Методы решения систем линейных уравнений средствами табличного процессора MS Excel

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 03 Ноября 2011 в 15:40, реферат

Краткое описание

Целью моей работы является изучение численных методов решения систем линейных уравнений и построение компьютерной модели этих решений с помощью табличного процессора MS Excel.
Для достижения этой цели передо мной были поставлены следующие задачи:
изучить литературу по данной теме;
ознакомиться с численными методами решения систем уравнений – методом Крамера и методом Гаусса;
создать компьютерные модели решения системы линейных уравнений разными способами в MS Excel;
сравнить имеющиеся численные методы решения систем линейных уравнений, выявить их достоинства и недостатки.

Содержание работы

Введение 3
1. Теоретическая часть 4
1.1. Численные методы решение систем линейных уравнений 4
1.1.1. Система линейных уравнений 4
1.1.2.Матричное представление системы линейных уравнений. Определитель матрицы 5
1.1.3. Решение систем уравнений методом Крамера 6
1.1.4. Решение систем уравнений методом Гаусса 8
2. Практическая часть 10
2.1. Построение компьютерной модели «Решение системы линейных уравнений» посредством приложения Microsoft Excel 10
2.1.1. Среда разработки модели Microsoft Excel 10
2.2.2. Методика построения компьютерной модели «Решение системы линейных уравнений способом подстановки» в Microsoft Excel 11
2.2.3. Методика построения компьютерной модели «Решение системы линейных уравнений способом сложения» в Microsoft Excel 13
2.2.4. Методика построения компьютерной модели «Решение системы линейных уравнений методом Крамера» в Microsoft Excel 15
2.2.5. Методика построения компьютерной модели «Решение системы линейных уравнений методом Гаусса» в Microsoft Excel 17
Заключение 20
Библиографический список 21

Скачать целиком (800.36 Кб) Сколько стоит заказать работу?
Содержимое работы - 1 файл

Интформатика.doc

— 1.14 Мб (Скачать файл)
  1. Умножим полученное уравнение (4) на a21, т.е. на 1, получим уравнение (5).

  1. Вычтем  из уравнений (2) и (3) уравнение (5), получим  уравнения (6) и (7).

  1. Уравнение (6) разделим на a22, т.е. на 3/2, получим уравнение (8).

  1. Умножим уравнение (8) на a32, т.е. на 1/2, получим уравнение (9).

  1. Вычтем  из уравнения (7) уравнение (9) получим  уравнение (10).

  1. Итак, прямой ход закончен, начинаем обратный ход. Подставим (10) в уравнение (8), получим x2=2 (11).
  2. Подставим (11) и (10) в уравнение (5), получим: x1=1 (12).

Ответ: x1=1; x2=2; x3=3.

       В школьной практике, как правило, встречаются  системы с двумя и тремя  неизвестными, хотя, разумеется, бывают и исключения.

2. Практическая часть

2.1. Построение компьютерной модели «Решение системы линейных уравнений» посредством приложения Microsoft Excel

2.1.1. Среда разработки модели Microsoft Excel

       Если  же говорить о программе Excel, которая  является одной из более узнаваемых в обработке электронных таблиц, то без преувеличения можно утверждать, что её способности фактически неистощимы.

       Обработка текста, управление базами данных – программа так массивна, что во многих вариантах превосходит специализированные программы-редакторы либо программы баз данных. Такое обилие функций может сначала запутать, нежели вынудить использовать их на практике. Но по мере приобретения опыта начинаешь по достоинству ценить то, что границ возможностей Excel тяжело достичь.

       Программа Microsoft Excel входит в офисный пакет Microsoft Office и предназначена для  подготовки и обработки электронных  таблиц под управлением операционной системой Windows. Microsoft Excel – это многофункциональный, мощный редактор электронных таблиц. Он представляет возможность производить различные расчеты, составлять списки, сметы и что немаловажно, строить наглядные графики и диаграммы.

2.2.2. Методика построения компьютерной модели «Решение системы линейных уравнений способом подстановки» в Microsoft Excel

     Рассмотрим  построение компьютерной модели решения  системы уравнений на конкретном примере.

     Постановка  задачи: решить систему уравнений методом подстановки

     Цель: построить компьютерную модель решения данной системы уравнений в ЭТ MS Excel.

     Исходные  данные: коэффициенты a1=2, b1=4, c1=15, a2=5, b2=3, c2=10.

     Результат: искомые числа х и у.

     Формализация:

  1. Выразим в первой уравнении неизвестную у через х: 4у=15–2х; у=3,75–0,5х.
  2. Подставим полученное выражение в первое уравнение и решим его как линейное уравнение неизвестной х: 5х+3(3,75–0,5х)=10; 3,5х+11,25=10; 3,5х= –1,25; х= –0,36.
  3. Сделаем подстановку найденного значения переменной и вычислим значение второй переменной у=3,75–0,5(–0,36)=3,93.
  4. Запишем ответ: х= –0,36, у=3,93.

     Построение компьютерной модели:

  1. В ячейку А1 введем заголовок Решение системы линейных уравнений с двумя неизвестными способом подстановки.
  2. Объединим ячейки А1:R3 и расположим заголовок по центру (кнопка ).
  3. В ячейки В5, Е5, В6, Е6, Н5, Н6 введем коэффициенты и свободные члены уравнений.
  4. Объединим ячейки D8:F8 и введем Решение.
  5. В ячейку В9 вводим =Е5, Е9 вводим =Н5, G9 вводим =В5.
  6. В ячейки В10, В13 и В15 вводим =В6, в ячейки Е10, Е13 и Е15 вводим =Е6, в ячейки Н10, Н13, L10 и G17 вводим =Н6.
  7. В ячейку Е12 вводим =E9/B9, G12 вводим =G9/B9.
  8. В ячейки G15 вводим =Е12, I15 вводим =G12.
  9. В ячейку В17 вводим =B15–E15*I15, в ячейку Е17 вводим =E15*G15.
  10. В ячейку В18 вводим =B17, в ячейку Е18 вводим =G17–E17.
  11. В ячейку С19 вводим =ЕСЛИ(НЕ(B18=0);"х";"").
  12. В ячейку D19 вводим =ЕСЛИ(НЕ(B18=0);"=";"").
  13. В ячейку Е19 вводим =ЕСЛИ(НЕ(B18=0);E18/B18;"").
  14. В ячейку Н19 вводим =ЕСЛИ(НЕ(B18=0);"у=";"").
  15. В ячейку I19 вводим =ЕСЛИ(НЕ(B18=0);E12-G12*E19;"").
  16. Объединим ячейки D21:F21 и введем Ответ.
  17. В ячейку F21 вводим =ЕСЛИ(И(B18=0;E18=0);"Бесконечно много решений";ЕСЛИ(И(B18=0;E18<>0);"Решений нет";"")).
  18. В ячейку E22 вводим =ЕСЛИ(НЕ(B18=0);"х=";"").
  19. В ячейку E23 вводим =ЕСЛИ(НЕ(B18=0);"y=";"").
  20. В ячейку F22 вводим =ЕСЛИ(НЕ(B18=0);E19;"").
  21. В ячейку F23 вводим =ЕСЛИ(НЕ(B18=0);I19;"").
  22. Обозначения переменных х и у и знаки арифметических операций и скобки вводим с клавиатуры (перед знаками арифметических операций +, –, = ставим пробел).

     Компьютерный  эксперимент: подставляя в систему уравнений различные коэффициенты, можно убедиться, что построенная модель работает для всех случаев: есть единственное решение; решений системы уравнений нет; решений бесконечно много.

2.2.3. Методика построения компьютерной модели «Решение системы линейных уравнений способом сложения» в Microsoft Excel

     Рассмотрим  построение компьютерной модели решения системы уравнений на конкретном примере.

     Постановка  задачи: решить систему уравнений способом сложения

     Цель: построить компьютерную модель решения данной системы уравнений в ЭТ MS Excel.

     Исходные  данные: коэффициенты a1=2, b1=4, c1=15, a2=5, b2=3, c2=10.

     Результат: искомые числа х и у.

     Формализация:

  1. Уравнять модули коэффициентов при переменной х.

  1. Сложить почленно уравнения системы. Решить новое уравнение 14у=55 и найти значение одной переменной у=55/14=3,93.
  2. Подставить значение найденной переменной в старое уравнение и найти значение другой переменной 2х+4×3,93=15; х=(15–4×3,93)/2= –0,36.
  3. Запишем ответ: х= –0,36 , у=3,93.

     Построение  компьютерной модели:

  1. В ячейку А1 введем заголовок Решение системы линейных уравнений с двумя неизвестными способом подстановки.
  2. Объединим ячейки А1:R3 и расположим заголовок по центру (кнопка ).
  3. В ячейки В5, Е5, В6, Е6, Н5, Н6 введем коэффициенты и свободные члены уравнений.
  4. В ячейку G8 введем Решение.
  5. В ячейку В9 вводим =B5*B6, Е9 вводим =E5*B6, H9 вводим =H5*B6.
  6. В ячейку В10 вводим = –B6*B5, в Е10 вводим = –E6*B5, в H10 вводим = –H6*B5.
  7. В ячейку E12 вводим =E9+E10, в Н12 вводим =H9+H10.
  8. В ячейку F14 вводим =ЕСЛИ(E12=0;"";"у").
  9. В ячейку G14 вводим =ЕСЛИ(E12=0;"";"=").
  10. В ячейку H14 вводим =ЕСЛИ(E12=0;"";H12/E12).
  11. В ячейку F15 вводим =ЕСЛИ(E12=0;"";"x").
  12. В ячейку G15 вводим =ЕСЛИ(E12=0;"";"=").
  13. В ячейку H14 вводим =ЕСЛИ(E12=0;"";(H5–E5*H14)/B5).
  14. Объединим ячейки D18:F18 и введем Ответ.
  15. В ячейку F18 вводим =ЕСЛИ(И(E12=0;H12=0);"Бесконечно много решений";ЕСЛИ(И(E12=0;H12<>0);"Решений нет";"")).
  16. Ячейки F18:J18 объединяем.
  17. В ячейку F19 вводим =ЕСЛИ(E12=0;"";"х=").
  18. В ячейку G19 вводим =ЕСЛИ(E12=0;"";H15).
  19. В ячейку I19 вводим =ЕСЛИ(E12=0;"";"у=").
  20. В ячейку J19 вводим =ЕСЛИ(E12=0;"";H14).

     Компьютерный  эксперимент: подставляя в систему уравнений различные коэффициенты, можно убедиться, что построенная нами модель работает для всех случаев: есть единственное решение; решений системы уравнений нет; решений бесконечно много.

2.2.4. Методика построения компьютерной модели «Решение системы линейных уравнений методом Крамера» в Microsoft Excel

     Рассмотрим  построение компьютерной модели решения  системы уравнений на конкретном примере.

     Постановка  задачи: решить систему уравнений методом Крамера

     Цель: построить компьютерную модель решения данной системы уравнений в ЭТ MS Excel.

     Исходные  данные: коэффициенты a1=2, b1=4, c1=15, a2=5, b2=3, c2=10.

     Результат: искомые числа х, у и z.

     Формализация: Построим матрицу А системы уравнений: .

     Найдем  основной определитель матрицы А:

.

     Найдем  дополнительные определители матрицы  А

,

.

     Найдем  х=D/Dх=5/(–14)= –0,36 и у=D/Dу= –55/(–14)=3,93.

     Построение  компьютерной модели:

  1. В ячейку А1 введем заголовок Решение системы линейных уравнений с двумя неизвестными методом Крамера.
  2. Объединим ячейки А1:R3 и расположим заголовок по центру (кнопка ).
  3. В ячейки В5, Е5, В6, Е6, Н5, Н6 введем коэффициенты и свободные члены уравнений.
  4. В ячейку D9 введем Решение.
  5. В ячейку C11 введем D (Вставка/Символ). Объединим С11:С12. Аналогично в ячейку С14 вводим Dх, в ячейку С17 вводим Dу.
  6. Объединим ячейки D11:D12, D14:D15, D17:D18 и G11:G12, G14:G15, G17:G18 введем D в эти ячейки знак =.
  7. В ячейку E11 введем =В5, в ячейку Е12 введем =В7, в ячейку F11 введем =Е5, в ячейку F12 введем Е7, в ячейку Н11 введем =МОПРЕД(E11:F12).
  8. Ячейки Н11:Н12 объединим.
  9. В ячейку E14 введем =Н5, в ячейку Е15 введем =Н7, в ячейку F14 введем =Е5, в ячейку F15 введем Е7, в ячейку Н14 введем =МОПРЕД(E14:F15).
  10. В ячейку E17 введем =Е5, в ячейку Е18 введем =Е7, в ячейку F17 введем =Н5, в ячейку F18  введем Н7, в ячейку Н17 введем =МОПРЕД(E17:F18).
  11. Ячейки Н14:Н15 и Н17:Н18 объединим.
  12. Объединим ячейки D20:F20 и введем Ответ.
  13. В ячейку Е20 вводим =ЕСЛИ(И($H$11=0;$H$14=0;$H$17=0);"Бесконечно много решений";ЕСЛИ(И($H$11=0;ИЛИ($H$14<>0;$H$17<>0));"Нет решений";"")).
  14. В ячейку Е21 вводим =ЕСЛИ($H$11=0;"";"x").
  15. В ячейку Е23 вводим =ЕСЛИ($H$11=0;"";"y").
  16. В ячейку F21 и F23 вводим =ЕСЛИ($H$11=0;"";"=").
  17. В ячейку G21 вводим =ЕСЛИ($H$11=0;"";$H$14/$H$11).
  18. В ячейку G23 вводим =ЕСЛИ($H$11=0;"";$H$17/$H$11).

     Компьютерный  эксперимент: подставляя в систему уравнений различные коэффициенты, можно убедиться, что построенная модель работает для всех случаев: есть единственное решение; решений системы уравнений нет; решений бесконечно много.

2.2.5. Методика построения компьютерной модели «Решение системы линейных уравнений методом Гаусса» в Microsoft Excel

     Рассмотрим  построение компьютерной модели решения  системы уравнений на конкретном примере.

     Постановка  задачи: решить систему уравнений Методом Гаусса

     Цель: построить компьютерную модель решения данной системы уравнений в ЭТ MS Excel.

     Исходные  данные: коэффициенты a1=2, b1=4, c1=2, a2=3, b2=3, c2=5, a3=6, b3=8, c3=5, d1=5, d2=10, d3=15.

     Результат: искомые числа х, у и z.

     Формализация: преобразовывая уравнения, приведем систему к ступенчатому виду.

→
→
.

     Из  последнего уравнения находим  z= –40/–44=0,91

     Подставляя  значение z во второе уравнение находим у=(–5+4×0,91)/6= –0,23.

     Подставляя  значение z и у в первое уравнение находим х=(5–2×0,91–4×(–0,23))/2=2,05.

     Построение  компьютерной модели:

  1. В ячейку А1 введем заголовок Решение системы линейных уравнений с тремя неизвестными методом Гаусса.
  2. Объединим ячейки А1:О2 и расположим заголовок по центру (кнопка ).
  3. В ячейки В4, В6, В8, Е4, Е6, Е8, Н4, Н6, Н8, К4, К6, К8 введем коэффициенты и свободные члены уравнений.
  4. В ячейку С10 введем Решение.
  5. В ячейку В11 и В18 введем =В4, в ячейку Е11 и Е18 введем =Е4, в ячейку Н11 и Н18 введем =Н4, в ячейку К11 и К18 введем К4.
  6. В ячейку Е13 введем =ЕСЛИ(ИЛИ(И(B4>0;B6>0);И(B4<0;B6<0));E4*B6–E6*B4;E4*B6+E6*B4).
  7. В ячейку Н13 введем =ЕСЛИ(ИЛИ(И(B4>0;B6>0);И(B4<0;B6<0));H4*B6–H6*B4;H4*B6+H6*B4).
  8. В ячейку К13 введем =ЕСЛИ(ИЛИ(И(B4>0;B6>0);И(B4<0;B6<0));H4*B6–H6*B4;H4*B6+H6*B4).
  9. В ячейку Е15 введем =ЕСЛИ(ИЛИ(И(B4>0;B8>0);И(B4<0;B8<0));E4*B8–E8*B4;E4*B8+E8*B4).
  10. В ячейку Н15 введем =ЕСЛИ(ИЛИ(И(B4>0;B8>0);И(B4<0;B8<0));E4*B8–E8*B4;E4*B8+E8*B4).
  11. В ячейку К15 введем =ЕСЛИ(ИЛИ(И(B4>0;B8>0);И(B4<0;B8<0));K4*B8–K8*B4;K4*B8+K8*B4).
  12. В ячейку Е19 введем =Е13, в ячейку Н19 введем =Н13, в ячейку К19 введем К13.
  13. В ячейку Н21 введем =ЕСЛИ(ИЛИ(И(E13>0;E15>0);И(E13<0;E15<0));H13*E15–H15*E13;H13*E15+H15*E13).
  14. В ячейку К21 введем =ЕСЛИ(ИЛИ(И(E13>0;E15>0);И(E13<0;E15<0));K13*E15–K15*E13;K13*E15+K15*E13).
  15. Объединим ячейки D22:F22 и введем Ответ.
  16. В ячейку H22 вводим =ЕСЛИ(И(H21=0;K21=0);"Решений бесконечно много";ЕСЛИ(И(H21=0;K21<>0);"Решений нет";"")).
  17. В ячейку D23 вводим =ЕСЛИ(И(H21=0;K21=0);"";ЕСЛИ(И(H21=0;K21<>0);"";"x=")).
  18. В ячейку D24 вводим =ЕСЛИ(И(H21=0;K21=0);"";ЕСЛИ(И(H21=0;K21<>0);"";"y=")).
  19. В ячейку D25 вводим =ЕСЛИ(И(H21=0;K21=0);"";ЕСЛИ(И(H21=0;K21<>0);"";"z=")).
  20. В ячейку E23 вводим =ЕСЛИ(И(H21=0;K21=0);"";ЕСЛИ(И(H21=0;K21<>0);"";(K17–H17*E25–E17*E24)/B17)).
  21. В ячейку E24 вводим =ЕСЛИ(И(H21=0;K21=0);"";ЕСЛИ(И(H21=0;K21<>0);"";(K19–H19*E25)/E19)).
  22. В ячейку E25 вводим =ЕСЛИ(И(H21=0;K221=0);"";ЕСЛИ(И(H21=0;K21<>0);"";K21/H21)).

Информация о работе Методы решения систем линейных уравнений средствами табличного процессора MS Excel