∆ = L-X 

     Истинное – такое значение измеряемой величины, которое идеальным образом отражало бы количественные свойства объекта. Недостижимое условие – истинное значение – понятие гипотетическое. Это величина, к которой можно приближаться бесконечно близко, оно не достижимо.

     Точность  измерений – степень приближения  его результата к истинному значению. Чем ниже погрешность, тем выше точность.

     Абсолютная  погрешность выражается разностью значения, полученного в результате измерения и истинного измерения величины. Например, истинное значение l = 100 м, однако, при измерении этой же линии получен результат 100,05 м, тогда абсолютная погрешность: 

     E = X_изм – X

     E = 100,05 – 100 = 0,05 (м) 

     Чтобы получить значение достаточно произвести одно измерение. Его называют необходимым, но чаще одним измерением не ограничиваются, а повторяют не менее двух раз. Измерения, которые делают сверх необходимого, называют избыточными (добавочными), они являются весьма важным средством контроля результата измерения.

     Абсолютная  погрешность не даёт представления  о точности полученного результата. Например, погрешность в 0,06 м может  быть получена при измерении l = 100 м или l = 1000 м. Поэтому вычисляют относительную погрешность:  

     C = E_ср / X 

     C = 0,06 / 100 = 1/1667, т.е на 1667 м измеряемой l допущена погрешность в 1 метр.

     Относительная погрешность – отношение абсолютной погрешности к истинному или измеренному значению. Выражают дробью. По инструкции линия местности должна быть измерена не грубее 1/1000.

     Погрешности, происходящие от отдельных факторов, называются элементарными. Погрешность  обобщенная – это сумма элементарных.

     Возникают:

• грубые (Q),
• систематические (O),
• случайные (∆).

     Грубые погрешности измерений возникают в результате грубых промахов, просчётов исполнителя, его невнимательности, незамеченных неисправностях технических средств. Грубые погрешности совершенно недопустимы и должны быть полностью исключены из результатов измерений путем проведения повторных, дополнительных измерений.

     Систематические погрешности измерений – постоянная составляющая, связанная с дефектами: зрение, неисправность технических средств, температура. Систематические погрешности могут быть как одностороннего действия, так и переменного (периодические погрешности). Их стремятся по возможности учесть или исключить из результатов измерений при организации и проведении работ.

     Случайные погрешности измерений неизбежно сопутствуют всем измерениям. Погрешности случайные исключить нельзя, но можно ослабить их влияние на искомый результат за счет проведения дополнительных измерений. Это самые коварные погрешности, сопутствующие всем измерениям. Могут быть разные как по величине, так и по знаку. 

     E = Q + O +∆ 

     Если  грубые и систематические погрешности  могут быть изучены и исключены из результата измерений, то случайные могут быть учтены на основе глубокого измерения. Изучение на основе теории вероятностей.

     На  практике сложность заключается  в том, что измерения проводятся какое-то ограниченное количество раз  и поэтому для оценки точности измерений используют приближённую оценку среднего квадратического отклонения, которую называют среднеквадратической погрешностью (СКП).

     Гауссом была предложена формула среднеквадратической погрешности: 

     ∆²_ср = (∆²₁ + ∆²₂ +… +∆²_n) / n,

     ∆² = m² = (∆²₁ + ∆²₂ +… +∆²_n) / n,

     ∆ = m,

     ∆_ср = m = √(∑∆²_i / n) 

     Формула применяется, когда погрешности  вычислены по истинным значениям.

     Формула Бесселя: 

     m = √(∑V²_i / (n-1)) 

     Средняя квадратическая погрешность арифметической середины в Ön раз меньше средней квадратической погрешности отдельного измерения 

     М=m/Ön 

     При оценке в качестве единицы меры точности используют среднеквадратическую погрешность  с весом равным единице. Её называют средней квадратической погрешностью единицы веса.

     µ² = P×m² – µ = m√P, m = µ / √P, т.е. средняя квадратическая погрешность любого результата измерения равна погрешности измерения с весом 1 (µ) и делённая на корень квадратный из веса этого результата (P).

