Геодезические сети

 

     Х_p = Х_А+ ∆Х,Y_p = Y_А+ ∆Y,

     Х'_p = Х_А+ ∆Х',Y'_p = Y_А+ ∆Y'.

     ∆Х= Dcosα_D,∆Y= Dsinα_D,

     ∆Х'= Dcosα'_D,∆Y'=Dsinα'_D. 

     Расхождение координат не должно превышать величины õm_ß×p, где p=206265", m_ß – средняя квадратическая погрешность измерения угла.

     Оценка  точности определения положения  пункта P.

     Средняя квадратическая погрешность определения  отдельного пункта вычисляется по формуле: 

     M²_p = m²_X +m²_Y,M²_p = m²_D +(D×m_α / P)² 

     где m_D- определяется точностью линейных измерений, а m _α – точностью угловых измерений.

     Пример: m_D =2см, m_α= 5``, тогда 

     M_p =√ [(0,02) ²+(170×5/2×10⁵)²] ≈ 2×10^-2 = 0,02м. 

     4.3 Решение прямой  и обратной засечки  (по варианту задания) 

     Определение координат пункта прямой засечкой (формулы Юнга).

     Для однократной засечки необходимо иметь два твёрдых пункта. Контроль определения осуществляется вторичной  засечкой с третьего твёрдого пункта.

     Исходные  данные: твердые пункты А(Х_АY_А); B(Х_BY_B); С(Х_СY_С).

     Полевые измерения: горизонтальные углы β1, β ₂, β`<sub>1</sub>, β`_2.

     Определяется  пункт P.

     Формулы для решения задачи: 

     Х_p -Х_А=((Х_B-Х_А) ctg β ₁+(Y_B-Y_А))/ (ctg β ₁+ ctg β ₂);

     Х_p= Х_А+∆Х_А;

     Y_p -Y_А=((Y_B-Y_А) ctg β ₁+(Х_B-Х_А))/ (ctg β ₁+ ctg β ₂); Y_p= Y_А+∆Y_А;

 

      Оценка точности определения пункта P.

     Вычисление  СКП из 1-го и 2-го определения: 

     M₁ =(m_β×√(S₁²+ S₂²))/p×sinγ₁;

     M₂ =(m_β×√(S₁²+ S₂²))/p×sinγ₂; 

     Значения  величин, входящих в приведённые  формулы следующие:

     m_β =5``, p=206265``; γ=73˚15,9`; γ=62˚55,7`; S₁=1686,77 м; S₂=1639,80 м; S₃=2096,62 м.

     Стороны засечки найдены из решения обратных задач. 

     M₁ = (5``×√2,86+2,69)/(2×10⁵×0,958)=0,06м.

     M₂ = (5``×√2,69+4,41)/(2×10⁵×0,890)=0,07м.

     M_r = √ (M₁² +M₂²); M_r =√ [(0,06) ²+(0,07) ²]=0,09м. 

     Расхождение между координатами из двух определений

     r = √ [( Х_p- Х`<sub>p</sub>) <sup>2</sup>+( Y<sub>p</sub>- Y`_p) ²] не должно превышать величины 3 M_r;

     r =√ [(2833,82-2833,82) ²+(2116,38-2116,32) ²]=√0,0036=0,06м.

     На  основании неравенства r =0,06м 3×0,09м логично сделать вывод о качественном определении пункта P.

     За  окончательные значения координат принимают среднее из двух определений. 

     Решение числового примера

 

                                                                               2833.82     2116.35 

     Определение координат пункта методом обратной засечки (аналитическое решение задачи Потенота).

     Необходимо  иметь три твёрдых пункта, для  решения задачи с контролем используют четвёртый твердый пункт.

     Исходные  данные: А(Х_АY_А); B(Х_BY_B); С(Х_СY_С), D(X_DY_D).

     Полевые измерения: горизонтальные углы γ₁, γ₂, γ₃.

     Определяемый  пункт P.

     Формулы для вычисления: 

     1.ctgγ₁=а; ctgγ₂=b

     2.k₁ =a(Y_B- Y_A)-( Х_B- Х_A);

     3.k₂ =a( Х_B- Х_A)+(Y_B- Y_A);

     4.k₃ =b(Y_С- Y_A)-( Х_C- Х_A);

     5.k₄ =b( Х_C- Х_A)-(Y_C- Y_A);

     6.c=( k₂ - k₄)/( k₁ - k₃)=ctga_AP;

     7.контроль: k₂ - с k₁= k₁- с k₃;

     8.∆Y=( k₂ - с k₁)/( 1 - с²);

     9.∆Х= с _AY;

     10.Х_p = Х_А+ ∆Х, Y_p = Y_А+∆Y. 

