Курс лекций по "Модели и методы управления"

                                      Y₀                          A₀ 

                                                                  X₀        X

Рисунок 9-1. 

    Для аналитического представления этой процедуры функцию статической  характеристики раскладывают в ряд  Тейлора в окрестности т.A₀ [Х₀, Y₀].

        (9-1)

Члены ряда порядка, выше второго, отбрасывают: 

                                (9-2)

Получается  линеаризованное уравнение первого  приближения:

                                         (9-3) 

9.2. Линеаризация существенных  нелинейностей 

    Этот  метод линеаризации основан на принципах линеаризации в «малом» и используется в случаях, когда статическая характеристика – разрывная функция, т.е. сама функция или ее производные имеют точки разрыва. При этом производится замена нелинейной характеристики в широком диапазоне на линейную. Это необходимо при  больших изменениях  переменных X, Y.

                                                   у 
 

                                                                      х 
 

    Рисунок 9-2. 

При этом производится замена нелинейного элемента на линейный таким образом, чтобы разница между выходными переменными нелинейного элемента и линейного сводилась к минимуму. Такая замена эффективна, если пределы изменения x(t) и y(t) широкие. 

Схема линеаризации существенно нелинейного элемента

 
 
 
 
 

Рисунок 9-3. 

    Параметры линейного элемента подбираются  таким образом, чтобы Δу→min.

9.3. Mетод гармонической линеаризации 

    Если  в качестве входного сигнала при  линеаризации существенно нелинейных систем используется гармонический  сигнал, этот метод называется методом гармонической линеаризации.

    x(t) = A Sin ωt                                             (9-4) 

    При этом выходной сигнал нелинейного элемента уже не будет гармоническим. Он может  быть представлен суммой гармонических  сигналов, зависящих от амплитуды А.

    По  методу гармонической линеаризации нелинейная функция разлагается  в ряд Фурье и приближенно  заменяется первой гармоникой этого  ряда. Замена основывается на том, что  в большинстве случаев системы  управления хорошо фильтруют колебания  высших гармоник. Свойства нелинейных систем исследуются путем сравнения входного гармонического сигнала x(t) и первой гармонической составляющей установившихся выходных колебаний у_н.э.(t), имеющей наибольшую амплитуду. Свойства нелинейных систем таковы, что они реагируют на гармонические колебания одной определенной частоты  гармоническими колебаниями различных частот. В сумме эти гармонические колебания и составляют выходной сигнал нелинейной системы. Именно вследствие этой особенности резонанс в нелинейной системе становится возможным. Как было уже сказано, нелинейное звено не работает самостоятельно, а включается практически всегда с линейными элементами. Линейная часть является фильтром низких частот (пропускает только низкочастотные сигналы) и подавляет высокочастотные колебания. На этом основании гармониками порядка выше второго на выходе нелинейного звена можно пренебречь.

    Разложим  в ряд Фурье выходной сигнал:

                            (9-5)

    где а₀ – постоянная составляющая или среднее значение выходного сигнала, а_k и b_k – амплитуды гармонических составляющих выходного сигнала, уменьшающиеся по мере увеличения k.

    Коэффициенты  ряда, рассчитываются по формулам: 

                       (9-6)

    Пренебрегая высокими гармониками, можно получить: 

                               (9-7)

    где:                                                                      (9-8)

    Если  а₀=0, то:

                                            (9-9) 

    Если  входной сигнал представить в  комплексной форме:

                                                  (9-10)

    можно записать амплитудно-фазовую характеристику нелинейного элемента в виде:

              (9-11)

    В теории нелинейных систем в качестве частотной характеристики принято использовать инверсную характеристику нелинейного элемента: 

            (9-12)

    9.4. Mетод статистической линеаризации 

    Если  в качестве входного сигнала x(t) используется случайная функция, то метод называется методом стохастической или статистической линеаризации.

    Метод заключается в приближенной замене нелинейных характеристик эквивалентными в вероятностном смысле линейными  зависимостями.

    Нелинейная  функция  заменяется на линейную зависимость: 

                                             (9-13) 

    где: k₁ – cтатистический коэффициент усиления нелинейного элемента по cлучайной составляющей;

             f₀ – выходной полезный сигнал нелинейного звена, являющийся его статистической характеристикой

                                               (9-14)

            k₀ – cтатистический коэффициент усиления нелинейного элемента по математическому ожиданию, равный отношению математического ожидания выходного сигнала m_y к математическому ожиданию входного сигнала m_x.

                                                 (9-15)

    Коэффициент по дисперсии D определяется:

                                              (9-16)

    Знак (+) принимается, если функция f (x) возрастает около т.х=m_x, знак (-) – если функция f (x) убывает около т. х=m_x.

    В основе метода статистической линеаризации лежит принцип минимума среднеквадратичного  отклонения выходной переменной нелинейной зависимости у и выходной переменной линейной зависимости у_л., представленный на рисунке 9-3.

