Курс лекций по "Модели и методы управления"

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Конспекты лекции по дисциплине

«Модели и методы управления» 
МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Типовые нелинейности 

    Нелинейными называются системы, движение которых описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. При этом некоторые собственные координаты системы (или их производные во времени) входят в уравнение нелинейно, т.е. не в первой степени; либо коэффициенты уравнения являются нелинейными функциями от координат.

    Нелинейные  системы не подчиняются принципу суперпозиции. В то время, как в линейной замкнутой системе возможна только одна форма движения – асимптотическое приближение к состоянию покоя, то в замкнутых существенно нелинейных системах могут наблюдаться незатухающие колебания (автоколебания). Параметры автоколебаний (амплитуда, частота) не зависят от начальных условий, а определяются только параметрами самой нелинейной системы. Автоколебания по форме могут быть близки к гармоническим, бывают также релаксационные автоколебания, отличные по форме от синусоидальных. Энергия, необходимая для автоколебаний поглощается системой из внешних источников. Физически природа нелинейностей связана со свойствами материалов, из которых изготовлены системы.

    Существуют  специально введенные нелинейности, так называемые «полезные». Они создаются  модуляторами, демодуляторами, реле, вентилями и т.д. Таким образом, создаются нелинейные системы управления по свойствам, превосходящим линейные (по конструктивным и эксплуатационным характеристикам). Например, релейные системы управления, системы управления с переменной структурой и т.д.

     +                                                     + 

    -                                                       + 

    Рисунок 8-1. Структурная схема оптимальной по быстродействию нелинейной системы управления

    Основными свойствами нелинейных систем являются:

1. Несоблюдение принципа суперпозиции;
2. Устойчивость нелинейных систем зависит от начальных условий;
3. Частота колебаний нелинейных систем зависит от амплитуды колебаний;
4. Амплитуда и частота вынужденных колебаний нелинейных систем не зависят от амплитуды и частоты входных внешних воздействий.

    Нелинейность  представляет собой широко распространенное свойство реальных систем управления, большинство реальных систем нелинейны. Нелинейные системы представляют собой  замкнутые системы, в которых есть хотя один нелинейный элемент (н.э.), остальные элементы могут быть линейные (л.э.).

      
 
 
 
 
 

    Рисунок 8-2. Нелинейная система 

    Рассмотрим  типовые нелинейности, которые входят в состав нелинейных систем. 

    8.1. Усилительное звено  с зоной нечувствительности 

    Технической моделью такого звена является механическое устройство с зазором и пружиной.

                                            Δ

                                                                                   у

                                                                                             
 

           х                             Рисунок 8-3. 

    Если  на вход такого элемента подать сигнал, то пока его величина не превысит определенного  значения, называемого порогом чувствительности ( ), выходная величина остается неизменной.

     Зоной нечувствительности называется удвоенное значение порога чувствительности (Δ).

 

Статическая характеристика звена

                                                 у

                                           Δ

                                                             

                                                                          45⁰      х

                                     -а                           а 
 

Δ –  ширина зоны нечувствительности; (

) – порог чувствительности (а).

Рисунок 8-4.

Уравнение звена:

                                           (8-1)

    Динамическая  характеристика при прохождении  синусоидального сигнала через  звено:

                У                          х 

                                                                                    t

                                                                                      
 

Рисунок 8-5.

    8.2. Усилительное звено  с ограничением  (с насыщением) 

    В этих элементах в так называемых зонах насыщения выходной сигнал не меняется при изменении входного сигнала.

    Статическая характеристика звена

                                                   

      у    

                                                   в

                                          -а                              х

              а

          -в  

    Рисунок 8-6.

    Математическое  описание звена:

                                     (8-2)

    Динамическая  характеристика при прохождении  синусоидального сигнала через звено:

             У                            x

      

                                                                                          t 
 
 

    Рисунок 8-7.

    8.3. Усилительное звено  с зоной застоя (люфт) 

    Технической моделью такого звена является механическое устройство с зазором без пружины.

                                                 Δ

                                                                                  у

                                                                                             
 

                           х

    Рисунок 8-8. 

    Статическая характеристика звена

                                                       у

               в 

                                                                         

                                                -а               а        х 

    -в 

    Рисунок 8-9. 

    Математическое  описание звена:

                                     (8-3)

При , зависимость между входом и выходом неоднозначна.

    Динамическая  характеристика при прохождении синусоидального сигнала через люфт:

    

                         У                          x

     

                                                                                   

                                                                                        t 
 
 

    Рисунок 8-10. 

    8.4. Двухпозиционное  (идеальное) реле   

    Статическая характеристика звена

     у

            в 

                             х

          -в 

    Рисунок 8-11. 

Уравнение звена:

                                              (8-4) 

    Динамическая характеристика

                          у  

                                                           t 

                                 Рисунок 8-12. 

8.5. Двухпозиционное  реле  с зоной  возврата 

    Статическая характеристика реле

                                                      у  

 в 
 

                                            -а                   а           х 

-в

Рисунок 8-13. 

    Математическое  описание звена:  

                                      (8-5) 

    Динамическая  характеристика 

      у        х 
 

            t 
 
 

Рисунок 8-14. 

8.6. Трехпозиционное  реле  с зоной  нечувствительности 

и с зоной возврата 

    Статическая характеристика звена

у 

B

               -а₂  -а₁                                         t

                                                                        а₁   а₂

-B 

Рисунок 8-15. 

    Математическое  описание звена:

                                      (8-6) 

    Динамическая  характеристика

 у  
 

        х 
 
 

Рисунок 8-16. 
 

Глава 9. Линеаризация нелинейных систем 

    Различают два типа нелинейностей: несущественные и существенные. Несущественными являются такие, которые при малом диапазоне изменения переменных могут быть заменены на линейные. Существенными являются нелинейности, которые описываются нелинейными функциями, содержащими разрывы или близкими к разрывным. Во многих случаях такие нелинейности описываются кусочно-разрывными функциями. 

9.1. Линеаризация несущественных  нелинейностей 

    Метод линеаризации основан на принципах  линеаризации в малом. К нелинейной функции Y=f(X) (Рис.9-1) в точке A₀ [Х₀, Y₀] проводим касательную. Считаем, что в некотором диапазоне изменения переменных система описывается линейной статической характеристикой. Проводим линеаризацию в окрестности т.A₀ [Х₀, Y₀]. Это возможно, когда система работает в небольших пределах изменения переменных X, Y.

                                       Y