка r_e-1,e)
4. С этой оценкой ρ к преобразованному уравнению применяется МНК, который позволяет получить пересмотренные оценки α и β.

Повторно вычисляются  остатки, и процесс возвращается к этапу 3.

Метод Хилдрета—Лу, также широко применяемый в регрессионных пакетах, основан на тех же самых принципах, но использует другой алгоритм вычислений. Здесь преобразованная регрессия оценивается для каждого значения ρ из определенного диапазона с заданным шагом внутри его. (Например, исследователь может задать диапазон от ρ = —1,00 до ρ= 1,00 с шагом 0,01.)  Значение, которое дает минимальную стандартную ошибку для преобразованного уравнения, принимается в качестве оценки ρ, а коэффициенты регрессии определяются при оценивании уравнения с использованием этого значения.

Ошибки  измерения объясняющих  переменных

Допустим, переменная у зависит от переменной z, что задано следующим соотношением:

где v — случайный член с нулевым средним и дисперсией σ_v².

Предположим, что  z невозможно измерить абсолютно точно, и мы будем использовать х для обозначения его измеренного значения. В i-м наблюдении x_i равно истинному значению z_i, плюс ошибка измерения w_i:

x_i = z_i + w_i

Допустим, что  w имеет нулевое среднее и дисперсию σ _i², что D (z) в 6oльших выборках стремится к конечному пределу σ_z² и что z и v распределены независимо.

Тогда получим:

Это уравнение  имеет две случайные составляющие — первоначальный случайный член v и ошибку измерения w (умноженную на —β). Вместе они образуют составную случайную переменную, которую мы назовем e:

Соотношение можно  теперь записать как

Имея значения переменных у (временно будем предполагать, что они измерены точно) и х, мы, несомненно, можем оценить регрессионную зависимость у от х.

Анализируя ошибку, можно заметить, что она, вероятно, поведет себя не так, как требуется. Переменная х зависит от w, от этой величины зависит также и e. Когда ошибка измерения в наблюдении оказывается положительной, происходят две вещи: х, имеет положительную составляющую w_i, a e_j имеет отрицательную составляющую —βw_i.. Аналогично, если ошибка измерения отрицательна, она вносит отрицательный вклад в величину х_i и положительный вклад в величину e_г Следовательно, корреляция между х и e отрицательна. Величина cov (х, и) не равна нулю, а b является несостоятельной оценкой β.

Даже если бы у нас была очень большая выборка, оценка оказалась бы неточной. Она бы занижала β на величину

.

Таким образом, оценки МНК будут смещенными и  несосстоятельными.

В то же время  при ощибках измерения зависимой переменной лишь возрастает дисперся регрессии, а оценки параметров остаются несмещенными и состоятельными. 

Инструментальные  переменные

Что следует  делать при наличии ошибок измерения? Если их причиной является неточность при подготовке данных, то единственное, что можно сделать, — это обрабатывать данные более тщательно. Если же их причина заключается в том, что измеряемая переменная принципиально отличается от истинной объясняющей переменной в зависимости, то можно попытаться получить более подходящие данные. Часто это бывает трудно осуществить на практике. Если требуется получить временной ряд по совокупному измеренному доходу, то его можно найти в национальных счетах, но не существует прямого способа получения данных по совокупному постоянному доходу.

Здесь мы объясним использование метода инструментальных переменных (ИП) — наиболее важной разновидности метода наименьших квадратов — для решения данной задачи. Это также будет иметь большое значение, когда мы приступим к оцениванию параметров моделей, состоящих из нескольких уравнений.

В сущности, метод  инструментальных переменных заключается  в частичной замене непригодной объясняющей переменной такой переменной, которая не коррелирована со случайным членом. Ограничимся случаем парной регрессии:

и допустим, что  по какой-либо причине х имеет случайную составляющую, зависящую от e. Будем также предполагать, что в больших выборках D (x) стремится к конечному пределу σ_x². В этих условиях непосредственное применение МНК для построения регрессионной зависимости у от х привело бы к несостоятельным оценкам параметров.  Теперь предположим, что можно найти другую переменную z, которая коррелирована с х, но не коррелирована с e. Можно показать, что основанная на использовании инструментальных переменных оценка параметра  β, определяемая как

является состоятельной  при условии, что при увеличивающемся  числе наблюдений Cov (z, х) стремится к конечному, отличному от нуля пределу.

ФИКТИВНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ

Часто случается  так, что отдельные факторы, которые  вы хотели бы ввести в регрессионную  модель, являются качественными по своей природе и, следовательно, не измеряются в числовой шкале. Приведем несколько примеров.

1. Исследуется зависимость между продолжительностью полученного образования и доходом, и в выборке представлены лица как мужского, так и женского пола. Нужно выяснить, обусловливает ли пол различие в результатах.
2. Исследуется зависимость между доходом и потреблением в Бельгии, и выборка включает как франкоговорящие семьи, так и семьи, говорящие по-фламандски. Нужно выяснить, имеет ли существенное значение это этническое различие.
3. Исследуются факторы, определяющие инфляцию, и в некоторые 
   годы периода наблюдений правительство проводило политику регулирования доходов. Нужно проверить, оказало ли это какое-либо влияние на исследуемую зависимость.