Глава 10. Метод фазовых  плоскостей 

10.1. Фазовая плоскость,  фазовые портреты

    Одним из основных методов исследования нелинейных систем является метод фазового пространства, введенный в теорию колебаний академиком А.А. Андроновым.

    Сущность  метода заключается в следующем: если любая техническая система  описывается дифференциальным уравнением n-го порядка, то её состояние определяется в каждый момент времени значением регулируемой величины Y или любой другой величины и её (n-1) производной. Многомерное пространство координат исследуемой величины Y и всех её производных называется фазовым пространством. Точка М в фазовом пространстве с текущими значениями координат, определяющими состояние системы или фазу, называется изображающей точкой. При любом изменении состояния системы изменяются координаты изображающей точки. Траектория её движения в фазовом пространстве называется фазовой траекторией. Совокупность  фазовых траекторий, соответствующих всем возможным в данной системе начальным условиям, называется фазовым портретом и характеризует все возможные состояния динамической системы.

    Фазовое пространство и фазовые траектории дают геометрическое представление о динамике процессов в системах.

    Точку в фазовом пространстве, соответствующую  состоянию равновесия, называют особой точкой. Поведение фазовой траектории вблизи особой точки характеризует устойчивость состояния равновесия.

    На  практике обычно используют две фазовые переменные: основную координату, например х и скорость ее изменения . Это двухмерная фазовая плоскость. Величины х и у представляют собой фазы движения, отсюда и понятие «фазовая плоскость».

    Уравнения нелинейных систем при этом будут:

                                            (10-1)

    Фазовая плоскость

      
 
 
 

    Рисунок 10-1.

    Поделив второе уравнение (10-1) на первое, получим  дифференциальное уравнение интегральной кривой на фазовой плоскости:

                                                 (10-2) 

    Решение его дает уравнение кривой, в большинстве  случаев совпадающей с фазовой  траекторией.

    Отметим ряд важных особенностей фазовых  траекторий:

1. Если функция определена в некоторой области R, непрерывна в ней и имеет непрерывные частные производные, то через всякую точку фазовой плоскости (за исключением состояний равновесия или особых точек, когда у=0 и =0), проходит одна единственная кривая (теорема Коши). Это означает, что фазовые траектории не пересекаются подобно силовым линиям магнитного спектра. Если функция разрывная, с изломами, неоднозначная, т.е. не удовлетворяются условия Коши, то движение исследуют по участкам, на каждом из которых функция удовлетворяет условиям Коши.
2. Так как при   переменная х только возрастает, то в верхней фазовой полуплоскости при возрастании t изображающая точка движется по фазовой траектории слева направо. В нижней полуплоскости – справа налево.
3. В точке , т.е. неособых точках фазовые траектории в правой полуплоскости пересекают ось абсцисс под прямым углом сверху вниз, в левой полуплоскости пересекают ось абсцисс под прямым углом снизу вверх.
4. При , т.е. в особых точках происходит останов движения.

    Наибольшее  распространение метод фазового пространства получил при исследовании систем второго порядка. В этом случае фазовым пространством является плоскость. Координатами фазовой плоскости выбирают выходную координату системы (обозначим ее х) и её производную . Если ввести обозначения:

                                               _(10-3) 

      Дифференциальные уравнения нелинейной  системы второго порядка запишутся в виде:

                                                    (10-4)

    где: F₁, F₂ - нелинейные функции.

    Разделив  второе уравнение на первое, исключив время, получим: 

                                                       (10-5) 

    Решение дифференциального уравнения (10-5) дает на фазовой плоскости фазовые  траектории данной системы.

    При использовании численного интегрирования уравнений для фазовых траекторий необходимо выполнить интегрирование уравнения типа (10-5).

    В ряде случаев такие расчеты выполняют  после проведения качественного  исследования изучаемой системы. При  этом в результате применения методов  качественной теории дифференциальных уравнений, определяют структуру фазовых  портретов - число и тип возможных в данной системе состояний равновесия, количество предельных циклов и их взаиморасположение, т.е. выявляется вся совокупность возможных в данной системе режимов работы. Далее с помощью численных методов выполняются расчеты для заданных начальных условий.

    В состоянии равновесия х=0 и у=0 получим:

                                                 (10-6)

      результате решения этой системы  могут быть получены особые  точки, т.е. состояние равновесия.

    Рассмотрим  различные виды фазовых траекторий линейных систем второго порядка, связывая их с переходным процессом.  

10.2. Фазовые траектории  линейных систем 

второго порядка

    Характеристическое  уравнение системы представляется в виде:

                                      (10-7)

    В зависимости от значения корней этого  характеристического уравнения  переходной процесс и фазовые  траектории будут иметь соответствующий  вид. При этом могут иметь место  несколько видов переходного  процесса и соответствующие им фазовые  траектории. Рассмотрим все эти случаи.