Геодезические сети

 

 

      l₀ – минимальное значение измеряемой величины, l₀ = 60˚40' ; ε – остаток, полученный как ε = l₁ - l₀ ; L – наилучшее значение измеряемой величины,

     L = [l]/n; m = √([ v²]/(n – 1), где v-уклонение от арифметического среднего. М – оценка точности среднего арифметического значения, М = m/√n.

     L = 60˚40' + 4/5 = 60˚40,8'

     m = √2,8 / 4 = 0,7'

     М = 0,7'/√5 = 0,313'

     Контрольная задача 7

     Произвести  математическую обработку результатов  измерения планиметром площади  одного и того же контура: 26,31; 26,28; 26,32; 26,26; 26,31 га. 

     Решение:

 

     l₀ = 26,26

     L = 26,26 + 0,18/5 = 26,296 га

     m = √0,0029/ 4 = 0,0269 га

     М = 0,0269/√5 = 0,01204 га

     Контрольная задача 8

     При исследовании сантиметровых делений  нивелирной рейки с помощью женевской  линейки определялась температура  в момент взятия отчета. Для пяти сантиметровых отрезков получены значения: 20,3˚; 19,9˚; 20,1˚; 20,2˚; 20,3˚. Провести математическую обработку результатов измерения. 

     Решение:

 

     l₀ = 19,9

     L = 19,9 + 1,3/5 = 20,16˚

     m = √0,1128/ 4 = 0,168˚

     М = 0,168/√5 = 0,075˚ 

     3.3 Веса измерений 

     Вес измерения – это отвлеченное число, обратно пропорциональное квадрату СКП результата измерения.

     Формула веса: 

     P = К / m², 

     где P – вес результата измерения,

     К – произвольное постоянное число  для данного ряда измерений,

     m – СКП результата измерения.

     Из  формулы видно, что чем меньше СКП измерения, тем оно точнее и его вес больше.

     Отношение весов двух измерений обратнопропорционально квадратам СКП этих измерений, т.е.:

 

      P₁ / P₂ = m₂² / m₁² 

     Если  имеется ряд измерений l₁, l₂, …, l_n, то очевидно, что вес одного измерения будет меньше веса среднего арифметического этих значений, т.е.: 

     P_m < P_M, 

     где m – погрешность одного измерения,

     M – погрешность среднего арифметического значения.

     Тогда отношение весов обратнопропорционально отношению квадратов СКП: 

     P_M/P_m = m²/M²;M = m/√n;

     P_M/P_m = m²/ (m/√n) ² = m²/ (m²/n) = m²×n/m² = n. 

     Таким образом, вес среднего арифметического значения больше отдельно взятого значения в n раз. Следовательно, вес арифметической середины равен числу измерений, из которых она составлена.

     Общая арифметическая середина из неравноточных  измерений равна дроби, в числителе  которой – сумма произведений средних арифметических значений из результатов измерений на их веса, а знаменатель – сумма всех весов измерений. Следовательно, вес общей арифметической середины равен сумме весов неравноточных измерений: 

     A₀ = (a₁P₁ + a₂P₂ + … + a_nP_n) / (P₁ + P₂ + … +P_n), 

     где A₀ – общая арифметическая середина,

     a_i – результат отдельно взятого измерения,

     P_i – вес отдельно взятого измерения.

     СКП любого результата измерения равна  погрешности измерения с весом 1, делимой на корень квадратный из веса этого результата, т.е.: 

     m = M/√P, 

     где m – СКП любого результата измерения;

     M – погрешность измерения с весом 1;

     P – вес данного результата измерения.

     СКП измерения с весом 1 равна корню  квадратному из дроби, в числителе  которой – сумма произведений квадратов абсолютных погрешностей неравноточных измерений на их веса, а в знаменателе – число неравноточных измерений. 

     M = √ (∑∆²P/n), 

     где ∆ - абсолютная погрешность неравноточного измерения;

     P –его вес;

     n – число измерений.

