Складское хозяйство как элемент логистической системы

     Таким образом, осуществление описанных оптимизационных мероприятий приводит к повышению эффективности работы складского хозяйства. [36] 
 
 

 

3.2 Экономико-математический метод, применяемый для совершенствования организации складского хозяйства. 

       В качестве экономико-математического метода, применяемого для совершенствования организации складского хозяйства целесообразно рассмотреть транспортную задачу.

       Математическая постановка задачи  состоит в определении оптимального  плана перевозок некоторого груза  из m пунктов отправления A₁, A₂, …, A_m в n пунктов назначения B₁, B₂, …, B_n. При этом в качестве критерия оптимальности обычно выбирается либо минимальная стоимость перевозок всего груза, либо минимальное время его доставки. [49]

       Обозначим через C_ij стоимость перевозки единицы груза из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения; а_i - запасы груза в i-м пункте отправления (величина предложения); b_j - потребности в этом грузе в j-м пункте назначения (величина спроса); X_ij - объем перевозок (количество перемещаемых единиц груза) из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения.

     Тогда математическая модель  транспортной задачи имеет следующий  вид: определить минимум целевой функции

f(x) = min (1)

    Достижение  минимального значения целевой функции  должно происходить при определенных условиях. Первое из них состоит в том, что по оптимальному варианту от каждого поставщика планировалось к поставке то количества продукции, которым он располагает

    при выполнении следующих ограничений:

(2)

            Второе условие  предусматривает поставку каждому  потребителю продукции в пределах потребности.

(3)

Xij > 0, т.е. значение  переменной (поставки) должно быть равно или больше нуля (отрицательное значение поставки не имеет смысла, например, минус 20 коробок медикаментов).

Обычно исходные данные транспортной задачи представляются в виде таблицы. Внутренняя часть этой таблицы является объединением двух матриц: матрицы перевозок Х = {X_ij } и матрицы стоимостей С = {С_ij }.

Если общий  запас груза у поставщиков  равен потребности в грузе  у потребителей, т.е. если выполняется условие

при условиях:

X_ij ³ 0 (I = 1, 2, …,m),  (j = 1, 2, …,n).

    Приведенная модель является закрытой, т.к.

то модель такой  транспортной задачи называется закрытой, а если условие не выполняется, то задача называется открытой.

Определение 1. Всякое неотрицательное решение систем линейных уравнений (2) и (3), определяемое матрицей Х = {X_ij }; i = ; j = , называется планом транспортной задачи.

Определение 2. План Х* = {X_ij*}, при котором функция цели 1 принимает минимальное значение, называется оптимальным планом транспортной задачи.

Ограничения 2 и 3 транспортной задачи представляют собой  две группы уравнений. Первая из них, т.е. система уравнений 2, означает то, что сумма перевозок по каждой строке таблицы должна быть равна соответствующему запасу а_i. Каждое уравнение второй системы 3 означает то, что сумма перевозок по каждому столбцу таблицы должна быть равна соответствующей потребности b_j. Транспортная задача представляет собой задачу линейного программирования, записанную в каноническом виде. Следовательно, ее можно решать симплексным методом. Однако для решения транспортных задач существуют специальные методы. [67] 

Особенности транспортной задачи:

1. Закрытая транспортная  задача всегда совместна, обладает  планом, т.е. имеет решение.

2. Если значения  и а_i-е и b_j-е - целые и неотрицательные, то транспортная задача имеет целочисленное решение.

3. Клетки таблицы  транспортной задачи с координатами, в которых проставлены значения перевозок, называются базисными и соответствуют базисным переменным, а остальные клетки остаются свободными. Для невыраженного опорного плана в таблице транспортной задачи будет заполнена положительными числами m + n - 1 клетка. Если же опорный план задачи вырожден, то часть базисных клеток будет заполнена нулями.

Нахождение первоначального  плана

Нахождение первоначального  плана

Для определения  первоначального опорного плана  существуют несколько различных методов. Это - метод северо-западного угла, метод минимального элемента, или минимальной стоимости, и другие.

Метод северо-западного  угла. Пусть условие транспортной задачи задано в следующей таблице:

 
 

       Поскольку сумма запасов (предложения) равна сумме потребностей (спроса) - имеем задачу закрытого типа. [52]

      Матрицу перевозок начинаем заполнять с левого верхнего (северо-западного) угла, с клетки (1,1). Для этого сравниваем два значения а₁ = 30 и b₁= 20, т.е. попытаемся удовлетворить потребность первого пункта назначения за счет запасов первого пункта отправления. Запасы пункта А₁ больше потребности пункта В₁, следовательно, в качестве значения Х₁₁ выбираем меньшее число - b₁ и запишем это число в соответствующей клетке таблицы. Таким образом, потребность пункта В₁ в грузе удовлетворена, и поэтому все остальные числа этого столбца (Х₂₁, Х₃₁, Х₄₁) считаем равными нулю, а соответствующие им клетки оставляем свободными. [50]

       Получаем новую матрицу из  трех столбцов (В₂, В₃, В₄) и четырех строк (А₁, А₂, А₃, А₄) и новое значение запаса у первого пункта отправления (= 30 - 20 = 10). Далее сравниваем значения = 10 и b₂ = 90 и повторяем алгоритм. Меньшее из этих значений, равное 10, выбираем в качестве Х₁₂ и записываем в клетку (1,2) таблицы. Тогда запас пункта А₁ будет полностью исчерпан, следовательно, остальные значения перевозок из первой строки (Х₁₃, Х₁₄) принимаем равными нулю, а соответствующие клетки остаются свободными. Продолжая заполнять таблицу, таким образом дойдем до клетки (4,4). Построенный план является опорным. В рассматриваемой задаче число пунктов отправления m = 4 и число пунктов назначения n = 4, следовательно, невырожденный план задачи определяется числами, стоящими в m+n-1 = 4 + 4 - 1 = 7 заполненных клетках. 
 

 

Запишем первоначальный опорный план в виде матрицы Х:

Согласно данному  плану перевозок функция цели - общая стоимость перевозок всего  груза - составляет

f(х) = 5* 20 + 4* 10 + 1* 70 + 3* 10 + 1* 40 + 2* 30 + 1* 70 = 410. 

Вырожденный план. При построении опорного плана нужно следить, чтобы сумма перевозок по каждой строке была равна соответствующим запасам, а сумма перевозок по каждому столбцу - потребности. Количество заполненных клеток равно m + n - 1. Если план вырожденный, т.е. если на очередном шаге запас а_i равен потребности b_j, в этом случае необходимо считать одну из клеток (либо справа, либо под последней заполненной клеткой) базисной со значением, равным нулю. Этот нуль вписывают, и соответствующая клетка считается занятой. [68]

Пусть условия  задачи заданы следующей таблицей: