Виды логических задач

Таблица истинности

 

          Отрицание - логическая операция, которая позволяет из всякого высказывания А получить новое высказывание, отрицая его, т.е. утверждая, что высказывание А не имеет места, не выполняется. Отрицание высказывания А обозначается символом А. Запись А читается как <отрицание высказывания А> или <не А>.

Таблица истинности 

 

      Эквиваленция (логическое равенство) – это логическая операция, значение которой истинно когда оба высказывания истинны или оба ложны, и ложно во всех остальных случаях.  
        Эквивалентность высказываний А, В обозначается символом А<–>В, читается «для того, чтобы А, необходимо и достаточно, чтобы В» или «В тогда и только тогда, когда А».

Таблица истинности  

 

      Импликацией – двух высказываний А и В называется новое высказывание, которое считается ложным, если А истинно, а В - ложно, и истинным во всех остальных случаях.  
        Импликация высказываний А, В обозначается символом А—> В, читается «если А, то В» или «из А следует В». Высказывание А называют условием или посылкой, высказывание В - следствием или заключением, высказывание А—>В следованием или импликацией.

Таблица истинности

 

 

      Таблицы истинности, дают возможность заниматься своеобразным исчислением, т. е. определять значение истинности формулы на основании значений истинности составляющих высказываний.

      В задачах на исчисление высказываний приводятся сложные высказывания, образованные с помощью логических операций и  указывается, какая часть простых высказываний является истиной [8 с. 136].

      Например: Студент Петров интересуется логикой и не любит праздное времяпрепровождение.

      1. 3 Задачи использования  графов 

      Некоторые логические задачи удобно решать при  помощи построения графов. Иногда граф может играть вспомогательную роль в сочетании с другими методами решения.

      Графом называют схему (сетку, карту), составленную из нескольких точек, называемых вершинами графа, и нескольких отрезков (или дуг), соединяющих эти точки и называемые ребрами графа.

      Вершины в графе могут отличаться друг от друга тем, скольким ребрам они  принадлежат. Степенью вершины называется число ребер графа, которым принадлежит эта вершина.

     Путем в графе называется такая последовательность ребер, ведущая от начала и до конца, в которой каждые два соседних ребра имеют общую вершину, и никакое ребро не встречается более одного раза.

     Вершина - начало пути, вершина - конец.

      Путь  от и до называется простым, если он не проходит ни через одну из вершин графа более одного раза.

     Циклом называется путь, в котором совпадают его начальная и конечная вершины. Простым циклом в графе называется цикл, не проходящий ни через одну вершину графа более одного раза.

      Если  из каждой вершины графа по ребрам можно попасть в любую другую вершину, то граф называется связным.

      Применяя  граф к решению логических задач, обычно вершинам и ребрам графа придают  определенный смысл [21 с. 68].

      Различают следующие виды графов:

       1) Граф, все ребра которого ориентированы, называется ориентированным графом. Ребро графа называется ориентированным, если одну вершину считают началом ребра, а другую - концом.

      2)   Граф, у которого все вершины имеют одну и ту же степень, называется регулярным графом (или граф, регулярный степени).

      3)  Граф называют плоским (или планарным), если его можно нарисовать на плоскости так, чтобы никакие два его ребра не имели других общих точек, кроме их общей вершины. 

2 Методика использования логических задач на уроках математики в начальной школе

2.1 Анализ учебников  по математике на наличие логических задач 

В работе проанализированы следующие учебники по математике:

- «Математика»  М. И. Моро, С. И. Волкова, С.В.  Степанова «Школа России»;

     - «Математика» Л. Г. Петерсон «Школа 2000»

- «Математика»  Э. И. Александрова «Классическая начальная школа»

В них  используются следующие виды логических задач:

     Задания на рассмотрение данного  объекта с точки зрения различных понятий

     Прочитай  выражение всеми различными способам

а) 18+16 (это сумма чисел 18 и 16; к 18 прибавить 16; первое слагаемое 18, а второе 16; надо увеличить 18 на 16. Получится 34);

б) 34-16 (разность 34 и 16; уменьшаемое 34, вычитаемое 16; из34 вычесть 16; 34 уменьшить на 16. Получится 18) [12 с. 72].

     Задания на узнавание объектов по данным признакам

     1) Какой предмет обладает одновременно следующими признаками:

     - имеет 4 стороны и 4 угла (Ответ: четырехугольники);

     - имеет 3 стороны и 3 угла (Ответ: треугольники) [16 с. 46].

2) К  учителю подошли 6 ребят. Каждый  сдал по две тетрадки. Какое  арифметическое действие должен выполнить учитель, чтобы определить, сколько тетрадок сдали дети? (Ответ: 2*6=12) [3].

     Постановка  различных заданий  к данному математическому  объекту

1)Саша, Коля и Дима собирают марки.  У одного из них 3 марки, у другого 24, а у третьего • 8. У кого сколько марок, если известно, что у Коли не 3 марки, у Саши не 24 марки, а у Димы не 8 марок, а меньше?

     (Ответ:  У Коли - 24, у Саши  8, у Димы - 3) [13 с. 85].

     Задания на обнаружение сходных  признаков

1) Чем  похожи числа 7 и 71? (Ответ: В записи чисел используется цифра 7; эти числа нечетные).

2) Что  общего в числах 12, 26, 28, 24, 82, 62? (Ответ: Числа двузначные; делятся на 2; четные; в записи каждого есть цифра 2).

3) Назови  общие признаки чисел, получаемых  в результате действий: 42:6; 48:6 (Ответ: 7 и 8 - однозначные числа; меньше 10) [4 с. 59].

     Задания на обнаружение отличных признаков

1)Чем  отличается каждое число от  предыдущего: 12,18,26,36? (Ответ: Разница между числами 12 и 18 равна 6, в разряде единиц в первом случае 2, во втором - 8. Остальные числа рассматриваются по аналогии.

     3)Найди  «лишний» ряд. Чем он отличается  от других?

     1, 2, 4, 8,16

     2, 6, 18, 54, 162

     5, 10, 20, 40, 80

     7, 14, 28, 56, 112

     (Ответ:  «Лишний» ряд второй, так как  числа увеличиваются в 3 раза) [17 с. 41].

     Задания на аналогию

1) Подчеркни нужный ответ.

____4____       ______________3________________

четное            цифра, ответ, нечетное, сумма чисел

(Ответ:  Нечетное).

2)Допиши  ответ:

- часть  — целое, слагаемое - … (Ответ:  Сумма);

- дерево  — рубят, число - ... (Ответ: Делят);

- магазин — секция, число - ... (Ответ: Разряды) [5 с. 68]. 

     Задания на обобщение

1)Выбери  одно понятие.

- 2, 4, 6, 14, 28, 30 - цифры, числа, однозначные числа, двузначные числа, четные числа. (Ответ: Четные числа).

- Условие  и вопрос — решение, выражение,  схема, задание, задача.

(Ответ:  Задача) [6].

2)Допиши  ответ.

Слагаемое - сумма, множитель - ... (Ответ: Произведение);

Литр  — объем, килограмм - ... (Ответ: Масса) [14 с. 73].

     Задания на нахождение признака, по которому произведена  классификация

     1) Выбери правильный ответ: 1,3, 5, 7,9...;     2,4,6, 8,10...

     Ответ: 1) однозначные и двузначные числа; 2) четные и нечетные числа. (Ответ: Четные и нечетные числа).

     2) Подчеркни два самых значимых  слова для слова перед скобками: куб (чертеж, камень, сторона, дерево, углы). (Ответ: углы, сторона) [18 с. 48].

     Задания на распознавание  правильных группировок.

     1)Что  «лишнее»? Почему?

     - 62, 4, 8, 8+16, 9. (Ответ: Выражение 8+16).

     - Сумма, произведение, разность, делитель. (Ответ: Делитель)

     Метр, километр, килограмм, сантиметр, миллиметр.

     (Ответ:  Килограмм),

     2)В  классе 33 ученика. Они занимаются  в кружках музыки, рисования и  ритмики. Можем ли мы их разделить только на музыкантов, художников или танцоров? (Ответ: Нет) [15 с. 52]. 
 
 

Числовые  ребусы, содержащие операции умножения  и деления.

     ͓ * *

           8

        96

     Решение задачи. Так как при умножении двузначного числа ** на число 8 мы получаем двузначное число, то число десятков множимого должно быть равно 1.