     Контрольная задача 9

     Результатам измерения углов соответствуют m₁ = 0,5; m₂ = 0,7; m₃ = 1,0. Вычислить веса результатов измерений.

     Решение: 

     P = К / m²;

     P₁ = 1 / (0,5)² = 4;

     P₁ = 1 / (0,7)² = 2,04;

     P₁ = 1 / (1,0)² = 1. 

     Ответ: 4; 2,04; 1.

     Контрольная задача 11

     Найти вес невязки в сумме углов  треугольника, если все углы измерены равноточно.

     Решение: 

     m = √[V²] / (n-1), n = 3

     P = К / m²

     m = √[ V²₁ + V²₂+ V²₃]/(3 – 1) = √[ V²₁ + V²₂+ V²₃]/2

     P = К / √[ V²₁ + V²₂+ V²₃]/2 = 2 К / √[ V²₁ + V²₂+ V²₃] = 2/ ∑ V²_i 

     3.4 Функции по результатам  измерений и оценка  их точности 

     В практике геодезических работ искомые  величины часто получают в результате вычислений, как функцию измеренных величин. Полученные при этом величины (результаты) будут содержать погрешности, которые зависят от вида функции и от погрешности аргументов по которым их вычисляют.

     При многократном измерении одной и  той же величины получим ряд аналогичных  соотношений: 

     ∆U₁ = k∆l₁

     ∆U₂ = k∆l₂

     …………..

     ∆U_n = k∆l_n 

     Возведём  в квадрат обе части всех равенств и сумму разделим на n: 

     (∆U₁² + ∆U₂² + … + ∆U_n²) / n = k²×(∆l₁² + ∆l₂² + ... + ∆l_n²) / n;

     ∑∆U² / n = k²×(∑∆l² / n);

     m = √(∑∆U² / n);

     m² = k² × m_l², 

     где m_l – СКП дальномерного отсчёта.

 

      m = k × m_l. 

     СКП функции произведения постоянной величины на аргумент равна произведению постоянной величины на СКП аргумента.

     Функция вида U = l₁ + l₂

     Определить  СКП U, где l₁ и l₂ – независимые слагаемые со случайными погрешностями ∆l₁ и ∆l₂. Тогда сумма U будет содержать погрешность: 

     ∆U = ∆l₁ + ∆l₂. 

     Если  каждую величину слагаемого измерить n раз, то можно представить:

     ∆U₁ = ∆l₁' + ∆l₂' – 1-е измерение,

     ∆U₂ = ∆l₁" + ∆l₂" – 2-е измерение,

     …………………

     ∆U_n = ∆l₁⁽ⁿ⁾ + ∆l₂⁽ⁿ⁾ – n-е измерение.

     После возведения в квадрат обеих частей каждого равенства почленно их сложим и разделим на n: 

     ∑∆U² / n = (∑∆l₁²)/n + 2×(∑∆l₁×∆l₂)/n + (∑∆l₂²)/n. 

     Так как в удвоенном произведении ∆l₁ и ∆l₂ имеют разные знаки, они компенсируются и делим на бесконечно большое число n, то можно пренебречь удвоенным произведением. 

     m_U² = m_l1² + m_l2²;

     m_U = √( m_l1² + m_l2² ). 

     СКП суммы двух измеренных величин равна  корню квадратному из суммы квадратов  СКП слагаемых.

     Если  слагаемые имеют одинаковую СКП, то: 

     m_l1 = m_l2 = m;

     m_U = √(m² + m²) = √2m² = m√2. 

     В общем случае: 

     m_U = m√n, 

     где n – количество аргументов l.

     Функция вида U = l₁ - l₂ 

     m_U = m√n;

     m_U = √( m_l1² + m_l2²). 

     СКП разности двух измерений величин  равна корню квадратному из суммы  квадратов СКП уменьшаемого и  вычитаемого.