Курс лекций по "Модели и методы управления"

    От  исходной точки А проводим две  прямые АВ₁ и АВ₂ под углом и до пересечения с изоклиной С₂. Отрезок В₁В₂ делим пополам и получаем точку В. Далее аналогичным образом, от точки В проводим две прямые ВС₁ и ВС₂ под углом и до пересечения с изоклиной С₃. На изоклине С₃ между точками С₁ и С₂ будет точка С и т.д. Таким образом, вдоль каждой изоклины наносим линии под углом . Соединяя точки А, В, С, …, получаем фазовую траекторию.

    10.5. Построение переходного процесса по

    фазовой траектории. 

    Связь между приращениями x, y, и t в любой  точке фазовой траектории может  быть выражена cледующим образом. Возьмем точку N на фазовой траектории посредине малого участка АВ, который будем считать прямолинейным (Рис.10-12). Тогда в пределах этого участка величина будет изменяться по линейному закону: 

                               (10-24) 

      где:  - средняя величина производной на участке АВ.

      
 
 
 
 
 
 
 
 

    Рисунок 10-12.

    Графический метод построения переходного процесса по фазовой траектории основан на геометрической связи величин x, у и t. Эта связь основана на вписывании равнобедренных треугольников в фазовую траекторию. Каждый такой треугольник определяет Δt для соответствующего участка фазовой траектории, например треугольник Δadb - для участка АВ. Из треугольника Δabc можно записать:

                                                                (10-25)

    Учитывая формулы (10-24) и (10-25), из Δabc и Δadb можно получить:

                                  (10-26)

    Следовательно,                                       (10-27)

    Угол  β можно определить как из прямоугольного треугольника Δabc, так и из равнобедренного треугольника Δabd. 

     Построение переходного процесса 
 
 
 
 
 
 

                                                                                         Рисунок 10-13.

    Построение  приближенной кривой переходного процесса выполняется следующим путем:

1. Вычерчивается фазовая траектория (рис. 10-13).
2. Выбирается постоянный шаг интегрирования Δt и определяется угол . При этом следует иметь в виду, что с уменьшением Δt точность построения переходного процесса x(t) увеличивается.
3. Из точки Х₀, определяемой начальными условиями,   проводится прямая под углом до пересечения с фазовой траекторией в точке Y₁. Одновременно от точки х₀ опустить прямую до пересечения осью х (при t₀), получаетя точка 0.

4. Из  точки Y₁ под углом β к проведённой ранее прямой проводится новая прямая до пересечения с осью абсцисс, определяющая точку х₁. Полученное значение х₁ определяет приближенное значение искомой функции x(t) при t₁ (точка 1).

5. Полученная  из построения равнобедренного треугольника точка х₁ принимается за исходную для построения следующего равнобедренного треугольника по указанному выше правилу: точка х₁ позволяет найти точку х₂ , а по ней новую точку переходного процесса при t₂ (точка 2).

6. Поступая аналогично, находят следующие точки переходного процесса.

    Таким образом, соединяя все точки, получается кривая переходного процесса, которая  приближенно характеризует протекание его во времени.

    10.6. Метод гармонического  баланса 

    Метод гармонического баланса, предложенный Л.С.Гольдфарбом, применяется для приближенного исследования нелинейных систем. Метод основан на применении частотных характеристик  нелинейных систем, получаемых при гармонической линеаризации нелинейностей.

    Представим  исследуемую нелинейную систему в виде замкнутой системы состоящей из линейной части, в которой объединены все линейные элементы, входящие в систему, и нелинейного звена.  

    Нелинейная  система

                             Y 
 
 
 

          Y_н.э.   Y 

    Рисунок 10-14.

    Обозначим амплитудно-фазовую характеристику  линейной части через W_л(iω); инверсную АФХ нелинейного элемента - Z_н.э.(iA).

    Как уже отмечалось, при гармонической  линеаризации нелинейностей не учитываются  старшие гармонические составляющие на выходе нелинейного элемента.

       Для большинства промышленных систем регулирования такое упрощение не вносит значительных ошибок в результаты исследования благодаря тому, что в этих  системах линейная часть фактически является фильтром высоких частот. Поясним это положение.

     Если  на вход нелинейного звена подается гармонический сигнал с частотой ω₀, то на выходе его устанавливаются колебания, содержащие бесконечную сумму гармоник с частотой ω₀, 2ω₀ , 3ω₀ .... (см. ряд Фурье).  При прохождении через линейную часть каждая из этих гармоник изменяет свою амплитуду в М_л(kּω₀) раз, где M_л(ω) - амплитудно-частотная характеристика линейной части.

    Если  АЧХ линейной части такова, что  М_л(ω₀)>>M(2ω₀), т.е. выполняется “гипотеза фильтра”, то выходной сигнал линейной части будет практически содержать лишь первую гармонику с частотой ω₀.

    Для рассматриваемой замкнутой системы  возникновение незатухающих колебаний  за счет первой гармонической составляющей возможно в том случае, если она находится на границе устойчивости. 

    Амплитудно-частотная  характеристика

    линейной части

           М_л 

 
 
 
 
 

                             ω₀                      2ω₀                  ω        

Рисунок 10-15. 

    В соответствии с критерием Найквиста  границе устойчивости замкнутой  системы будет соответствовать  уравнение:

                                               (10-28)

т.е.                    (10-29) 

    Это выражение можно также записать:

                           (10-30) 

    Откуда  можно получить:

                                    (10-31) 

    т.е. гармонический сигнал после прохождения  линейного звена и линейной части  должен иметь на входе в линейное звено опять ту же частоту и  амплитуду. Если уравнение (10-31) имеет  действительное положительное решение (ω_а,А_а), то в рассматриваемой системе возможны автоколебания с частотой ω_а и амплитудой А_а.

    Уравнение (10-31) можно решить графически. Для  этого построим в плоскости комплексного переменного амплитудно-фазовую  характеристику линейной части W_л(iω) и инверсную амплитудно-фазовую характеристику Z_нэ(iA) нелинейного звена. Очевидно, что точка пересечения этих кривых будет соответствовать решению (10-31), а значит и возможным колебаниям в рассматриваемой системе.

      Следовательно, если кривые W_л(iω) и Z_нэ(iA) не пересекаются между собой, то в рассматриваемой системе автоколебания отсутствуют. Точка пересечения годографов W_л(iω) и Z_нэ(iA) определяет и параметры автоколебаний: амплитуда находится по Z_нэ(iA), а частота по - W_л(iω).

    Метод гармонического баланса позволяет также ответить на вопрос, будут ли автоколебания устойчивы.

    Для исследования устойчивости автоколебаний применяется критерий, вытекающий из критерия Найквиста: если амплитудно-фазовая характеристика линейной части не охватывает инверсную амплитудно-фазовую характеристику нелинейного элемента (т.е. W_л(iω)<Z_нэ(iA) и, следовательно,  W_раз.(iω,A)<1), то замкнутая система будет устойчивой.

    Если  амплитудно-фазовая характеристика линейной части охватывает инверсную  амплитудно-фазовую характеристику нелинейного звена (W_л(iω)>Z_нэ(iA), и W_раз.(iω,A)>1), то замкнутая система будет неустойчива.

    Точка пересечения амплитудно-фазовой характеристики линейной части и инверсной амплитудно-фазовой характеристики нелинейного звена, где W_раз(iω)=1, как уже отмечалось, соответствует автоколебаниям в системе, то замкнутая система находится на границе устойчивости.

      Исходя из этого критерия, рассмотрим, в каких случаях автоколебания  будут устойчивы.

    Пусть автоколебаниям будет соответствовать  точка М на рисунке 10-16. Увеличению амплитуды колебаний соответствует движение по кривой Z_н.э. вправо. Если по какой-либо причине амплитуда колебаний вырастет, то новому состоянию нелинейного элемента будет соответствовать точка М₁ вне W_л.(iω). Следовательно, здесь система будет вести себя, как устойчивая и колебания в ней будут затухать, т.е. амплитуда колебаний будет уменьшаться. Это приведет к тому, что через некоторое время амплитуда автоколебаний станет равной исходной ω_а.  

Случай  устойчивых автоколебаний

                               i   Im

                                               W_л (iω)

                                                                  M₁           Z_н.э.(iA) 

                                                                 

                                                   M₂ 
 

                                                    

                                              A=0                   Re

    W_л (iω) – амплитудно-фазовая характеристика линейной части; Z_н.э.(iA) – инверсная характеристика нелинейной части. 

Рисунок 10-16.  

    Если, наоборот, по какой-либо причине амплитуда  автоколебаний в системе уменьшится, то этому новому состоянию будет  соответствовать точка М₂, в которой система будет неустойчивой и, следовательно, амплитуда колебаний будет возрастать, пока не попадет в точку М. Следовательно, автоколебания будут неустойчивыми (Рис.10-17). В этом случае любое отклонение от точки М (ω_а, А_а) приводит к срыву этих колебаний.

Случай  неустойчивых автоколебаний

                                   i   Im      W_л (iω)

                                                                   M₁

                                                                                 Z_н.э.(iA) 

                                                                                                                                      

         M₂ 

                                                    

                                              A=∞                 Re 

    Рисунок 10-17.

    Если  состояние нелинейной системы будет  соответствовать точке М₁, то в силу того, что в этой точке система ведет себя как устойчивая, колебания в системе будут затухать.