     Решение численного примера

 

     Координаты  из первого определения получились Х_p=6810,99м, Y_p =2069,56 м.

       Для контроля задача решается вторично с твердым пунктом D, т.е. пунктом А, B, C.

     Исходными данными являются: γ₁=109^o48`42``; γ<sub>3</sub>=151<sup>o</sup>26`24``; Х_d=6524,81м, Y_d=893,64м.

     Контроль  осуществляется следующим образом: определить  

     ctgα_PD =( Х_D- Х_P)/( Y_D- Y_P), α_PD=256 ^o27`38``; 

     Из  схемы первого решения имеем: С=ctgα _PA=-0,26833;

     α_PD=105^o01`13``.

     Контроль  определяется пунктом P: 

     r=√  [( Х_P - Х`<sub>P</sub>) <sup>2</sup>+( Y<sub>P</sub> - Y`_P) ²] ≤ 3 M_r; 

     где r, как и в случае прямой засечки, 

     M_r=1/2×√ [M₁² +M₂²] 

 

      5. Уравнивание системы  ходов съемочной  сети 

     5.1 Общее понятие  о системах ходов  и их уравнивании 

     Координаты  пунктов могут быть определены положением через них теодолитных ходов, опирающихся в начале и в конце хода на пункты с известными координатами и стороны с известными дирекционными углами. При математической обработке результатов таких измерений координаты определяемых пунктов получают однозначно, а их точность зависит от точности полевых измерений, точности исходных данных и принятого метода обработки измерений.

     На  практике возможно появление ситуаций, когда в геодезических построениях  возникает неоднозначность получения определяемых величин, например координат пунктов.

     С этой точки зрения рассмотрим геодезическое  построение в виде системы трех теодолитных  ходов с одной узловой точкой. Практическая необходимость построения такой системы обусловлена невозможностью определения положения пунктов путем проложения через них одного теодолитного хода (например, из-за отсутствия на местности необходимых видимостей). Ограничивающим фактором может быть превышение допустимой длины одиночного теодолитного хода или нарушением каких-либо других нормативных требований.

     В системе теодолитных ходов положение  пунктов определено от трех исходных – В, D, F, тогда как для этой цели достаточно было двух из них, следовательно, в сети имеются избыточные измерения (избыточные в смысле их необходимого числа при бесконтрольном определении координат пунктов). Так, например, координаты любого определяемого пункта сети, могут быть получены, как минимум, дважды. В таком случае говорят о необходимости уравнения.

     Способы уравнения разделяются на строгие, когда уравнение производится под условием минимума суммы произведение квадратов поправок в измерение величины, и нестрогие (раздельные), когда сначала уравниваются углы, а затем раздельно между собой приращения координат.

     При выборе способа уравнения исходят, прежде всего, из необходимой точности получения координат пунктов. Если раздельное уравнение обеспечивает указанное требование, то его применение в настоящее время предпочтительно, т. к. упрощает процесс вычислений. Последний может быть выполнен как посредством традиционных средств, так и с помощью микрокалькуляторов или ЭВМ.

     При раздельном уравнении системы теодолитных  ходов с одной узловой точкой уравнивают сначала измеренные углы, а затем по полученным вероятнейшим значениям дирекционных углов и измеренным горизонтальным положениям линий вычисляю приращение координат, которые уравнивают отдельно, приращения по оси абсцисс и приращения по оси ординат.

     Уравнивание системы проводят раздельно, т.е. вначале  уравнивают горизонтальные углы, а  затем – приращения координат.

     Вычисление  координат пунктов теодолитных  ходов производят в ведомости  координат, куда вписывают измеренные углы, горизонтальные проложения, координаты исходных геодезических пунктов.  

     5.2 Упрощенное уравнение  системы теодолитных  ходов по варианту задания 

     Вычислим  координаты пунктов системы теодолитных  ходов с одним узловым пунктом.

     Исходные  данные 

 

      Координаты и дирекционные углы