     При достаточно большом числе измерений  можно записать ∑m²P=∑∆²P (так как ∆ = m):

     µ = √(∑(∆²×P)/n), т.е. средняя квадратическая погрешность измерения с весом, равным 1 равна корню квадратному из дроби в числителе которого сумма произведений квадратов абсолютных погрешностей неравноточных измерений на их веса, а в знаменателе – число неравноточных измерений.

     Средняя квадратическая погрешность общей  арифметической середины по формуле: 

     M₀ = µ / √∑P

 

      Подставив вместо µ её значение получим : 

     M₀ = √(∑∆²×P/n) / (√∑P) = √[(∑∆²×P) / n×(∑P)] 

     M₀ = √[ (∆₁²P₁ + ∆₂²P₂ +… + ∆_n²P_n) / n×(P₁ + P₂ + … + P_n) ] – формула Гаусса, средняя квадратическая погрешность общей арифметической середины равна корню квадратному из дроби, в числителе которой сумма произведений квадратов погрешностей неравноточных измерений на их веса, а знаменатель – произведение количества измерений на сумму их весов.

     µ = √ [∑( V²×P ) / (n-1)] Это формула Бесселя для вычисления средней арифметической погрешности с измерением веса, равным 1 для ряда неравноточных измерений по их вероятнейшим погрешностям. Она справедлива для большого ряда измерений, а для ограниченного (часто на практике) содержит погрешности: m_µ = µ / [2×(n-1)] – это надёжность оценки µ.

     Контрольная задача 1

     Для исследования теодолита им был многократно  измерен один и тот же угол. Результаты оказались следующими: 39˚17.4'; 39˚16.8'; 39˚16.6'; 39˚16.2'; 39˚15.5'; 39˚15.8'; 39˚16.3'; 39˚16.2'. Тот же угол был измерен высокоточным угломерным прибором, что дало результат 39˚16'42". Приняв это значение за точное, вычислить среднюю квадратическую погрешность, определить надёжность СКП, найти предельную погрешность. 

     Решение:

 

     39˚16'42" = 39˚16.7'

     Средняя квадратическая погрешность: m = √([∆²]/n),

     m = √(3.42/8) = 0.65'.

     Оценка  надёжности СКП: m_m = m / √2n,

     m_m = 0.65 / √16=0.1625≈0.16'.

     Предельная  погрешность: ∆_пр = 3×m,

     ∆_пр = 3×0.65' = 1.96'

     Контрольная задача 2

     Дана  совокупность невязок треугольников  триангуляции объёмом 50 единиц. Считая невязки истинными погрешностями, вычислить среднюю квадратическую погрешность и произвести надёжность СКП, вычислить предельную погрешность. На данной совокупности проверить свойство случайных погрешностей:

     Lim[∆] / n =0, для чего вычислить W = [W] / n. 

 

     Решение: 

     W = [W] / n, W = +2,51 / 50 = 0,05

 

     

     Среднюю квадратическую погрешность в данном случае целесообразно вычислять  по формуле: m = √( [W²] – [W]²/n ) ÷ (n-1),

     m = √( 76,5703 – (2,51²)/50) ÷ 49 = 1,249

     Оценку  надёжности СКП по формуле: m_m = m / √2(n-1),

     m_m = 1,249/ √(2×49) = 0,13.

     Предельная  погрешность по формуле: ∆_пр = 3×m,

     ∆_пр = 3×1,249= 3,747.

     Контрольная задача 5

     Определить  СКП расстояния вычисленного по формуле

 

     S = √(x₂ – x₁)² + (y_{2 –} y₁)² 

     если  x₂ = 6 068 740 м; y₂ = 431 295 м;

     x₁ = 6 068 500 м; y₂ = 431 248 м;

     m_х = m_y = 0,1 м.

     Решение:

     S =√(6 068 740 - 6 068 500 )² + (431 295 - 431 248)² =235,36

     m_m = 0,1/ √4 = 0,05

     Контрольная задача 6

     Один  и тот же угол измерен 5 раз с  результатами: 60˚41'; 60˚40'; 60˚40'; 60˚42'; 60˚41'. Произвести математическую обработку этого ряда результатов измерений.

     Решение: