Курс лекций по "Модели и методы управления"

1. Корни   характеристического уравнения чисто мнимые, . Переходной процесс представляет собой незатухающие гармонические колебания с постоянной амплитудой и частотой . Тип особой точки называется фокус или центр. Фазовая траектория представляет собой замкнутую кривую в виде эллипса и описывается уравнением эллипса.

Переходной  процесс и фазовая траектория

    фокуса (центра)

      
 
 
 

        

    Рисунок 10-2.

2. Если корни характеристического уравнения комплексные с отрицательной вещественной частью , переходной процесс представляет собой затухающие колебания. Тип особой точки называется устойчивый фокус. Фазовая траектория представляется спиралевидной логарифмической кривой.

 

    Переходной процесс и фазовая траектория

    устойчивого фокуса

      
 
 
 
 

    Рисунок 10-3.

3. Корни характеристического уравнения могут быть комплексные с положительной вещественной частью , переходной процесс при этом неустойчивый, колебания с нарастающей амплитудой. Тип особой точки называется неустойчивый фокус. Фазовая траектория такого процесса представляет собой раскручивающуюся спираль, которая с течением времени все больше отдаляется от особой точки в начале координат.

    Переходной  процесс и фазовая траектория

    неустойчивого фокуса

      
 
 

    Рисунок 10-4.

4. Если корни характеристического уравнения действительные отрицательные , то этот случай соответствует устойчивому апериодическому процессу. Тип особой точки называется устойчивый узел. Для всех видов переходных процессов фазовые траектории с течением времени все больше приближаются к началу координат.

 

    Переходной  процесс и фазовая траектория

    устойчивого узла

      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Рисунок 10-5.

5. Если корни характеристического уравнения действительные положительные , то этот случай соответствует неустойчивому апериодическому процессу. Тип особой точки называется неустойчивый узел. Для всех видов переходных процессов фазовые траектории с течением времени все больше отдаляются от начала координат.

    Переходной  процесс и фазовая траектория

    неустойчивого узла  
 
 
 
 
 
 

                     

                          Рисунок 10-6. 

6. Если корни  характеристического уравнения  действительные, но имеют разные знаки , то этот случай соответствует неустойчивому апериодическому процессу. Тип особой точки называется «седло», а асимптоты на фазовой плоскости называются сепаратрисами. Для всех видов переходных процессов фазовые траектории с течением времени все больше приближаются к началу координат по одним координатам и отдаляются от начала координат по другим координатам.

 

    Переходной  процесс и фазовая траектория

    «cедла»  
 
 
 
 
 
 

               
 
 

    Рисунок 10-7. 

    Все эти фазовые траектории и портреты для линейных или хотя бы линеаризованных систем, которые внутри определенной ограниченной области считаем линейными. За пределами такой области в силу проявления нелинейности фазовые траектории могут иметь качественно иной характер. 

    10.3. Особенности фазовых портретов

    нелинейных  систем  

    Для качественного построения фазового портрета достаточно определить лишь так называемые особые траектории: особые точки, предельные циклы и сепаратрисы.

      Особой точкой типа узла, фокуса  или седла называется точка, к которой с течением времени приближается (в случае устойчивого состояния равновесия) или от которой удаляется (в случае неустойчивого состояния равновесия) изображающая точка системы.

    Угол  наклона фазовой траектории к  оси абсцисс α   определяется: 

                                                  (10-8)

    где α – угол наклона.

    Если  , возникает неопределенность. Точки, соответствующие неопределенности, являются особыми точками. Раскрывая неопределенность с помощью правила Лопиталя (разложив F₁ и F₂ в ряд Тейлора и линеаризовав их), определяют типы особых точек (узел, фокус, седло).

    Предельным  циклом называется изолированная замкнутая траектория, на которую «наматываются» или с нее «отматываются» соседние траектории, находящиеся в области притяжения или отталкивания этого предельного цикла. Предельный цикл соответствует автоколебаниям в нелинейной системе.  В случае устойчивых автоколебаний все фазовые траектории, находящиеся внутри и снаружи предельного цикла приближаются, «наматываются» на предельный цикл. В случае неустойчивых автоколебаний все фазовые траектории, находящиеся внутри и снаружи предельного цикла отталкиваются от предельного цикла.    

    Устойчивые  автоколебания    
 
 
 
 
 

    Рисунок 10-8. 

    Неустойчивые  автоколебания

    

        
 
 
 
 
 

    Рисунок 10-9.

    Построение  фазовых портретов линейных систем не представляет принципиальных затруднений  и выполняется непосредственным интегрированием уравнений фазовых  траекторий.

    Для нелинейных систем эта задача существенно усложняется, т.к. в большинстве случаев получить уравнение фазовых траекторий в аналитической форме не удается.

    Поэтому для построения фазовых портретов  нелинейных систем используют приближенные методы: численное интегрирование уравнений для фазовых траекторий, метод изоклин, метод припасовывания.

    Наибольшее  распространение метод фазового пространства получил при исследовании систем второго порядка. В этом случае фазовым пространством является плоскость. Координатами фазовой плоскости  выбирают выходную координату системы Y и её производную Ý. Если ввести обозначения:

                                                  Y=Y₁

                                                          _(10-9) 

      Дифференциальные уравнения нелинейной  системы второго порядка запишутся в виде:

                                        (10-10)

    где: P,Q - нелинейные функции.

    Разделив  второе уравнение на первое, исключив время, получим:

                                       (10-11)

    Решение дифференциального уравнения (10-11) дает семейство кривых на фазовой плоскости, по которым строятся фазовые траектории данной системы.

    При использовании численного интегрирования уравнений для фазовых траекторий необходимо выполнить интегрирование уравнения типа (10-11).

    В ряде случаев такие расчеты выполняют  после проведения качественного исследования изучаемой системы. При этом в результате применения методов качественной теории дифференциальных уравнений, определяют структуру фазовых портретов - число и тип возможных в данной системе состояний равновесия, количество предельных циклов и их взаиморасположение, т.е. выявляется вся совокупность возможных в данной системе режимов работы. Далее с помощью численных методов выполняются расчеты для заданных начальных условий. 

    10.4. Построение фазовых  портретов. 

    10.4.1. Метод припасовывания. 

    Метод припасовывания используют в тех случаях, когда возможна кусочно-линейная аппроксимация нелинейной характеристики. Согласно этому методу, фазовую траекторию строят по частям, каждой из которой соответствует линейный участок характеристики, причем значения фазовых координат в конце каждого участка фазовой траектории являются начальными условиями для решения уравнения на следующем участке. На каждом отдельно рассматриваемом участке система линейна, поэтому фазовая траектория для него может быть найдена непосредственным интегрированием уравнения фазовой траектории на данном участке.

    Таким образом, при использовании метода припасовывания общий фазовый портрет системы получают "сшиванием" фазовых траекторий, найденных на отдельных участках.

Пример: нелинейная система описывается системой уравнений:

                                     (10-12)

                    (10-13)

     Начальные условия: Y₁₀ = Y₂₀ =-1

      или иначе:                                                    

             (10-14)                                   (10-15)          

    Фазовая плоскость разбивается линией переключения на участки, на каждом из которых движение изображающей точки описывается одним из линейных уравнений (10-14) и (10-15). Первый отрезок фазовой траектории находится  интегрированием уравнений (10-14) при начальных условиях Y₁₀ , Y₂₀. Поделив второе уравнение на первое, получаем:

                                         (10-16)

    откуда  уравнение фазовой траектории будет:

                          (10-17)

    Конечную  точку первого участка фазовой  траектории М₁ находим как точку пересечения с линией переключения

                         (10-18)

    Координаты  точки М₁ являются начальными условиями для решения уравнения (10-15), которое описывает второй участок фазовой траектории:

                                      (10-19) 

откуда:             Y₂² /2 + C₁ = -Y₁ ; C₁ = -3,5                    (10-20)

    Координаты  точки М₂  находятся как точки пересечения первого участка фазовой траектории с линией переключения:

Y₂² /2 - 3,5 = -Y₁ ; Y₁₂ = -1 ; Y₂₂ = -3                         (10-21)

    Продолжая аналогичные рассуждения, находим  остальные участки фазовой траектории.

    Фазовый портрет системы.

                                          У₂                                           

                                                          1                     У₁ 

                                        

                                         

           

    Рисунок 10-10. 

    10.4.2. Метод изоклин 

    Этот  метод является одним из методов численного интегрирования дифференциальных уравнений и применяется для построения фазовых портретов. Изоклиной называется геометрическое место точек с равным углом наклона фазовых траекторий, т.е. это кривая, соединяющая точки фазовой плоскости, в которых направление касательных к фазовой траектории одинаково.

    Пусть задано дифференциальное уравнение  нелинейной системы, которое записано в нормальной форме: 

                                           (10-22)

    Найдем  уравнений изоклины. Для этого в системе (10-21) разделим второе уравнение на первое и приравняем полученное выражение постоянному параметру С.

                                        (10-23) 

    Задаваясь различными значениями параметра С_i, где i=1,2,3,… можно построить изоклины пунктирные линии на рисунке 10-11. Выберем на первой изоклине С₁ любую начальную точку А.    

    Метод изоклин

       

                
 
 

                             
 
 
 

    Рисунок 10-11.